10.2.2 复数的乘法与除法（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的乘法与除法运算，涵盖运算法则、运算律及实系数一元二次方程求解。通过回顾复数加减运算，类比实数多项式乘除提出问题，搭建“旧知引新知”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以类比迁移培养数学思维，如复数乘法类比多项式乘法，除法类比根式分母有理化。结合高考题实例（如2024新课标I卷），通过例题示范、跟踪训练强化运算能力，小结强调知识贯通与易错点，帮助学生形成逻辑思维，教师可直接用于课堂提升教学效率。

10．2.2　复数的乘法与除法 1 新课导入 学习目标 　　上节课我们研究了复数的加、减运算及其几何意义，发现其运算规律与实数的加、减运算规律是相似的，那么复数间有无乘法、除法运算呢？与实数多项式的乘法、除法是否也有类似的地方呢？ 1.掌握复数代数形式的乘、除运算． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　复数的乘法 思考1　多项式(ax＋b)·(cx＋d)的运算结果是什么？ 提示　(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd. 思考2　多项式的乘法遵循什么原则？ 提示　交换律、结合律及乘法对加法的分配律． 返回导航 [知识梳理] 1．运算法则：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________． 2．运算律：对于任意复数z1，z2，z3，有 交换律 z1z2＝________ 结合律 (z1z2)z3＝________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________ (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 返回导航 [例1] 计算： (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)； 【解】　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i； 【解】　(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. (3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R. 【解】　(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4. 返回导航 (1)两个复数代数形式乘法运算的一般方法 首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. 返回导航 [跟踪训练1] (1)复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限． √ 返回导航 返回导航 思考2　举例说明如何化简根式除法的结果呢？ 返回导航 点拨　(1)复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi(a，b∈R)的形式． 返回导航 √ √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 z1＋z2＝－1，C错误； z1z2＝1，D正确． 返回导航 (2)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则ab＝________． 4 返回导航 返回导航 返回导航 [跟踪训练3] (1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为(　　) A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3 解析：根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B. √ 返回导航 (2)若关于x的方程x2－kx＋3＝0有虚数根，则实数k的取值范围是________________． 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 27 √ 返回导航 √ 返回导航 √ √ 返回导航 解析：易知两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为－3－4i，A正确； 又(－3＋4i)(－3－4i)＝25＝q，即q＝25，又－6＝－p，解得p＝6，所以pq＝150，p－q＝－19，B错误，C正确； 返回导航 1 返回导航 5．已知2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则实数b＝________． 26 返回导航 1．已学习：复数代数形式的乘、除运算及复数范围内解方程． 2．须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立． 3．应注意：(1)在复数的运算中忽视i2＝－1造成运算失误； (2)实系数一元二次方程的虚数根成对出现，且互为共轭复数． 返回导航 $