4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数基本关系式与诱导公式”专题，依据高考评价体系梳理了平方关系、商数关系及六组诱导公式三大核心考点，通过近五年高考真题分析明确“化简求值”“已知三角函数值求式”等高频题型占比，构建系统知识网络与解题框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”的备考设计，如结合2023全国乙卷“tanθ=1/3求sinθ-cosθ”真题，运用“弦化切”转化与方程思想突破，培养学生运算能力与推理意识。特设易错点警示（如符号判断）和变式训练，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准定位复习重点，实现高效备考。

第四章 三角函数与解三角形 第二讲 同角三角函数的基本关系式 与诱导公式 知识梳理 双基自测 名师讲坛 素养提升 考点突破 互动探究 提能训练 练案[23] 知识梳理 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一 同角三角函数的基本关系式 1.平方关系:_. sin2x+cos2x=1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 知识点二 三角函数的诱导公式 -sin -sin sin cos cos -cos cos -cos sin -sin tan -tan -tan 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 归 纳 拓 展 1.同角三角函数基本关系式的常见变形 (sin cos )2=1 2sin cos ; (sin +cos )2+(sin -cos )2=2; (sin +cos )2-(sin -cos )2=4sin cos ; 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 2.诱导公式的记忆口诀 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 双 基 自 测 题组一 走出误区 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“ ”) (1)sin ( + )=-sin 成立的条件是 为锐角.( ) [答案] (1) (2) (3) (4) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 题组二 走进教材 [答案] A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 4.(北师大必修2P24例8(3)改编)求值: 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 题组三 走向考场 A.sin +cos -2 B.2-sin -cos C.sin -cos D.cos -sin [答案] A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 考点突破 互动探究 返回导航 同角三角函数的基本关系式——自主练透 [答案] 0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 名师点拨: 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 2.遇sin ,cos 的齐次式常“弦化切”,如: 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 诱导公式及其应用——多维探究 角度1 利用诱导公式化简三角函数式 1.化简: 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] -1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 角度2 “换元法”的应用 [答案] 0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 名师点拨: 1.诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值:化角的原则与方向:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:化简的原则与方向:统一角,统一名,同角名少为终了. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 【变式训练】 C.1 D.3 [答案] A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 名师讲坛 素养提升 返回导航 sin x+cos x、sin x-cos x、sin xcos x之间的关系 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 名师点拨: sin x+cos x、sin x-cos x、sin xcos x之间的关系为(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x,(sin x+cos x)2+(sin x-cos x)2=2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,便可求其余两个代数式的值. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 【变式训练】 [答案] B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 提能训练 练案[23] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 [答案] D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 C.-2 D.2 [答案] C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2 C.cos 2-sin 2 D.-(sin 2+cos 2) [答案] B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 二、多选题 9.(2026 青岛模拟)已知x∈R,则下列等式恒成立的是( ) [答案] CD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 11.在 ABC中,下列结论正确的是( ) A.sin(A+B)=sin C D.cos(A+B)=cos C [答案] ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 三、填空题 12.(2025 辽宁二模)已知tan2 -sin2 =2,则tan2 sin2 =_. [答案] 2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] -tan 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 B组能力提升 1.(2026 河南信阳模拟预测)若tan =2, ∈(0, ),则2sin + cos =( ) [答案] A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 [答案] C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 6.(2025 北京人大附中期中)已知第二象限角 满足sin ,cos 是关于x的方程25x2-5x-12=0的两个实根. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 C组拓展应用(选作) (2026 广东佛山顺德质检)若3cos +4sin =5,则tan =_. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第四章 三角函数与解三角形 谢谢观看 2.商数关系:_. =tan x 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k + (k∈Z) + - - - + 正弦 sin _ _ _ _ _ 余弦 cos _ _ _ _ _ 正切 tan _ _ _ sin =tan cos ; sin2 ==; cos2 ==. “奇变偶不变,符号看象限”.“奇”与“偶”指的是诱导公式k + (k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变;若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k + (k∈Z)中,将 看成锐角时k + (k∈Z)所在的象限. (2)若 ∈R,则tan =恒成立.( ) (3)若 , 为锐角,且 与 互余,则sin2 +cos2 =1.( ) (4)若sin(k - )=(k∈Z),则sin =.( ) [解析] (1)根据诱导公式知 为任意角.(2)cos ≠0时才成立.(3)根据同角三角函数的基本关系式知当 , 为同角时才正确,sin2 +cos2 =sin2 +cos2=2sin2 ≠1.(4)sin(k - )= sin ,∴sin = . 2.(必修1P184练习T1改编)若 是钝角且sin =,则tan =( ) A.- B. C.- D. [解析] 由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解.因为 是钝角且sin =,所以cos =-=-,则tan ==-.故选A. 3.(必修1P195T5改编)已知sin=,那么cos =( ) A.- B.- C. D. [解析] 因为sin=-cos =,所以cos =-. sin cos+sin cos =_. [答案] [解析] sin cos+sin cos =sincos +sincos=sin cos +=2 =. 5.(2025 河南部分重点高中联考)化简cos +sin 得( ) [解析] 原式=cos +sin ,∵ < < ,∴cos <0,sin <0.∴原式=-(1-sin )-(1-cos )=sin +cos -2. 1.已知cos =-,则13sin +5tan =_. [解析] ∵cos =-<0且cos ≠-1,∴ 是第二或第三象限角.①若 是第二象限角,则sin ===,∴tan = ==-.此时13sin +5tan =13 +5 =0.②若 是第三象限角,则sin =-=-=-,∴tan ===,此时,13sin +5tan =13 +5 =0.综上,13sin +5tan =0. 2.(2023 全国乙卷文)若 ∈,tan =,则sin -cos =_. [答案] - [解析] 由tan =,可得=,又sin2 +cos2 =1, ∈,所以sin =,cos =,所以sin -cos =-=-. 3.已知=-1,则=_;sin2 +sin cos +2=_. [答案] - [解析] 由已知得tan =,所以==-.sin2 +sin cos +2=+2=+2=+2=. 1.已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时,主要是利用公式sin2 +cos2 =1,tan =求解,解题时,要注意角所在的象限.并由此确定根号前的正、负号,若不能确定角所在象限要分类讨论. =; sin cos ===; sin2 +sin cos -2cos2 = =. =_. [答案] - [解析] 原式= ==-. 2.化简=_. [解析] ∵cos 10 >sin 10 , ∴原式= = ===-1. 已知cos=a,则cos+sin的值是_. [解析] 因为cos=cos=-cos=-a.sin=sin =cos=a,所以cos+sin=-a+a=0. 2.注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题,常见的互余关系有- 与+ ;+ 与- ;+ 与- 等,互补关系有+ 与- ;+ 与- 等. 1.(角度1)(2025 江苏扬州期中)已知tan =2,则=( ) A.- B.-1 [解析] 由诱导公式可得==,将tan =2代入计算可得,原式=-. 2.(角度2)(2026 唐山模拟)已知 为钝角,sin=,则sin=_,cos=_. [答案] - [解析] sin=sin =cos,因为 为钝角,所以 <+ < ,所以cos<0.所以cos=-=-. cos=sin =sin=. (2024 北京东城模拟)已知sin +cos =, ∈(0, ),则tan =_. [答案] - [解析] 解法一:因为sin +cos =, ∈(0, )所以(sin +cos )2=1+2sin cos =,sin cos =-.由根与系数的关系,知sin ,cos 是方程x2-x-=0的两根,所以x1=,x2=-.因为 ∈(0, ),所以sin >0.所以sin =,cos =-,tan ==-. 解法二:同解法一,得sin cos =-,所以=-,弦化切,得 =-,解得tan =-或tan =-.又 ∈(0, ),sin +cos =>0,sin cos =-<0.∴ ∈,且sin >|cos |,∴=|tan |>1,∴tan =-. 解法三:解方程组得或(舍去)故tan =-. 1.已知sin 2 =,且< <,则cos -sin =( ) A. B.- C. D.- [解析] ∵(cos -sin )2=1-2sin cos =1-sin 2 =,∴要求 cos -sin ,只需判断cos -sin 的符号.∵< <,∴cos <sin ,即cos -sin <0.∴cos -sin =-=-.故选B. 2.(2026 山东师大附中模拟)已知-< <0,sin +cos =,则的值为( ) A. B. C. D. [解析] 解法一:∵sin +cos =,∴(sin +cos )2=,∴sin cos =-,又 ∈,∴sin <0,cos >0,∴cos -sin ===.∴==,故选C. 解法二:由得 ∴tan ==-.∴====,故选C. 1.(2026 贵州贵阳模拟)若sin =,则cos=( ) A. B.- C. D.- [解析] cos=-sin =-.故选D. 2.(2025 新疆喀什二模)已知tan(- - )=,cos <0,则sin =( ) A.- B. C. D.- [解析] ∵tan(- - )=,∴-tan( + )=,∴-tan =,∴tan =-,∴=-,即cos =-2sin ,又sin2 +cos2 =1,∴sin2 +(-2sin )2=1,∴sin2 =,∵cos <0,∴-2sin <0,∴sin >0, ∴sin =.故选C. 3.(2025 山东烟台一模)已知tan =-2,则=( ) A.- B. [解析] 因为====-2.故选C. 4.(2026 甘肃白银模拟)若=,则tan( + )=( ) A.-3 B.- C.3 D. [解析] 因为=,所以=,解得tan =-3,于是tan( + )=tan =-3,故选A. 5.(2026 河北模拟)已知 ∈(0, ),sin +cos =,则sin - cos =( ) A. B.- C. D.- [解析] (sin +cos )2=1+2sin cos = 2sin cos =-,故(sin -cos )2=1-2sin cos =,又∵sin cos <0且 ∈(0, ) sin >0,故cos <0,∴sin -cos >0,故sin -cos =.故选A. 6.(2025 湖南常德模拟)化简的结果为( ) [解析] 由题意可得:==,因为2∈,则sin 2>sin =,cos 2>cos =-,可得sin 2+cos 2>-=0,所以==sin 2+cos 2.故选B. 7.(2025 安徽二模)设0< <,若tan sin =1,则cos =( ) A. B. C. D. [解析] tan sin ===1,所以cos2 +cos -1=0,解得cos =或cos =(舍),故选B. 8.(2026 辽宁模拟)已知sin >0,tan =,则=( ) A. B.2 C. D. [解析] ∵sin >0,tan =>0,∴ 为第一象限角,∴cos >0,由得sin =,cos =,∴==.故选D. A.sin(-x)=sin x B.sin=cos x C.cos=-sin x D.cos(x- )=-cos x [解析] sin(-x)=-sin x,故A不成立;sin=-cos x,故B不成立;cos=-sin x,故C成立;cos(x- )=cos( -x)=-cos x,故D成立. 10.(2026 河南南阳中学高一阶段练习)已知 ∈(0, ),sin +cos =,则下列结论正确的是( ) A. ∈ B.cos =- C.tan = D.sin -cos = [解析] 因为sin +cos =,所以(sin +cos )2=1+2sin cos =,可得2sin cos =-,因为 ∈(0, ),所以sin >0,cos <0,所以 ∈,故A错误,又由(sin -cos )2=1-2sin cos =,可得sin -cos =,故D正确,联立方程组解得sin =,cos =-,故B正确,由tan ==-,故C错误.故选BD. B.sin =cos C.tan(A+B)=-tan C [解析] 在 ABC中,有A+B+C= ,则sin(A+B)=sin( -C)= sin C,A正确;sin =sin=cos ,B正确;tan(A+B)=tan( -C)=-tan C,C正确;cos(A+B)=cos( -C)=-cos C,D错误;故选ABC. [解析] 因为tan2 -sin2 =-sin2 =sin2 =sin2 =tan2 sin2 ,所以tan2 sin2 =2. 13.化简=_. [解析] 原式= =-=-tan . 14.(2026 江西九江一中月考)已知cos=,则cos-sin2=_. [答案] - [解析] cos-sin2=cos -sin2= -cos-sin2=cos2-cos-1=-. A. B.- C. D.- [解析] 由题知 ∈(0, ),解得sin =, cos =,则2sin +cos =2 +=,故选A. 2.(2025 贵州黔南三模)若=,则tan =( ) A.1- B.1- C. D.1+ [解析] 因为=,所以=,解得tan =1-.故选B. 3.(2026 贵阳模拟)已知=-,则的值是( ) A. B.- C. D.- [解析] ∵ ===1,∴= -. 4.(2026 宁夏银川二中测试)若sin -cos =, ∈(0, ),则 tan =( ) A. B.- C.2 D.-2 [解析] ∵sin -cos =且 ∈(0, ),∴sin >0,又∵sin2 +cos2 =1,∵5cos2 +cos -2=0,解得:cos =或cos =-,当cos =,则sin =,则tan =2;当cos =-,则sin =-(舍去).故选C. 5.(2025 黑龙江哈尔滨一模)已知 是第一象限角,且cos=,则tan=_. [答案] - [解析] 由题意可得cos=cos=-sin=,即sin=-,因为 是第一象限角,所以2k < <+2k ,-+2k < -<+2k ,k∈Z,所以cos>0,cos==,所以tan==-. (1)求tan +的值; (2)求的值. [解析] (1)由题意知:sin +cos =-=, sin cos =-,又 为第二象限角, 解得sin =,cos =-,故tan =-, 所以tan +=-=-. (2)由(1)知tan =-, 又 = = ==-. [答案] [解析] 联立 得因此tan ==. $