18.2.2第2课时菱形的判定定理课件2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦菱形的判定定理2，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形。课堂导入通过“做一做”折纸实验和“探索”木棒转动操作，复习旧知（定义、四边相等判定），以问题链引导思考，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于融合动手操作与逻辑推理，如折纸实验培养几何直观（数学眼光），定理证明及例题推理强化推理意识（数学思维），规范几何语言及归纳判定思路提升模型意识（数学语言）。助力学生提升探究与推理能力，为教师提供丰富教学素材和清晰教学逻辑。

18.2.2 菱形的判定 第 2 课时 菱形的判定定理2 第18章 矩形、菱形与正方形 1.理解菱形的判定定理2，能初步综合应用菱形的性质与判定定理解决相关的计算与证明问题． 2 问题 上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？ 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.定理：四边相等的四边形是菱形. 菱形的特有性质：对角线互相垂直平分 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 能否判定？ 思考：还有其他的判定方法吗？ 做一做 将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形. (1) (2) (3) (4) 你能说说这样做的道理吗? 猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 探索 取两根长度不等的细木棒，让这两个细木棒的中点如图重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，转动其中一根木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形呢? 1 试一试 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 作法: (1) 作两条互相垂直的直线m、n，记交点为 O ； (2) 以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC ； (3) 以点 O 为圆心、另一适当长 为半径作弧，在直线 n 上截取 相等的两线段 OB、OD； (4) 顺次连结所得的四个点. n m D C B A O n m D C B A 问题1 所画平行四边形是菱形吗？ O 是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 问题2 对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 不一定！反例：比如筝形 已知：四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与 BD相交于点 O，AC ⊥ BD. 求证：平行四边形 ABCD 是菱形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC， 又∵AC ⊥ BD, ∴BD 所在直线是线段 AC 的垂直平分线， ∴AB = BC ∴平行四边形 ABCD 是菱形.（菱形的定义） A O C B D 菱形的判定定理 2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言： ∵在 □ ABCD 中，AC ⊥ BD， ∴四边形 ABCD 是菱形. A O C B D n m D C B A 问题1 所画平行四边形是菱形吗？ O 是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 问题2 对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 不一定！反例：比如筝形 几何语言 在 □ ABCD 中，AC⊥BD， ∴ □ ABCD 是菱形. 菱形的判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A B C D 知识要点 思 考：若四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD，则四边形 ABCD 是不是菱形？ 只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱形. 例题：如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F. 求证：四边形 AFCE 是菱形. 2 A B C D F E O 1 要证四边形 AFCE 是菱形 已知条件可知 EF ⊥ AC 只需要证明四边形 AFCE 是平行四边形 又知 EF 垂直平分 AC 所以只需证明 OE = OF 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠1 = ∠2. ∵EF 平分 AC， 在△AOE 和 △COF 中， ∴△AOE ≌ △COF，∴OE = OF， ∴四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵EF ⊥ AC， ∴四边形 AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形.) ∴ AE ∥ FC， ∴OA = OC. ∵∠1 = ∠2，OA = OC，∠AOE = ∠COF， 如图，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 解：(1)∵DE∥BC，且2DE＝BC， 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形； (2)∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为42=8. 几何语言 在 □ ABCD 中，AC⊥BD， ∴ □ ABCD 是菱形. 菱形的判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A B C D 知识要点 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 【定理证明】 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ ABCD 是菱形. 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 【定理证明】 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ ABCD 是菱形. 四边形 判定一个四边形是菱形的思路： 归纳总结 四条边都相等 菱形 平行四边形 一条邻边相等 菱形 对角线互相垂直 菱形 思考与动手： 1. 在一张纸上用尺规作图作出边长为 10 cm 的菱形； 2. 想办法用一张长方形纸剪出一个菱形； 3. 利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？ 请向同学们展示你的作品，全班交流. 流程不一定完完全全按照课本上来 19 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 想一想 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分 ABCD 的形状吗？ A C D B 四边形 ABCD 是菱形吗，为什么 ? 证明：分别过点 A 作 AE⊥ BC，交 BC 于点 E， AF⊥DC 于点 F . ∵ AD∥BC，AB∥DC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ □ ABCD 的面积 = BC×AE = DC×AE ∵ AE = AF， ∴ BC = CD. ∴ □ ABCD 是菱形 . A C D B 返回 【点方法】菱形的判定方法选择 当判定一个四边形是菱形时，可以先证明它是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或对角线垂直；也可证明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分，在具体问题中，要注意根据题目选择合适的方法． 23 例1 如图，□ ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D O 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 证明：∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5， 即 AC⊥BD. ∴ AB2 = OA2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 典例精析 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2. ∵ EF 垂直平分 AC，∴ AO = OC. 在△AOE 和△COF 中， ∵∠1 =∠2，AO = OC，∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.又∵ EF⊥AC， ∴ 四边形 AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 例2 如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F.求证：四边形 AFCE 是菱形. A B C D E F O 1 2 典例精析 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 给定一条线段 AC，你能否利用尺规作图作出一个菱形，使 AC 为该菱形的一条对角线？试试看. 提示: 作线段 AC 的垂直平分线， 并以垂足为圆心，任意长为半径 交垂直平分线于 B，D 两点， 连结 AB、CB、AD、CD 即可. A C O D B 【选自教材练习 第1题】 2. 如图，过 □ ABCD 的对角线的交点 O，作互相垂直的两条直线 EG、FH，与 □ ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H. 求证：四边形 EFGH 是菱形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，OB ＝OD，∴ ∠GBO ＝∠EDO. 又∵ ∠BOG ＝∠DOE，∴ △BOG≌△DOE，∴ OG ＝OE. 同理可证△BOF≌△DOH，∴ OF ＝OH， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 又∵ EG ⊥ FH， ∴ 四边形 EFGH 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). A B C D E F G H O 【选自教材练习 第2题】 $