精品解析：陕西省洛南中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

陕西省洛南中学2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用复数乘法求复数. 【详解】由 ． 故选：C 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，解得：. 3. 已知向量的夹角为，，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知：向量的夹角为，， 则， 所以. 4. 若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出底面圆的半径，再由侧面积公式得解. 【详解】设圆锥底面半径，高为，母线为， 则， 所以圆锥的侧面积. 5. 已知是不同的直线 是不重合的平面，若 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，又因， 所以，因此. 6. 如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可求答案. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理可得，即， 因为点C测得塔顶A的仰角为，所以. 故选：C 7. 正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答. 【详解】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为，令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，即， 而，则， 在中，，解得，， 所以它的内切球与外接球的表面积之比为. 故选：D 8. 如图，在圆柱OP中，底面圆的半径为2，高为4，AB为底面圆O的直径，C为上更靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，取OA的中点D，连接CO，PO，CD，PD，可证直线与平面所成的角为，再结合题设中的数据可求线面角的正弦值. 【详解】如图，取OA的中点D，连接CO，PO，CD，PD， 由题意得，所以△AOC为正三角形，则， 因为平面，平面，所以，同理， 而平面，所以平面， 而平面，则， 由平面可得直线与平面所成的角为． 由等边三角形及可得． 又，得． 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以或． 故选：CD． 10. 已知直线a，b及平面，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若，，则直线与直线可能平行，可能异面，故A错误. 对于B，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.若，，则，故B正确. 对于C，若，，则直线与平面，可能垂直可能平行也可能相交但不垂直. 故C错误. 对于D，若，，如图过直线作平面与平面相交于直线，可得，因为，所以，又因为， 可得.故D正确. （课后训练原题） 11. 若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则M是边BC的中点 B. 若，则M是边BC的中点 C. 若，则点M是△ABC的重心 D. 若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据向量的运算得到，即可判断；对C，根据重心的性质即可判断；对D，根据向量的运算得到，即可求解. 【详解】对于A，由，得，即， 因此点M是边BC的中点，故A正确； 对于B，，， 则点在边的延长线上，所以B不正确； 对于C，设中点，则,， 由重心性质可知C正确； 对于D，，且 ， 设分别取AB，的中点为N，，则， 即点 M在过AB中点且平行BC的直线上即M在上， 在的中位线上， 的面积是的，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为虚数单位，若，则的虚部为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】因为，故的虚部为. 13. 设、为单位向量，若，则________. 【答案】（或） 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算性质和定义可求得，结合向量夹角的取值范围可得答案. 【详解】因为、为单位向量，，则， 所以， 因为，故. （课本原题） 14. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：    （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是______ 【答案】（1）（2）（4）（5） 【解析】 【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案. 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形， 其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形， 所以（1）和（2）正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化， 所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误； 因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确； 因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值， 所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确， 故答案为：（1）（2）（4）（5）. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，，为边上一点，且． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）在△中，由余弦定理，即可求. （2）在中，由正弦定理，即可求. 【详解】（1）在△中，，，， 由余弦定理得：， ∴． （2）在中，，，， 由正弦定理得：，即， ∴． 16. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的充要条件，求出，再利用向量数量积的坐标运算求解； （2）根据两向量垂直数量积为求出，再利用向量夹角余弦值的公式求解； 【小问1详解】 因为，所以，即，所以 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以，而， 所以. （学程案原题） 17. 如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形来证明线线平行，进而证得线面平行； （2）利用等体积法可求体积. 【小问1详解】 取中点，连接，如图所示， ∵为的中点.，∴且， 又为的中点，又∵，且， ∴，且，∴，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面；平面，∴平面． 【小问2详解】 . 18. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． （1）求角B； （2）若，AC边上的中线长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解；法二，利用余弦定理角化边，进而求出角. （2）利用中点向量关系，借助数量积的运算律求出边c，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 （1）法一：由已知及正弦定理可得： 可得，因为，所以， 因为，所以，因为，所以. 法二：由已知及余弦定理可得：， 化简得，由余弦定理可得 因为，所以，因为，所以. 【小问2详解】 由，得， 即，整理得，即，解得， 所以. 19. 如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. 注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分. （1）证明：； （2）求直线和所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据平行关系和等腰三角形三线合一性质可证得，，根据线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）根据平行关系和异面直线所成角定义可知所求角为（或其补角），根据长度关系和余弦定理可求得结果； （3）根据平行线分线段成比例可确定当时，，根据线面平行的判定可证得结论. 【小问1详解】 连接， 分别为的中点， ，， ， ； 四边形为边长为的菱形，， 为等边三角形， ； 平面，， 平面， 平面， . 【小问2详解】 连接，交于点，连接， 四边形为菱形， 为中点，又为中点， ，， 和所成角即为（或其补角）； 在中，， ，又，， ， 即直线和所成角的余弦值为. 【小问3详解】 存在点，当时，平面，证明如下： 设与交于点，连接， 四边形为菱形，为中点， ，， ， ， 当时，， 平面，平面， 平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省洛南中学2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量的夹角为，，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是不同的直线 是不重合的平面，若 则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，测量河对岸的塔高AB时，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 7. 正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在圆柱OP中，底面圆的半径为2，高为4，AB为底面圆O的直径，C为上更靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选题）在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则角可以等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线a，b及平面，．下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 （课后训练原题） 11. 若M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则M是边BC的中点 B. 若，则M是边BC的中点 C. 若，则点M是△ABC的重心 D. 若，且，则△MBC的面积是△ABC面积的 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为虚数单位，若，则的虚部为_____. 13. 设、为单位向量，若，则________. （课本原题） 14. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：    （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，，，为边上一点，且． （1）求； （2）若，求． 16. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． （学程案原题） 17. 如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 18. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． （1）求角B； （2）若，AC边上的中线长为，求的面积． 19. 如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二. 注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分. （1）证明：； （2）求直线和所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $