10.2.2 复数的乘法与除法 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦复数的乘法、除法运算法则及实系数一元二次方程的复数解。课堂导入从实数乘法分配律和幂运算法则出发，通过“尝试与发现”引导学生类比探究复数乘法法则，搭建从实数到复数的学习支架。 其亮点在于以类比推理构建知识联系，通过“探索与研究”培养数学思维，小结系统梳理运算法则与模的性质。例如复数乘法类比多项式乘法，除法用分母实数化，体现数学语言的精确表达，帮助学生发展抽象能力和推理意识，教师可提升教学效率。

第十章 复数 10.2.2 复数的乘法与除法 《人教B版2019高中数学必修第四册》 我们知道，实数的乘法对加法来说满足分配律，即a,b,c∈R时，有 (a+b)c=ac+bc 而且，实数的正整数次幂满足 aman=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn 其中m,n均为正整数.那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？ 一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2（或z1×z2)为z1与z2的积,并规定 z1z2=(a+bi)(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i 这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2=−1即可. 例如，对于上述尝试与发现中的三个复数来说，有 z1z2=3(1−2i)=3−6i, z2z3=(1−2i)(−5i)=−5i+10i2=-10-5i 显然，两个复数的积仍然是复数.可以证明，复数的乘法运算满足交换律与结合律，且对加法满足分配律，即对任意复数z1,z2,z3，有 z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例1 已知a，b∈R，求证： (a+bi)(a−bi)=a2+b2. 证明 根据复数乘法的定义有 (a+bi)(a−bi)=a2−abi+bai−b2i2 =a2+b2. 例1的结论可以总结为 ∀z∈C,z=|z|2=||2. n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn,即 zn=. 可以验证，当m,n均为正整数时， zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n n个 由此可知 (5i)2=52×i2=−25, i3=i2×i=-i, i4=i2×i2=(−1)×(−1)=1. 需要说明的是，以前我们所学过的和平方公式、平方差公式等，对于复数来说也是成立的，即 (z1+z2)2=z12+2z1z2+z22 z12−z22=(z1+z2)(z1−z2) 例2 计算(1+i)2与(1−i)2的值. 解 (1+i)2=12+2i+i2=2i； (1−i)2=12-2i+i2=-2i 可以验证，以前所学的等式性质仍然成立.例如，等式两边同时乘上一个复数，等式仍成立，即当z1=z2时，必定有z1z=z2z. 例如，例1也可按如下方式计算． (a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2+b2. 我们知道，在实数中，如果a≠0且ax=b，那么 x=. 下面我们用类似的方法给出两个复数相除的定义. 如果复数z2≠0，则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作 z=（或z=z1÷z2)(如不特别声明，以后总是默认为除数不能为0．), 而且同以前一样，z1称为被除数，z2称为除数. 利用复数除法的定义可以证明，当w为非零复数时，有 =,=+ 上述尝试与发现的式子可以改写为 a+bi=, 为了求出a,b的值，我们将上述等式右边看成一个分式.这样一来，就只要想办法把1+2i变成一个实数即可，注意到,(1+2i)(1−2i)=12−(2i)2=5. 因此 a+bi====− 上面这种方法通常称为“分母实数化”. 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数.z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积.显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商（除数不能为0)． 例3 求(1+2i)÷(3-4i)的值. 解 (1+2i)÷(3−4i)====−+ 同实数类似，可以定义非零复数的0次幂与负整数次幂，即当z为非零复数且n是正整数时，规定 z0=1,z−n= 例如，(1+i)−2==1==−. 因为 i2=(−i)2=−1 所以方程x2=−1在复数范围内的解集为{i，-i} 类似地，可以看出，当实数a>0时，方程x2=−a在复数范围内的解集为{i,−i} 例4 在复数范围内求方程x2+2x+3=0的解集. 解 因为 x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2, 所以原方程可以化为(x+1)2=−2，从而可知 x+1=i或x+1=−i 因此x=−1+i或x=−1−i，所求解集为 {−1+i,−1−i} x2=a 当a>0是x=± 当a=0是x=0 当a<0是x=± 在例4中，如果我们记x2+2x+3=0在复数范围内的两个解分别为x1,x2，则=x2且=x1，还可算得 x1+x2=−2, x1x2=3. 当a,b,c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 （1）当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ=b2−4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 当a,b,c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 （1）当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ=b2−4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 探索与研究 1.证明实系数一元二次方程解的结论 已知a≠0，方程为ax2+bx+c=0. 配方变形两边除以a：x2+x+=0 配方：(x+)2-+=0 整理得：(x+)2= 记△= 则：(x+)2= 当△>0时，x=(不相等的两个实数根） 当△=0时，x=- 当△<0时，x=(不相等的两个虚数根） 2.证明韦达定理（根与系数的关系） 设x1, x2 是方程 ax2+bx+c=0的两个根，不论哪种情况都有： x1+x2=-；x1x2= 练习A ①计算下列各式的值. (1)(4-8i)i; (2)-i(11-2i); (3) (4)(3−2i)2 (5)(1+i)(1-i); (6). ②计算i28,i37,i42,i90的值，并总结出in(n∈N)的取值规律. 8+4i -2-11i - 5-12i 2 - i i28=(i4)7=1; i37=(i4)9·i=i; i42=(i4)10·i2=-1; i90=(i4)22·i2=-1 规律：in(n∈N)具有周期性，周期为4： 当n=4k时in=1; 当n=4k+1时,in=i; 当n=4k+2时,in=-1; 当n=4k+3时,in=-i(k∈N) 练习A ③举例说明一般情况下，≠+ ④已知1+i是关于x的方程x2−ax+2=0的根，求实数a的值. 设w=1，z1=1+i，z2=1-i，则： 左边：= = 右边：+ = + = + = 1，所以≠+。 解 因为1+i是方程x2−ax+2=0的根 所以，方程的另外一个根是1-i (1+i)+(1-i)=-=a 所以，a=2 练习B ①计算下列各式的值. (1)； (2) ② 在复数范围内求方程x2+10x+40=0的解集. (1) ====i (2) ====-i x= = == 解集为 {-5+i,-5-i} 练习B ③ 已知z1=5+10i,z2=3−4i,=+，求z. = = = = = = = =+=+= ∴z====5-i ④ 已知+(4−i)(1+i)=+bi, 求实数a,b的值. 左边: +(4−i)(1+i)=+5+3i=(a+5)+2i 右边: +bi=+bi=-+(+b)i 等式两边实部、虚部分别相等： a+5=- 2=+b 解得： a=-,b= 练习B ⑤ 求证：(1)=()2; (2)z=; (3)=; (4)()=. 设z=a+bi，z1=,z2=a2+b2i(a,b,a1,b1,a2,b2 ∈R），则 =a-bi， =a1-b1i，=a2- b2i (1)==(a2-b2)+2abi;()2=(a-bi)2=a2-2abi-b2=(a2-b2)+2abi,得证 (2)===a+bi=z (3)= =(a1-b1i)(a2- b2i)=,左边=右边，得证 (4)()=-i,=,左边=右边，得证 小结 一、复数的运算法则 1.当m,n均为正整数时，zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n，z0=1(z≠0),z-n=(z≠0) 2.实系数一元二次方程在复数范围内的解 当a,b,c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 （1）当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根x=； （2）当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根x=-； （3）当Δ=b2−4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根x=，则x1+x2=-,x1x2=. 小结 设复数：z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R) 虚数单位：i2=-1 二、复数乘法 1.代数乘法公式:z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i 2.乘法运算律: 交换律：z1·z2=z2z1; 结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3); 分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 3. 共轭复数乘积:z=a2+b2=|z|2=||2 4. 常用i幂次:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+ ） 三、复数除法 1.核心思路: 分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数 小结 2. 除法公式: === 3. 计算步骤: ①写出分式形式; ②分母、分子同乘分母共轭复数; ③分别展开分子、分母; ④分开实部、虚部写成x+yi标准形式 四、模的运算性质 设z1,z2为复数，|z|为复数模 ①|z1·z2|=|z1|·|z2|; ②||=(z2≠0); ③|zn|=|z|n; 五、典型小结论:=-i; =i；（1±i)2=±2i 巩固提升 复数的乘、除运算 1.已知复数z=2-i,则z的值为(　　) A.5　　　　B.5　　　　C.3　　　　D.3 2.设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 z=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5. A 因为===+i, 所以复数在复平面内对应的点为(,)位于第一象限. A 巩固提升 复数的乘方运算及虚数单位i的幂的周期性 3.已知复数z满足z(1+i)=i2024(i为虚数单位),则z的虚部为(　　) A.-　　　　B.　　　　C.-i　　　　D. 4.(多选题)已知复数z在复平面内对应的点为(-,则(　　) A.|z|=1　　　　 B.z+=1 C.z2+z+1=0　　　　D.z2024= 　由z(1+i)=i2024得z====,故复数z的虚部为-. A 由题意得z=-+i.对于A,|z|==1,故A正确.对于B,=--i,则z+=-1,故B错误.对于C,z2+z+1=(-+)2+(-+i)+1=0,故C正确.对于D,z2024=(z3)674·z2,又z3-1=(z-1)(z2+z+1)=0,即z3=1，所以z2024=z2=--i故D正确. ACD 巩固提升 实系数一元二次方程在复数范围内的解集及应用 5.已知复数z满足z2+2z+5=0,则(　　) A.z=-1±2i　　　　B.z=1±2i C.z=-2±i　　　　 D.z=2±i 6.(多选题)已知a,b∈R,关于x的方程x2+ax+b=0有一个根为1+2i,i为虚数单位,另一个根为z,则(　　) A.该方程不存在实数根 B.a=-2,b=5 C.z在复平面内对应的点位于第三象限 D.||= 由z2+2z+5=0可得(z+1)2+4=0,即(z+1)2=-4=(±2i)2,可得z+1=±2i,解得z=-1±2i. A ABD 一个根为1+2i，则另一个根为1-2i，根据韦达定理可解a=-2,b=5. 再根据||=，可求得ABD正确 巩固提升 7.设复数z=+i,则|z2024|的个位数字是(　　) A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8 因为z=+i，可求得|z|= 则|z2024|=|z|2024=()2024=21012=24×253 因为21=2,22=2×2=4,23=2×4=8,24=2×8=16,25=2×16=32,26=2×32=64, 27=2×64=128,28=2×128=256,……,所以2n(n∈N*)的个位数字以4为周期重复出现,所以|z2024|的个位数字是6. C 巩固提升 8.(多选题)已知复数z满足z·(1+i)-=1-3i,则(　　) A.z=-1-i B.z在复平面内对应的点在曲线y=-x3上 C.z·=2 D.-的虚部为2 ACD 对于A,设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由z·(1+i)-=1-3i,得(a+bi)·(1+i)-(a-bi)=1-3i,整理得-b+(a+2b)i=1-3i,所以-b=1,a+2b=-3，解得a=-1,b=-1,所以z=-1-i,故A正确;对于B,z在复平面内对应的点为(-1,-1),当x=-1时,y=-(-1)3=1≠-1,所以点(-1,-1)不在曲线y=-x3上,故B错误;对于C,z·=|z|2=(-1)2+(-1)2=2, 故C正确;对于D,-==-z=-1+i-(-1-i)=2i,所以-的虚部为2,故D正确. 巩固提升 9.(1+i)20-(1-i)20=　　　. 解析　(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0. 0 $