精品解析：湖南长沙市南雅中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

长沙市南雅中学2026届高三第二次模拟考试试卷 数学 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共4页．时量120分钟，满分150分． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在复平面内，的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. e 3. 已知随机事件与满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 《道德经》有云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土．”这体现了积累的深远意义．假设商人甲每天通过经营使财富增长1%，那么商人甲的财富增长到最初的2倍至少需要经过多少天？（参考数据：，）（ ） A. 40 B. 70 C. 110 D. 180 5. 若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（ ） A. 112 B. 224 C. 56 D. 28 6. 已知抛物线焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 能作为一组基底 B. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 C. 平行四边形中，若，则四边形是矩形 D. 已知，为虚数单位，若复数为纯虚数，则 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若有两解，则取值范围是 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为3 11. 已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（ ） A. 当时，则直线与所成角的正切值范围是 B. 当，时，则的最小值为 C. 当时，线段AP的长度最小值为 D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 13. 已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 14. 有5个不同的球，分别标有数字．从中有放回地随机取次，每次取1个球，记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，若，则的数学期望为___________，若（其中），则的数学期望为_________．（用表示） 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角，，的对边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）已知，，在边上，且满足，求的长． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面底面，且， （1）证明：； （2）若直线与平面所成角为，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 17. 已知椭圆：的离心率为，焦点与短轴端点围成四边形的面积是． （1）求椭圆E的方程； （2）过右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，线段的垂直平分线交直线l于点P，交直线于点Q，求的最小值． 18. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 19. 已知是等差数列，． （1）求的通项公式和． （2）设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市南雅中学2026届高三第二次模拟考试试卷 数学 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共4页．时量120分钟，满分150分． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在复平面内，的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解. 【详解】根据题意，， 则的共轭复数为，其对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. e 【答案】B 【解析】 【详解】函数，则， 所以. 3. 已知随机事件与满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】首先求出事件与同时发生的概率： 根据公式，即，解得.所以. 4. 《道德经》有云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土．”这体现了积累的深远意义．假设商人甲每天通过经营使财富增长1%，那么商人甲的财富增长到最初的2倍至少需要经过多少天？（参考数据：，）（ ） A. 40 B. 70 C. 110 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】设商人最初的财富为，至少经过天甲的财富增长到最初的2倍，列出，利用对数运算性质可求出的范围. 【详解】设商人甲最初的财富为，至少经过天甲的财富增长到最初的2倍，则有， 两边取常用对数得，所以． 又因为，， 所以解得. 故选：. 5. 若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（ ） A. 112 B. 224 C. 56 D. 28 【答案】A 【解析】 【详解】由得，∴， ∴第3项系数为. 6. 已知抛物线焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由焦半径公式得出与的关系，再把点坐标代入抛物线方程可求得，然后可计算出面积． 【详解】过向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，故 又在抛物线上，则，于是，解得，. 所以. 故选：C． 7. 已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，使得点为的最高点或最低点，再利用正弦型函数性质计算即可得. 【详解】当时，， 若的图象在点处的切线与轴平行， 则点为的最高点或最低点， 由，要使得最小，则或， 分别解得或，由，故的最小值是. 8. 设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，从而可求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则 ， 所以， 所以， 因为的面积为，， 所以，得， 所以，令得， 解得或，即或， 或， 因为，所以. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 能作为一组基底 B. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 C. 平行四边形中，若，则四边形是矩形 D. 已知，为虚数单位，若复数为纯虚数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，可判定A错误；根据投影向量的计算公式，可判定B正确，根据向量的运算法则，求得，可判定C正确；根据复数的定义，列出方程组，可判定D错误. 【详解】对于A，由向量，可得，所以共线， 所以向量不能作为一组基底，所以A错误； 对于B，由向量，，可得 则向量在向量上的投影向量为，所以B正确； 对于C，由，可得， 则，可得， 可得，所以，可得， 又因为四边形为平行四边形，所以四边形是矩形，所以C正确； 对于D，由复数为纯虚数，可得，解得，所以D错误. 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若有两解，则取值范围是 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量运算结合面积公式得到，A正确；根据，代入数据则可判断B正确；确定，计算，C错误；利用均值不等式结合余弦定理得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，故，故， ，所以，故A正确； 对选项B：若△ABC有两解，则，即，则，故B正确； 对选项C：为锐角三角形，则，，故， 则，，故，故C错误； 对选项D：若为边上的中点，则， 故， 又，， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故， 所以，故，正确； 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为，点P满足，其中x，y，，下列正确的是（ ） A. 当时，则直线与所成角的正切值范围是 B. 当，时，则的最小值为 C. 当时，线段AP的长度最小值为 D. 当时，记点的轨迹为平面，则截此正方体所得截面面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，当时，点在线段上动，即为直线与所成角；对于选项B，当，时，点在线段上动，故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上即可求解；对于选项C，当时，点在内部及边界上动，线段AP的长度最小值即点A到平面的距离，由等体积法即可求解；对于选项D，当时，记点的轨迹为平面，故平面截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积. 【详解】对A，当时，点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，设， 则在中，， ，故A正确； 对于B，当，时，点在线段上动， 故将三角形与四边形沿展开到同一个平面上， 由图可知，线段的长度即为的最小值， 在中，，故B错误； 对于C，当时，点在内部及边界上动， 则线段AP的长度最小值即点A到平面的距离，由得线段AP的长度最小值为，故C正确； 对于D，当时，记点的轨迹为平面， 故平面截此正方体所得截面面积的最大值为正方体的中截面的面积，如图所示： 当点分别为对应棱的中点时，连结， 可得平面平行于平面，且为正六边形，此时该截面是最大截面， 由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，则面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心、半径，结合，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可. 【详解】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， 实数的值为. 13. 已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 14. 有5个不同的球，分别标有数字．从中有放回地随机取次，每次取1个球，记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，若，则的数学期望为___________，若（其中），则的数学期望为_________．（用表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，求出的可能值及各个值对应的概率，再求出数学期望；当时，取新的随机变量，结合期望的可加性求解. 【详解】当时，的可能取值为，， 所以的数学期望为； 当时，假设随机变量，其中， 其中，则， 由球的等可能性，得， 由期望的线性性质，得， 依题意，球在单次抽取中未被取出的概率为， 则次均未取出球的概率为，球至少被取出一次的概率为， 因此，， 所以的数学期望为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角，，的对边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）已知，，在边上，且满足，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式结合三角形内角和计算求解； （2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形． 【小问1详解】 由得， 即， ，即， ， 又， ． 【小问2详解】 已知，，，在边上，且满足， ， ， ， 在中，由余弦定理得， 在中，已知， 则 ， 解得． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面底面，且， （1）证明：； （2）若直线与平面所成角为，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角. 【小问1详解】 取的中点M，连接，． ∵，．则为正三角形，． 又 ,平面, 平面，又,平面, 【小问2详解】 以为原点，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系, 由题可知．设，则．． ， ．，， 设平面的法向量是，则， 令，则平面的一个法向量是， 又平面的一个法向量是 ， 所以平面与平面的夹角为． 17. 已知椭圆：的离心率为，焦点与短轴端点围成四边形的面积是． （1）求椭圆E的方程； （2）过右焦点的直线l与椭圆E交于A，B两点，线段的垂直平分线交直线l于点P，交直线于点Q，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定半焦距，再代入椭圆上点的坐标联立方程组求出参数，最后写出椭圆方程即可； （2）先设直线的方程，联立方程并利用韦达定理求根的关系，再计算弦长及的长度，最后求出比值计算最小值即可. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为 ，由题意得： 由 ，得 ，代入 ： ，即， 由 ，得 ，代入 和 得： ，所以，即， 所以，所以椭圆 的方程为：. 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，线段的垂直平分线为，与不相交，不符合题意， 故直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，可得， ， ，， 则 ． 又，， 由可得，直线的斜率为， 所以， 所以， 令，则，所以代入上式可得， ， 当且仅当，即时取等号，此时，所以的最小值为. 18. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若，求出解析式，求导，求出切线方程； （2）根据定义域为，求导，分类讨论，，，满足是的极大值点，求出的取值范围； （3）由（2）可知，且时，，由恒成立，构造，进行求解. 【小问1详解】 若，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意，得的定义域为，，所以. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增， 是的极小值点，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，，且时，， 所以在上，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 设，则. 令，则，当时，， 所以即在区间上单调递减，又， 所以，所以在区间上单调递减. 又，所以的取值范围是. 19. 已知是等差数列，． （1）求的通项公式和． （2）设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】（1），； （2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【解析】 【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得. (2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，， 取，当时，，取，即可证得题中的不等式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . 【小问2详解】 (Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $