第24讲 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数基本关系式及诱导公式”核心考点，依据高考评价体系明确“知三求二”“弦切互换”“和积转化”及诱导公式应用四大考查角度，结合2021-2023年全国卷真题分析，归纳出选择、填空及解答题基础题型的高频考点分布，构建系统的知识梳理与题型突破体系。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+素养提升”的备考路径，如以2021新课标Ⅰ卷“弦切互换”题为例，通过“1的代换”“齐次式转化”技巧培养学生运算能力与推理意识，总结“知一求二”“诱导公式化简”等解题模板，助力学生高效掌握得分技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破与学情针对性指导。

第24讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式 考点一　同角三角函数基本关系式 角度1　“知三求二”问题 [例1]　(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.  [解析]　由tan θ=,可得=. 又sin2θ+cos2θ=1,θ∈(0,), 所以sin θ=,cos θ=, 所以sin θ-cos θ=-. - 角度2　“弦切互换”问题 [例2]　(2021·新课标Ⅰ卷)若tan θ=-2,则=(　　) A.-　　　　　　　　 B.- C. D. C [解析]　 = = =sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ = ===. 角度3　“和积转化”问题 [例3]　(多选)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( 　　) A.sin θ=　　　　　 B.<θ<π C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= ABD [解析]　由题意知sin θ+cos θ=, ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=, ∴2sin θcos θ=-<0. 又∵θ∈(0,π),∴<θ<π, ∴sin θ-cos θ>0, ∴sin θ-cos θ====, ∴sin θ=,cos θ=-, ∴tan θ=-, ∴A,B,D正确. 方法总结 1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化. 2.形如,asin2α+bsin αcos α+ccos2α等类型可进行弦化切. 3.对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,知一可求二,若令sin α+cos α=t,则sin αcos α=,sin α-cos α=±(注意根据α的范围选取正、负号),体现了方程思想的应用. 跟踪训练 1.(2026·陕西汉中模拟)若α是第二象限角,6sin αcos α=tan α,则tan α=(　　) A.- B.- C. D. A 解析:由6sin αcos α=tan α,得6sin αcos α=, 因为sin α≠0,所以cos2α=. 因为α是第二象限角,所以cos α=-, 所以sin α=, 所以tan α==-. 2.(2026·湖北孝感模拟)已知x∈(-,0),sin4x+cos4x=,则sin x-cos x=(　　) A. B.- C. D.- B 解析:sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x, 又sin4x+cos4x=,所以1-2sin2xcos2x=,所以sin2xcos2x=. 又x∈(-,0),所以sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0,所以sin xcos x=-, 故sin x-cos x=-=-=-= -. 3.已知tan α=2,则sin2α-3sin αcos α=　　　　.  解析:因为tan α=2, 所以sin2α-3sin αcos α====-. - 考点二　诱导公式的应用 [例4]　(多选)下列化简计算结果正确的是 (　 　) A.tan(2 026π+1)=tan 1 B.若sin(π+α)=-,则sin(4π-α)= C.已知sin(α+)=,则cos(-α)= D.=sin 2+cos 2 ACD [解析]　对于A,tan(2 026π+1)=tan 1,A正确; 对于B,∵sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=, ∴sin(4π-α)=-sin α=-,B错误; 对于C,∵sin(α+)=, ∴cos(-α)=sin[-(-α)] =sin(α+)=,C正确; 对于D,∵sin(π-2)=sin 2,cos(π-2)=-cos 2, ∴ = = =|sin 2+cos 2|=|sin(2+)|. ∵<2+<π,∴sin(2+)>0, ∴sin 2+cos 2>0, ∴=sin 2+cos 2,D正确. 方法总结 1.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 2.常见的互余和互补的角 应用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等;常见的互补关系有+θ与-θ,+θ与-θ等. 注意:运用诱导公式计算含有2π的整数倍的三角函数式时,可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α. 跟踪训练 4.已知sin(+2α)=,则cos(-2α)=(　　) A. B.- C. D.± 解析:∵sin(+2α)=, ∴cos(-2α)=cos[-(+2α)] =sin(+2α)=. C 5.若sin(π+α)=,则sin(π-α)+cos(-α)=(　　) A.- B. C. D.- 解析:∵sin(π+α)=-sin α=,∴sin α=-,∴sin(π-α)+cos(-α)=sin α+sin α= 2sin α=-. A 考点三　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的综合应用 [例5]　(1)若sin(α+)=,且α是第三象限角,则cos(α+)=(　　) A. B. C.- D.- B [解析]　因为sin(α+)=-cos α=,所以cos α=-. 又α是第三象限角,所以sin α=-=-, 所以cos(α+)=cos(α++1 012π)=cos(α+)=-sin α=. (2)已知α∈(0,),且--4=0,则tan α=(　　) A. B. C. D. A [解析]　∵--4=0, ∴--4=0,解得=4或=-1. ∵α∈(0,),则 cos α>0, ∴cos α=,sin α=,∴tan α=. 方法总结 1.利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数值符号的影响. 跟踪训练 6.已知0<α<,sin α=. (1)求tan α的值; 解:因为sin α=,0<α<,所以cos α===, 故tan α==. (2)求的值. 解:因为tan α=, 所以===== -. $