第26讲简单的三角恒等变换课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“简单的三角恒等变换”专题，依据高考评价体系梳理了三角函数式的化简、求值（给角、给值、给值求角）及综合应用三大核心考点，通过模拟题分析明确“给值求值”“给值求角”占比达60%，归纳出选择、计算、实际应用等常考题型。 课件亮点在于“真题训练+技巧建模”，如以2026年辽宁沈阳模拟题“给角求值”为例，示范“和角公式转化非特殊角”方法，培养学生数学思维中的推理能力与数学语言的模型观念。总结“三看”化简原则、变角求值策略，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导复习，提升备考效率。

第26讲简单的三角恒等变换 考点一　三角函数式的化简 [例1]　(2026·江苏南京模拟)若<θ<π,则= (　　) A.1　　　　　　　　　　 B.cos 2θ C.-cos 2θ D.-1 B [解析]　因为<θ<π,所以cos θ<0,sin θ>0, 所以 = = = =cos2θ-sin2θ=cos 2θ. 方法总结 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 跟踪训练 1.(-tan3·(1+tan α·tan)=　　　　.  解析:原式=(-)·(1+·) =· =·=. 考点二　三角函数式的求值 角度1　给角求值 [例2]　(2026·辽宁沈阳模拟)sin 20°(+)=　　　　　.  [解析]　sin 20°(+)=sin 20°(+)=×2(sin 40°+cos 40°)=×2sin 70°====1. 1 方法总结 三角函数“给角求值”问题的解题策略 观察所给角与特殊角之间的关系,利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为(1)特殊角的三角函数值,(2)正、负相消的项和特殊角的三角函数值,(3)可以约分的项和特殊角的三角函数值等. 角度2　给值求值 [例3]　(2026·山东日照模拟)已知α是第一象限角,且sin α+cos α=3cos αtan α,则sin(α+)=(　　) A.- B.- C. D. D [解析]　因为sin α+cos α=3cos αtan α=3sin α, 所以cos α=2sin α,等号左右两边平方得cos2α=4sin2α=4(1-cos2α), 所以5cos2α=4. 又因为α是第一象限角, 所以cos α=, 则sin(α+)=cos α=. 方法总结 三角函数“给值求值”问题的解题策略 在“给值求值”问题中给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系. 角度3　给值求角 [例4]　已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,则2α+β=(　　) A. B.π C. D. A [解析]　因为α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-, 所以sin α=,cos α=,sin(α+β)=,α,β∈(0,),所以α+β∈(,π), 所以2α+β∈(,), 则sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=×-×=,所以2α+β=. 方法总结 三角函数“给值求角”问题的解题原则 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. (2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数;若角的范围为(-,),选正弦函数. 跟踪训练 2.计算:sin 40°(-tan 10°)=(　　) A.1 B.2 C. D.-3 解析:sin 40°(-tan 10°)=sin 40°(-)=sin 40°()=sin 40°·=====1. A 3.(2026·福建三明模拟)已知α,β是第一象限角,cos(α+β)=sin(α-β),求tan α=(　　) A. B.- C.-1 D.1 解析:已知cos(α+β)=sin(α-β),得cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β, 即cos αcos β+cos αsin β=sin αcos β+sin αsin β, 可得cos α(cos β+sin β)=sin α(cos β+sin β), 由α,β是第一象限角,有cos β+sin β≠0, 所以cos α=sin α,则有tan α=1. D 4.设α∈[,],β∈[,],且sin α+cos α=cos β,则(　　) A.α+β= B.α-β= C.α+β= D.α-β=- 解析:因为sin α+cos α=sin(α+)=cos β,所以sin(α+)=cos β=sin(-β). 因为α∈[,],β∈[,],所以α+∈[,],-β∈[0,], 所以α++-β=π,则α-β=. B 考点三　三角恒等变换的综合应用 [例5]　某城市一扇形空地的平面图如图所示,为了方便 市民休闲健身,现计划在该扇形空地建设公园.经过测量, 扇形空地的半径为600 m,∠AOB=120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区,且OC=OD. (1)求扇形空地的面积; [解]　扇形空地面积S=×6002× =120 000π(m2). (2)求矩形场地CDEF的最大面积. [解]　如图,记 的中点为G,连接OG,分别与EF,CD交于点M,N,连接OF, 设∠FOG=α, 则EF=2OFsin α, CF=MN=OM-ON=OM- =OFcos α-. 所以矩形面积S1=EF·CF =2OFsin α·(OFcos α-) =6002×(2sin αcos α-) =6002×(2sin αcos α-) =360 000×(sin 2α+cos 2α-) =360 000×[sin(2α+30°)-], 所以当α=30°时,矩形场地CDEF的面积取得最大值,且最大值为120 000 m2. 方法总结 1.进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用. 2.形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性等性质. 跟踪训练 5.古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数,,,….如图,则cos∠BAD=(　　) A. B. C. D. B 解析:记∠BAC=α,∠CAD=β,由题意知cos α==,sin α==,cos β==,sin β==,所以cos∠BAD=cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=. 积化和差、和差化积公式 教材延展 知识背景 知识背景 [例]　(1)已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)=(　　) A. B. C. D. C [解析]　cos α=,cos(α+β)cos β=, 由积化和差公式得cos(α+β)cos β=[cos(α+β+β)+cos(α+β-β)], 即cos(α+β)cos β=[cos(α+2β)+cos α], 故[cos(α+2β)+]=,解得cos(α+2β)=-=. (2)已知cos α+cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α-β)=(　　) A.　　　B.-　　　C.-　　　D. [解析]　由和差化积公式, 得cos α+cos β=2coscos=, sin α-sin β=2cossin=-, 两式相除,所以tan=-,所以tan(α-β)=tan(2·)==-. B 跟踪训练 1.若cos(α+)·cos(α-)=-,则sin 2α=(　　) A. B.- C. D.- 解析:因为cos(α+)cos(α-)=×[cos(α++α-)+cos(α+ -α+)]=×[cos(2α-)+cos π]=(sin 2α-1)=-,所以sin 2α=. C 2.(2026·湖南常德模拟)已知cos 2α=2sin2β-,cos(α-β)=,则tan αtan β=(　　) A. B.7 C.- D.-7 C 解析:因为cos 2α=2sin2β-,所以cos 2α+cos 2β=, 由和差化积公式可得2cos(α+β)cos(α-β)=. 因为cos(α-β)=,所以cos(α+β)=, 由cos αcos β+sin αsin β=,cos αcos β-sin αsin β=, 可得cos αcos β=,sin αsin β=-,所以tan αtan β==-. $