18.2.2 菱形的判定-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

18.2.2 菱形的判定 知识储备 4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BD平 1.四条边都 的四边形是菱形 分∠ABC,∠A=∠C. 2.对角线 的平行四边形是菱形. 求证：四边形ABCD是菱形. 01基础练 细必备知识梳理一 知识点一 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.如图，□ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,如果 添加一个条件，可推出 □ABCD是菱形的是 A.AB=CD B.AC=BD C.AC⊥BC D.AB=CB 知识点三对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2.如图，□ABCD中，对角线AC平分∠BAD, 5.(2025·湖南)如图，在四边 求证：□ABCD是菱形 形ABCD中，对角线AC与 BD互相垂直平分，AB=3, 则四边形ABCD的周长为 A.6 B.9 C.12 D.18 6.【新中考·条件开放】如图， 在平行四边形ABCD中，对 角线AC,BD相交于点O,请 添加一个条件 ,使平行四边形ABCD为菱形. 7.如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线AC 上的两点，且AE=CF, 知识点二四条边都相等的四边形是菱形 求证：四边形BEDF是菱形. 3.如图，点B,C分别是锐角∠A两边上的点， AB=AC,分别以点B,C为圆心，以AB的长 为半径画弧，两弧相交于点D,连结BD,CD, 则四边形ABDC的形状是 ,依据是 助学助教优质高数82 02综合练 膏关能能力提升一 03素养练 季李科去米路有一 8.如图，在□ABCD中，对 0 12.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB= 角线AC,BD相交于点 AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分 O,添加下列条件不能判A ∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长 定□ABCD是菱形的只有 线于点E,连结OE. A.AC⊥BD B.AB=BC (1)求证：四边形ABCD是菱形； C.AC=BD D.∠1=∠2 (2)若AB=√5，BD=2,求OE的长. 9.(2025·德阳)如图，点E、 F、G、H分别是四边形 ABCD边AB、BC、CD、DA 的中点，如果BD=AC,四边形EFGH的面 积为24.且HF=6,则GH= ( A.4 B.5 C.8 D.10 10.如图，矩形ABCD的对角 线AC,BD相交于点O, DE∥AC,CE∥BD,若 B AB=5,BC=12,则四边形CODE的周长为 11.（2025·汝阳期末)如图，在平行四边形 ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的 动点（不与A、D重合），EG的延长线与BC 的延长线相交于点F,连结CE、DF. (1)求证：四边形CEDF是平行四边形； (2)填空：若AB=3,BC=5,∠B=60°，则当 AE= 时，四边形CEDF是 菱形 少解题炒招 解决“菱形的判定”有关的题目时，若已知条 件涉及对角线，通常利用“对角线互相垂直的平行 四边形是菱形”.有时作辅助线—一添加对角线， 解决问题更简单.如T7. 83八年级数学·下册·HS=AC·(OD+OB)=)AC·BD.∴Snn= a6 【针对练习】 36 5 18.2.2菱形的判定 知识储备 1.相等2.互相垂直 基础练 1.D2.证明：.□ABCD,..AD∥BC.,.∠DAC=∠ACB..AC平分 ∠BAD,.∠BAC=∠DAC.∴.∠BAC=∠ACB,∴.AB=CB.又□ABCD ∴□ABCD是菱形.3.菱形四条边相等的四边形是菱形 4.证明：：BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD.在△ABD和△CBD中， /ABD=∠CBD, ∠A=∠C, .△ABD≌△CBD..AB=BC,AD=CD.又AB= BD=BD. AD,∴AB=BC=CD=AD..四边形ABCD是菱形.5.C6.AC⊥BD (答案不唯一)7.证明：连结BD,交AC于O.,四边形 ABCD是菱形，∴.BD⊥AC,AO=CO,BO=DO..AE= CF,∴.EO=FO.又BO=DO,∴.四边形BEDF是平行四 边形.又BD⊥EF,∴.平行四边形BEDF是菱形.8.C 9.B10.2611.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，，.BC∥AD ∴.CF∥ED.∴.∠FCD=∠EDG.,G是CD的中点，.CG=DG.在△FCG I∠FCG=∠EDG, 和△EDG中，CG=DG, ..△FCG2△EDG(ASA)..∴.FG=EG ∠CGF=∠DGE. ,CG=DG,∴四边形CEDF是平行四边形；(2)解：：四边形CEDF是菱 形.∴CE=DE.:∠CDE=∠B=60°，∴△CDE是等边三角形.DE= CD=3,.AE=AD-DE=2.故答案为：212.(1)证明：，AB∥DC, ∠OAB=∠DCA.,'AC为∠DAB的平分线，∴.∠OAB=∠DAC.∴.∠DCA =∠DAC.∴.CD=AD=AB.,AB∥DC,∴.四边形ABCD是平行四边形 AD=AB,.平行四边形ABCD是菱形；(2)解：，四边形ABCD是菱形， 0A-OC.BDLAC.CELAB.0E=OA=OC.BD=2.0B- BD=1.在Rt△AOB中，AB=√5，OB=1,,∴.OA=√AB2-OB2=5-1= 2..OE=OA=2. 18.3正方形 知识储备 1.轴对称 中心对称2.相等直角相等且互相垂直平分3.直角 邻边 基础练 1.D2.183.34.(1)证明：.正方形ABCD,.AD=AB=CB,∠DAB =90°=∠B.,BM=CV,∴.AB-BM=CB-CN.即AM=BN.,AD= BA,∠DAB=∠B,∴.△ABN≌△DAM;(2)解：'△ABN≌△DAM, ∴.∠ADM=∠BAN.又∠ADM+∠AMD=90°，.∴.∠BAN+∠AMD=90° ∴.∠APM=90°.5.有一组邻边相等的矩形是正方形6.①②7.证明： ,CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,∴.∠DEC=∠DFC=90°，DE=DF. 又∠ACB=90°，∴.四边形DECF是矩形.又DE=DF,.矩形DECF是正 方形.8.证明：.AC=BC,∠ACB=90°，CD是AB边上的中线.∴.∠B ∠BAC=45,CD=AD=2AB.∠BAC=∠ACD=45°.∴∠ADC=180 45°X2=90°.平行四边形ADCE,AD=CD,.□ADCE是菱形.又 ∠ADC=90°，，.菱形ADCE是正方形.9.410.解：(1)四边形BPCO为 平行四边形.理由：：四边形ABCD为平行四边形，.OC=OA=?AC,OB =OD=号BD.:以点B,C为圆心，？AC.2BD长为半径画弧，两弧交于点 P,∴.OB=CP,BP=OC.∴.四边形BPCO为平行四边形；(2)当AC⊥BD, AC=BD时，四边形BPCO为正方形.，AC⊥BD,∴.∠BOC=90°.∴.□BD C0是矩形.：AC-BD,OB=2BD.OC-2AC,OB=0C.矩形BPC0