精品解析：陕西省榆林市绥德县第一中学2024-2025学年高一下学期第二次质量检测(期中考试)数学试题

绥德一中高2027届2024—2025学年度第二学期第二次质量检测 数学试题（卷） 命题人：白薇 第Ⅰ卷（选择题） 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法，结合共轭复数的意义求出对应点坐标即可. 【详解】依题意，，则，在复平面内对应点在第一象限. 故选：A 2. 设复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：C 3. 已知向量，，且，那么x的值是（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直则数量积等于0，则得到方程，解出即可. 【详解】因为，所以，所以，解得， 故选：B. 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，结合投影向量的计算公式运算求解. 【详解】因为，则， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 5. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】应用正弦定理求得，结合且，即可得. 【详解】由题设及，则， 又，故为锐角，且，所以. 故选：B 7. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 8. 如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象知与的夹角的大小相等，结合向量夹角余弦公式可得结论. 【详解】因为，所以为直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，，， 又D，E分别为BC，AB中点， 所以，， 故，， 所以， 故选：D． 【点睛】 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 下列结论中正确的为（ ） A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B. 向量与向量的长度相等 C. 对任意向量是一个单位向量 D. 零向量没有方向 【答案】BC 【解析】 【分析】根据单位向量、共线向量及零向量的定义判断各项的正误即可. 【详解】A：由单位向量的方向不一定相同，故两个有共同起点的单位向量，其终点也不一定相同，错； B：由向量、向量的方向相反、模长相同，即长度相等，对； C：对于任意非零向量，表示与同向的单位向量，对； D：根据零向量的定义，其方向任意，错. 故选：BC 10. 在中，，，则边的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用余弦定理解三角形即可求得结果. 【详解】，， 由余弦定理得：， 即，解得：或；经检验，均满足题意. 故选：BD. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得，解得. 故答案为：3 13. 在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以的面积等于. 故答案为：. 14. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________. 【答案】米 【解析】 【分析】设，即可得到，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得， 而， 则，， 所以， 在中，，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 所以铁塔的高度为米. 故答案为：米. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 平面内给定两个向量，； （1）求的坐标； （2）求以及. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得； （2）首先求出，，，，再根据夹角公式及向量模的坐标计算公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 因为，， 所以，，，， 所以，. 16. 设为平面内的四点，且. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）令，应用向量的坐标表示及有，即可得； （2）应用向量线性关系的坐标运算及向量平行的坐标表示列方程求参数值. 【小问1详解】 令，又，则， 所以，则，故； 【小问2详解】 由题设，， 又与平行，则，可得，即. 17. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再根据平面向量共线定量及平面向量基本定理得到方程组，解得即可； （2）根据平面向量线性运算法则计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 又三点共线，存在实数，使得， 即，得， 是平面内两个不共线的非零向量， ，解得． 【小问2详解】 因为，， 又，， 所以 ； 18. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）正三角形． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由，及，得， 所以. 【小问3详解】 由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 19. 已知向量，定义函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数化为正弦型函数，即可求函数的最小正周期； （2）根据函数，结合三角形解方程得角的大小，根据的面积公式结合余弦定理与基本不等式即可求长度的最大值. 【小问1详解】 解：= 的最小正周期为 【小问2详解】 解： ，，. 又AB， . 由余弦定理得，当且仅当时，“=”成立， =. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥德一中高2027届2024—2025学年度第二学期第二次质量检测 数学试题（卷） 命题人：白薇 第Ⅰ卷（选择题） 一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知向量，，且，那么x的值是（　　） A. B. 3 C. D. 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 或 7. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 下列结论中正确的为（ ） A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B. 向量与向量的长度相等 C. 对任意向量是一个单位向量 D. 零向量没有方向 10. 在中，，，则边的长可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则________． 13. 在中，、、所对的边分别为、、，若，，则的面积等于_____. 14. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 平面内给定两个向量，； （1）求的坐标； （2）求以及. 16. 设为平面内的四点，且. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 17. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，，求的坐标. 18. 在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 19. 已知向量，定义函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $