18.2.2 第2课时 菱形的判定定理2（课件）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

18.2.2 菱形的判定 第 2 课时 菱形的判定定理2 第18章 矩形、菱形与正方形 八年级下册数学（华师版） 1.利用菱形特有性质（对角线互相垂直）来判定平行四边形是否为菱形；（重点） 2.菱形的性质与判定的综合运用.（难点） 学习目标 问题 上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？ 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.定理：四边相等的四边形是菱形. 菱形的特有性质：对角线互相垂直平分 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 能否判定？ 思考：还有其他的判定方法吗？ 复习回顾 做一做 将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形. (1) (2) (3) (4) 你能说说这样做的道理吗? 猜想 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 探索 取两根长度不等的细木棒，让这两个细木棒的中点如图重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，转动其中一根木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形呢? 1 探究新知 试一试 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 作法: (1) 作两条互相垂直的直线m、n，记交点为 O ； (2) 以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC ； (3) 以点 O 为圆心、另一适当长 为半径作弧，在直线 n 上截取 相等的两线段 OB、OD； (4) 顺次连结所得的四个点. n m D C B A O n m D C B A 问题1 所画平行四边形是菱形吗？ O 是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 问题2 对角线互相垂直的四边形是菱形吗？ 不一定！反例：比如筝形 几何语言 在 □ ABCD 中，AC⊥BD， ∴ □ ABCD 是菱形. 菱形的判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A B C D 知识要点 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 【定理证明】 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ ABCD 是菱形. 四边形 判定一个四边形是菱形的思路： 归纳总结 四条边都相等 菱形 平行四边形 一条邻边相等 菱形 对角线互相垂直 菱形 思考与动手： 1. 在一张纸上用尺规作图作出边长为 10 cm 的菱形； 2. 想办法用一张长方形纸剪出一个菱形； 3. 利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？ 请向同学们展示你的作品，全班交流. 流程不一定完完全全按照课本上来 11 想一想 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分 ABCD 的形状吗？ A C D B 四边形 ABCD 是菱形吗，为什么 ? 证明：分别过点 A 作 AE⊥ BC，交 BC 于点 E， AF⊥DC 于点 F . ∵ AD∥BC，AB∥DC ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ □ ABCD 的面积 = BC×AE = DC×AE ∵ AE = AF， ∴ BC = CD. ∴ □ ABCD 是菱形 . A C D B 例1 如图，□ ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D O 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 证明：∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5， 即 AC⊥BD. ∴ AB2 = OA2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 典例精析 【练一练】 1. 如图，在 □ ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ ABCD 的周长. 解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD. ∵ AC 平分∠DAB， ∴∠DAC =∠BAC. ∴∠DAC =∠ACD. ∴ AD = CD. ∴ 平行四边形 ABCD 为菱形. ∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8. 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2. ∵ EF 垂直平分 AC，∴ AO = OC. 在△AOE 和△COF 中， ∵∠1 =∠2，AO = OC，∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO. ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.又∵ EF⊥AC， ∴ 四边形 AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 例2 如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F.求证：四边形 AFCE 是菱形. A B C D E F O 1 2 典例精析 【练一练】 2. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC = 90° B．AC⊥BD C．AB = CD D．AB∥CD B A B C D O 1. 判断下列说法是否正确： (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形； (2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形； (4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 当堂练习 3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在 一起，重叠的部分为四边形 ABCD，若 AC = 6cm , BD = 8cm,则重叠部分四边形 ABCD 的面积为 （ 　） A．10cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．48cm2 C 2. 一边长为 13 cm 的平行四边形的两条对角线的长 分别为 24 cm 和 10 cm，则其面积为 cm2. 120 3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连结 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　） A．AB = BC B．AC = BC C．∠B = 60° D．∠ACB = 60° B 解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE ， ∴ AC∥DE，AC = DE.∴ 四边形 ACED 为平行四边形. 当 AC = BC 时，平行四边形 ACED 是菱形．故选 B． 4.如图，在平行四边形 ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长. 解: ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ △DAO是直角三角形. ∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC. ∴ 平行四边形 ABCD 是菱形. （对角线互相垂直的平行四边形是菱形） ∴ 又∵ AD = 5，满足 ∴ AB = AD = 5 . B C A D O E M N 证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC， ∠AOD =∠EOC = 90°. ∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO. ∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE. ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵ DE⊥AC，∴ 四边形 ADCE 是菱形. 5. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连结 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形. 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 当堂小结 $