第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件-2027届高三数学一轮复习

第2节　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 课标要求 1. 理解同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋ cos 2α＝1， ＝tan α（α≠ ＋kπ，k∈Z）. 2. 掌握诱导公式，并会简单应用. 目录/ CONTENTS 考点一 同角三角函数的基本关系式 01 考点二 三角函数的诱导公式 02 提能点 同角关系与诱导公式的综合应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 同角三角函数的基本关 系式 目 录 1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ （α∈R）. 2. 商数关系：tan α＝ 　 　（ α≠kπ＋ ，k∈Z）. 提醒：平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋ （k∈Z）. 1　 　 高中总复习·数学 目 录 3. 同角三角函数关系式的常见变形 （1） sin 2α＝1－ cos 2α＝（1＋ cos α）（1－ cos α）； （2） cos 2α＝1－ sin 2α＝（1＋ sin α）（1－ sin α）； （3）（ sin α± cos α）2＝1±2 sin α cos α； （4） sin α＝tan α cos α（α≠ ＋kπ，k∈Z）； （5） sin 2α＝ ＝ ； cos 2α＝ ＝ . 高中总复习·数学 目 录 角度1　知一求二 （2026·陕西榆林模拟）已知 cos θ＝－ ，θ∈（0，π），则tan θ＝ （　　） A. B. C. － D. － √ 解析： 　由θ∈（0，π），可得 sin θ＝ ＝ .则tan θ＝ ＝ － . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　利用 sin 2α＋ cos 2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，对于 sin α， cos α，tan α三个量可知一求二.（角α象限不确定时需分类讨论） 高中总复习·数学 目 录 角度2　弦切互化 （1）已知tan α＝－ ，且α为第二象限角，则 cos α＝（　A　） A. － B. C. － D. 解析： 因为tan α＝－ ，所以 sin α＝－ cos α，又 sin 2α＋ cos 2α＝1，所 以 ＋ cos 2α＝1，所以 cos 2α＝ .又α为第二象限角，所以 cos α＝－ . A 高中总复习·数学 目 录 （2）若 sin 2α＋ cos 2α＝－ ，α∈ ，则tan α＝ ⁠. 解析：由 sin 2α＋ cos 2α＝－ ，得 ＝－ ，即 ＝－ ，所以tan2α＋4tan α＋3＝0，解得tan α＝－1或tan α＝－3，因为α∈ ，所以tan α＝－3. －3 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　利用 ＝tan α可实现角α的弦切互化，当分式中分子与分母是关于 sin α， cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解. 高中总复习·数学 目 录 角度3　“和（差）”“积”转换 〔多选〕已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos θ＝ ，则（　　） A. θ∈（ ，π） B. cos θ＝－ C. tan θ＝－ D. sin θ－ cos θ＝ √ √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　∵ sin θ＋ cos θ＝ 　①，∴（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2 sin θ cos θ＝ ，∴2 sin θ cos θ＝－ ，∵θ∈（0，π），∴ sin θ＞0， cos θ＜ 0，∴θ∈（ ，π），故A正确；（ sin θ－ cos θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝ ， ∴ sin θ－ cos θ＝ 　②，故D正确；由①②得 sin θ＝ ， cos θ＝－ ，故B 正确；tan θ＝ ＝－ ，故C错误. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　正弦、余弦“ sin α± cos α， sin α cos α”的相互转化： sin α± cos α 与 sin α cos α通过平方关系联系到一起，即（ sin α± cos α）2＝1±2 sin α cos α， sin α cos α＝ ， sin α cos α＝ . 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）已知 ＝2，则tan α＝（　B　） A. B. C. － D. － B 解析： 因为 ＝2，所以 cos α＋2 sin α＝2，且 cos α≠0，所以 cos 2α ＋4 sin α cos α＋4 sin 2α＝4，即4 sin α cos α＝3 cos 2α， cos α≠0，所以tan α＝ .故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）若θ∈（0，π），tan θ＋ ＝6，则 sin θ＋ cos θ＝（　A　） A. B. － C. ± D. A 高中总复习·数学 目 录 解析：因为tan θ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝6，所 以 sin θ cos θ＝ ，所以（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2 sin θ cos θ＝ .又 θ∈（0，π）， sin θ cos θ＝ ＞0， sin θ＞0，则 cos θ＞0，所以 sin θ ＋ cos θ＝ .故选A. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 三角函数的诱导公式 目 录 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α （k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α － sin α ⁠ ⁠ sin α cos α ⁠ ⁠ 余弦 cos α ⁠ ⁠ cos α － cos α sin α － sin α 正切 tan α tan α －tan α ⁠ － sin α cos α － cos α －tan α 高中总复习·数学 目 录 提醒：诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的 是“k· ＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数；“变”与“不变”是指 函数的名称的变化；“符号看象限”指的是在“k· ＋α（k∈Z）”中， 将α看成锐角时，“k· ＋α（k∈Z）”的终边所在的象限. 结论：（1） sin （kπ＋α）＝（－1）k sin α（k∈Z）； （2） cos （kπ＋α）＝（－1）k cos α（k∈Z）. 高中总复习·数学 目 录 （1）化简 ＝（　C　） A. －1 B. 1 C. tan α D. －tan α 解析： 由诱导公式得，原式＝ ＝ ＝ tan α，故选C. C 高中总复习·数学 目 录 （2）已知 cos （ －θ）＝a（｜a｜≤1），则 cos （ ＋θ）＋ sin （ －θ）＝ ⁠. 解析：由题知 cos （ ＋θ）＝ cos ＝－ cos （ －θ）＝ －a， sin （ －θ）＝ sin ［ ＋（ －θ）］＝ cos （ －θ）＝a，∴ cos （ ＋θ）＋ sin （ －θ）＝0. 0 高中总复习·数学 目 录 规律方法 1. 利用诱导公式解题的一般思路 （1）化绝对值大的角为锐角； （2）角中含有加减 的整数倍时，用公式去掉 的整数倍. 2. 常见的互余和互补的角 （1）互余的角： －α与 ＋α； ＋α与 －α； ＋α与 －α等； （2）互补的角： ＋θ与 －θ； ＋θ与 －θ等. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）化简求值： ＝ 　​ 　； 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ . ​ 高中总复习·数学 目 录 （2）已知A＝ ＋ （k∈Z），求A的值构成的 集合. 解：由结论得A＝ ＋ ， ①当k为偶数时，A＝ ＋ ＝2； ②当k为奇数时，A＝ － ＝－2. ∴A的值构成的集合是{－2，2}. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 提能点 同角关系与诱导公式的 综合应用 目 录 （1）（2026·山东泰安模拟）已知 sin （ ＋α）＝ 且 ＜α＜π，则 tan α＝（　B　） A. － B. － C. D. 3 解析： 由诱导公式得 sin （ ＋α）＝ sin （ π＋ ＋α）＝－ sin （ ＋ α）＝－ cos α＝ ，所以 cos α＝－ .又因为α∈（ ，π），所以 sin α＝ ，所以tan α＝ ＝－ . B 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·上饶清源学校段考）已知0＜α＜ ，且 sin （ α－ ）＝ ， 则 sin （ －α）＝（　C　） A. － B. － C. D. C 高中总复习·数学 目 录 解析：因为0＜α＜ ，所以－ ＜α－ ＜ ，又 sin （ α－ ）＝ ，所以 cos （ α－ ）＝ ＝ ， sin （ －α）＝ sin （ ＋ －α） ＝ cos （ －α）＝ cos （ α－ ）＝ .故选C. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条 件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符 号的影响. 高中总复习·数学 目 录 练3 （1）（2026·河北衡水模拟）已知 sin （ －α）＋ cos （π－α）＝ sin α，则2 sin 2α－ sin α cos α＝（　D　） A. B. C. D. 2 解析： 由诱导公式可得 sin α＝ sin （ －α）＋ cos （π－α）＝－2 cos α，所以tan α＝－2.因此，2 sin 2α－ sin α cos α＝ ＝ ＝ ＝2. D 高中总复习·数学 目 录 （2）已知 sin （ ＋α）＝ ，那么tan（ －α）＝（　B　） A. － B. ±2 C. D. 2 解析：因为 sin （ ＋α）＝ ，所以 cos （ －α）＝ cos ＝ sin （ ＋α）＝ ，则 sin （ －α）＝± ＝± ，所以tan（ －α）＝ ＝±2 . B 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. sin 600°＝（　　） A. － B. C. － D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　 sin 600°＝ sin （240°＋360°）＝ sin 240°＝ sin （180°＋ 60°）＝－ sin 60°＝－ . 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·贵州黔西模拟）已知tan α＝1，则 ＝（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 √ 解析： 　 ＝ ＝ ＝6，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. （2026·四川乐山模拟）若 sin （ α＋ ）＝ ，则 cos （ α＋ ）＝ （　　） A. B. － C. D. ± √ 解析： 　由 sin （ α＋ ）＝ ，得 cos （ α＋ ）＝ cos ［（ α＋ ）＋ ］＝－ sin （ α＋ ）＝－ ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 已知α为第二象限角，则 ＋ ＝（　　） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 √ 解析： 　由题意，得 ＋ ＝ ＋ ，因为α为 第二象限角，所以 sin α＞0， cos α＜0，所以 ＋ ＝ ＋ ＝2－1＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 已知 sin 2（π－θ）＝ cos （ ＋θ），0＜｜θ｜＜ ，则θ＝（　　） A. － B. － C. D. √ 解析： 　由题意知 sin 2θ＝ sin θ，所以 sin θ＝ 或 sin θ＝0.又因为0 ＜｜θ｜＜ ，所以θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. （2026·山东日照模拟）已知α是第一象限角，且 sin α＋ cos α＝3 cos αtan α，则 sin （ α＋ ）＝（　　） A. － B. － C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为 sin α＋ cos α＝3 cos αtan α，所以 sin α＋ cos α＝3 sin α，所 以 cos α＝2 sin α，左右两侧平方得 cos 2α＝4 sin 2α＝4（1－ cos 2α），所以 5 cos 2α＝4，又因为α是第一象限角，所以 cos α＝ ，则 sin （ α＋ ）＝ cos α＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 〔多选〕在△ABC中，下列结论正确的是（　　） A. sin （A＋B）＝ sin C B. sin ＝ cos C. tan（A＋B）＝－tan C（ C≠ ） D. cos （A＋B）＝ cos C √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则 sin （A＋B）＝ sin （π －C）＝ sin C，A正确； sin ＝ sin （ － ）＝ cos ，B正确；tan （A＋B）＝tan（π－C）＝－tan C（ C≠ ），C正确； cos （A＋B） ＝ cos （π－C）＝－ cos C，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. （2026·黑龙江佳木斯调研）已知 sin （53°－α）＝ ，且－270°＜α ＜－90°，则 sin （37°＋α）＝ ⁠. 解析：∵－270°＜α＜－90°，∴143°＜53°－α＜323°，又 sin （53° －α）＝ ，∴143°＜53°－α＜180°，则 sin （37°＋α）＝ cos [90°－ （37°＋α）]＝ cos （53°－α）＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. 已知 cos α＝ ，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tan β＝ ⁠. 解析：∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，∴β＝π－α＋ 2kπ，k∈Z，∴tan β＝tan（π－α＋2kπ）＝tan（π－α）＝－tan α＝－ ＝－ ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （13分）已知函数f（α）＝ . （1）化简f（α）； 解： f（α）＝ ＝ ＝ sin α. （2）若α∈（ － ， ），f（ α＋ ）＝ ，求 cos （ ＋α）＋2 cos （ －α）的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解： 因为f（α）＝ sin α， 所以f（ α＋ ）＝ sin （ α＋ ）＝ ， cos （ ＋α）＝ cos ＝－ sin （ α＋ ）＝－ ， cos （ －α）＝ cos ＝－ cos （ α＋ ）. 因为α∈（ － ， ），所以α＋ ∈（ 0， ）， cos （ α＋ ）＝ ，故 cos （ －α）＝－ ， 因此 cos （ ＋α）＋2 cos （ －α）＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 在△ABC中， sin （ －A）＝3 sin （π－A）， cos A＝－ cos （π－B），则△ABC为（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 √ 解析： 　由 sin （ －A）＝3 sin （π－A）可得 cos A＝3 sin A，即 tan A＝ ，又0＜A＜π，所以A＝ ，再由 cos A＝－ cos （π－B）可 得 cos A＝ cos B，所以 cos B＝ ，又0＜B＜π，所以B＝ ，所以C＝ ，所以△ABC为直角三角形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 已知α∈（ 0， ），β∈（ ，π），且 sin （ ＋α）＝ cos （ β－ ）， sin （π＋α）＝ sin （ －β），则β－α＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意得 由①2＋3×②2得， cos 2α＋9 sin 2α＝3，又 cos 2α＋ sin 2α＝1，所以 sin 2α＝ ，又α∈（ 0， ），所以 sin α＝ ，则α＝ .将α＝ 代入①，得 sin β＝ ，因为β∈（ ，π），所以 β＝ ，则β－α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. 〔多选〕已知 ＝3，－ ＜α＜ ，则（　　） A. tan α＝2 B. sin α－ cos α＝－ C. sin 4α－ cos 4α＝ D. ＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为 ＝ ＝3，所以tan α＝2＞0，又－ ＜α＜ ，所以0＜α＜ ，所以 sin α＞0， cos α＞0，由 ＝3＞0，可得 sin α－ cos α＞0，故A正确，B错误； sin 4α－ cos 4α＝（ sin 2α－ cos 2α）·（ sin 2α＋ cos 2α）＝ sin 2α－ cos 2α＝ ＝ ＝ ＝ ，故C正确； ＝ ＝ ＝ ，故 D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）已知 sin （ －θ） cos （ ＋θ）＝ ，且0＜θ＜ . （1）求tan θ的值； 解： ∵ sin （ －θ） cos （ ＋θ）＝ cos θ sin θ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴12tan2θ－25tan θ＋12＝0， 即（3tan θ－4）（4tan θ－3）＝0. ∵0＜θ＜ ，∴0＜tan θ＜1，∴tan θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求［ cos （ ＋θ）＋ sin （θ－ ）］·[ sin （3π－θ）－2 cos （π＋ θ）]的值. 解： ［ cos （ ＋θ）＋ sin （θ－ ）］·[ sin （3π－θ）－2 cos （π ＋θ）]＝（ sin θ－ cos θ）（ sin θ＋2 cos θ）＝ ＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $