21.2平行四边形 同步分层训练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 本练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，以平行四边形性质与判定为核心，从单一知识点应用到跨知识综合探究，梯度进阶培养几何直观、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|平行四边形定义、性质（对边、对角、对角线）、判定定理|选择填空结合简单证明，如利用性质求周长、中位线应用，直接对应新授课基础目标| |能力提升|性质与勾股定理、全等三角形综合，动态问题（动点、对称）|综合解答题如“平行四边形中角平分线与线段关系”，培养推理与运算能力| |拓展创新|跨知识整合（旋转、中位线、直角三角形）、探究性问题|如“旋转中点连线与原图形关系”，发展空间观念与创新意识，适配分层教学需求|

人教版八年级下同步分层训练21.2平行四边形 一、夯实基础 1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC于点E，梯形ABCD的周长为40 cm，AD＝5 cm，则△DEC的周长为(　　) A．35 cm B．30 cm C．20 cm D．15 cm 2．如图，为了测量一个人工湖湖畔A、B两点之间的距离，实践小组先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定、的中点C、D，最后用卷尺量出，则A、B之间的距离是（　　） A． B． C． D． 3．已知四边形，下列条件不能判断它是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 5．如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　． 6．如图，在平行四边形ABCD中，AB<BC，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD 于点E，分别以点C，E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AD 的延长线于点 F，则 的值为　 　. 7．如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积． 8． 如图所示，在▱ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M. （1）求证：AE⊥BF. （2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度. 9．课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD． （2）知识应用 在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC至E，使得CE＝AB，连接 DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论， 并加以证明． 二、能力提升 10．如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 11．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，下列结论：①AB⊥AC ②四边形AEFD是平行四边形 ③∠DFE=150° ④S四边形AEFD =8.其中错误的个数是 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　． 14．如图，在平行四边形ABCD 中， 的角平分线BF 交AD 于点F， 的角平分线CG 交AD 于点G，两条角平分线在平行四边形内部相交于点 P，连接 PE， 若 则GF的长为　 　. 15．如图，在中，，D是斜边的中点，平分且，连接，若，，则的长为　 　． 16．某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究． （1）探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：． （2）应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：； （3）应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长． 17．如图，在□ABCD 中，BD是对角线，作AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点F，连结 AF，CE. （1）求证：四边形AECF是平行四边形、 （2）若 BE=CE，AE=8，DE=16，求 CD 的长. 18．（1）问题探究 如图①，在△ABC中，AF，BE分别是 BC，AC边上的中线，且相交于点 P，记AB=c，BC=a，AC=b. ①求证：AP=2PF，BP=2PE； ②如图②，若AF⊥BE于点 P，试探究a，b，c之间的数量关系； （2）拓展延伸 如图③，在▱ABCD 中，点E，F，G分别是边 AD，BC，CD 的中点，BE⊥EG，AD =4 ，AB=6，求AF的长. 三、拓展创新 19．如图，在中，，点D、E分别在边AB和BC上，且，，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　） A． B． C．2 D． 20． 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论错误的是（　　） ​​ A． B． C． D． 21．如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为　 　． 22．【知识运用】 （1）如图1，是的一条中位线，求证：，． 【知识迁移】 （2）如图2，是的一条中位线，点是内的一点，将点分别绕点，旋转得到点和，连接，求线段与的位置关系和数量关系，并给出证明过程． 【知识拓展】 （3）如图3，在中，，，，D，E分别是边的中点，点在内，将点分别绕着点，旋转得到点和，分别连接，，，，利用（2）所得的结论，求四边形的面积． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ AD∥BC，DE∥AB， ∴ABED是平行四边形， ∴AD=BE=5cm，AB=DE， ∴ △DEC的周长为DC+CE+DE=DC+CE+AB=(AD+CD+BC+AB)-AD-BE=40-10=30， 故答案为：B. 【分析】根据条件可得ABED是平行四边形，即可得到AD=BE=5cm，AB=DE，然后根据梯形的周长求出△DEC的周长即可. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点C、D分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【分析】本题考查三角形中位线定理的实际应用，根据中点的定义，点、分别为、的中点，可确定是的中位线，利用三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半的性质，可得，将代入即可求出的长度。 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A．∵ ， ∴四边形是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），不符合题意； B．∵ ， ∴四边形是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），不符合题意； C．由 不能证明四边形是平行四边形，符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），不符合题意； 故选：C． 【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AB=CD， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD， ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【分析】 先由角平分线的概念可得∠DAE=∠EAB，再由平行四边形的对边平行可得∠DEA=∠EAB，再等量代换可得∠DAE=∠DEA，则由等角对等边可得DA=DE，再利用平行四边形的对边相等即可． 5．【答案】11 【解析】【解答】解：，， ， 分别是的中点， ，， 四边形的周长， 又， 四边形的周长， 故答案为：11． 【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可． 6．【答案】1 【解析】【解答】解：根据作图知，AE=BC，BF平分∠EBC， ∴∠EBF=∠CBF， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠F=∠CBF， ∴∠EBF=∠F， ∴BE=EF， ∴AD=BC=BE=EF， ∴AD-DE=EF-DE， ∴AE=DF， ∴=1. 故答案为：1. 【分析】根据 角平分线的作图方法 知AE=BC，∠EBF=∠CBF，根据 平行四边形的性质、平行线性质、等腰三角形性质 易得AD=BC=BE=EF，从而得AE=DF. 7．【答案】（1）证明：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEO＝∠CFO=90°， 又∵∠AOE=∠COF ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE=OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF＝12cm， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠BFC=∠AEB=90° ∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm， ∴EF＝BE﹣BF＝11cm， ∴S四边形AFCE＝11×12＝132. 【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，由垂直的定义得∠AEO＝∠CFO=90°，结合对顶角相等，利用“AAS”证△AOE≌△COF，根据全等三角形的对应边相等可得OE＝OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边即可得出结论； （2）根据平行四边形的对边相等可得AE＝CF＝12cm，根据勾股定理求得BE，BF，进而根据线段和差求得EF，最后根据S平行四边形AFCE=2S△AEF列式计算即可. （1）证明：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB，AD//BC，AD＝BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED＝∠CFB， 在△AED和△CFB中 ∴△AED≌△CFB（AAS）， ∴DE＝BF， ∴OD﹣DE＝OB﹣BF，即OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF＝12cm， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm， ∴EF＝BE﹣BF＝11cm， ∴S四边形AFCE＝11×12＝132， 8．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD//BC， ∴∠DAB+∠ABC=180° ∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC， ∴ ∴∠BMA=90°， ∴AE⊥BF （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=3，AB=DC=5， ∴CD//AB， ∴∠DEA=∠EAB， 又∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∵AB//CD， ∴∠EAB=∠DEA ∴∠DAE=∠DEA ∴DE=DA=3， 同理可得，BC=CF=AD=3， ∴CE=DC-DE=AB-DE=5-3=2， ∴EF=CF-CE=3-2=1 【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠MAB+∠MBA=90°，即可得出结论； (2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠DAB=∠DEA，同法可得CF=BC，进而即可得出结论. 9．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AD//BC，AB＝CD． ∴∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD． ∴△AOB≌△COD． ∴OA＝OC，OB＝OD （2）解：如图4，过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH． 图4 易得∠1＝∠BAC＝60°． ∵DB＝AC，AB＝CE， ∴AD＝AE． ∴△AED是等边三角形． ∴∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°． ∴△BDH是等边三角形． ∴BD＝DH＝BH＝AC． ∴四边形ABHC是平行四边形． ∵点P是BC的中点， ∴点P是四边形ABHC对角线AH，BC的交点． ∴点A，P，H共线． ∴AH＝2AP． 在△ADH和△EDB中，AD＝ED，∠EDB＝∠ADH， DB＝DH， ∴△ADH≌△EDB． ∴BE＝AH＝2AP． 【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AB//CD，AD//BC，AB＝CD，进而得到∠BAO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD，证明△AOB≌△COD，根据三角形全等的性质即可求解； （2）过B作BH//AE交DE于H，连接CH，AH，可得∠1＝∠BAC＝60°，先证明△AED是等边三角形，得到∠D＝∠1＝∠2＝∠AED＝60°，进而证明△BDH是等边三角形，得到BD＝DH＝BH＝AC．即可证明四边形ABHC是平行四边形，结合点P是BC的中点，得到AH＝2AP，从而证明△ADH≌△EDB，根据三角形全等的性质得到BE=AH，从而求解. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴， 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小， 由勾股定理得： ∵， ∴ ∴ 故答案为：D. 【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：①∵AB=3，AC=4，BC=5 ∴ ∴△ABC为直角三角形 ∴∠BAC=90°，即AB⊥AC 故①正确； ②∵ △ABD， △ACE， △BCF 都是等边三角形 ∴∠ABD=∠CBF=60°，∠BCF=∠ACE=60°，AB=BD=AD，AC=CE=AE，BC=BF ∴∠ABC=∠DBF 在△ABC和△DBF中 BC=BF ∠ABC=∠DBF AB=BD ∴△ABC≌△DBF（ASA） ∴DF=AC ∴DE=AE 同理可证：△ABC≌△EFC（ASA） ∴AB=EF=3 ∴AD=EF=4 ∴四边形 AEFD是平行四边形 故②正确； ③∵ △ABD，△ACE都是等边三角形 ∴∠BAD=∠CAE=60° 又∵∠BAC=90° ∴ ∠DAE =180°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-60°-60°-90°=150° ∵四边形 AEFD是平行四边形 ∴ ∠DFE =∠DAE ∴ ∠DFE=150° 故 ③ 正确； ④ 如图，作AM⊥DF，交DF于点M ∵△ABC≌△DBF ∴∠BAC=∠BDF=90°，AB=AD=3 ∵△ABD是等边三角形 ∴∠ADB=60° ∴∠ADE=∠BDF-∠ADB=90°-60°=30° ∴ ∴ 故 ④ 错误； 故答案为：A. 【分析】 ①利用勾股定理逆定理判断即可； ② 证明△ABC和△BDF、△ABC和△EFC全等，再利用两组对边分别相等证明平行四边形即可； ③ 等边三角形内角为60°和①中结论∠BAC为直角，根据周角定义，即可； ④ 作的高AM，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AM，再根据平行四边形面积的公式即可得出答案。 12．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，延长交于， 由题意知，，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴是的中点，， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故选：B． 【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示： ∵连接，以为对称轴作的轴对称图形， ∴BA=QA，QP=PB， ∴PA为线段QB的垂直平分线， ∴∠PEB=∠BEA=90°， ∵点P是线段的中点， ∴PE=2，PB=6，AB=8， 由勾股定理得， ∴的长为， 故答案为： 【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。 14．【答案】2 【解析】【解答】解：∵PE=BE ∴∠EBP=∠EPB ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴∠ABP=∠EBP ∴∠ABP=∠EPB ∴AB∥PE ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC ∴CD∥PE ∴∠CPE=∠DCP ∵CG是的角平分线 ∴∠DCP=∠PCE ∴∠CEP=∠ECP ∴PE=CE ∵PE=3 ∴AD=BC=BE+CE=2PE=6 ∵AD∥BC ∴∠EBP=∠AFB ∴∠ABP=∠AFB ∴AB=AF=4 同理可证：CD=GD=4 ∴GF=AF+GD-AD=4+4-6=2 故答案为：2 【分析】 本题需要用平行四边形性质、角平分线定义、等腰三角形的性质以及线段的和差关系。先证明BE=CE=PE，再证明AB=AF；CD=DG，再利用线段和差关系求出GF. 15．【答案】2 【解析】【解答】解：延长交于点F， ∵， ∴， ∵平分且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点，E是的中点， ∴， 故答案为：2． 【分析】延长交于点F，首先在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长，由角平分线的定义得，由垂直定义得，从而根据“”证明，由全等三角形的对应边相等得，，根据线段和差求得，然后根据三角形中位线定理求得. 16．【答案】（1）证明： 如图由勾股定理得： ， ， （2）证明：如图所示，连接. ， ， ，， ，， ， ，，， ， （3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为， 点、分别是，的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ， ， ，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ， ． 【解析】【分析】 （1）直接应用勾股定理即可； （2）连接，由（1）的结论可得，再由中点的概念结合中位线定理得，再等量代换即可； （3）连接交于，设与的交点为，由中位线定理结合已知可得，再平行四边形的性质与判定可得四边形是平行四边形，则EF＝AB且点P平分AF，再由（2）的结论可得AF、AE与AE的数量关系，由于AE等于AD的一半，再分别代入EF、AE的值即可. （1） 如图由勾股定理得： ， ， （2）证明：连接， ， ， ，， ，， ， ，，， ， （3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为， 点、分别是，的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ， ， ，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ， ． 17．【答案】（1）解：证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵AE⊥BD于点 E，CF⊥BD于点 F， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， ∴AE∥CF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形 AECF是平行四边形． （2）解：∵△ADE≌△CBF， ∴BF＝DE， ∴BE＝DF， ∵BE＝EC＝AF， ∴DF＝AF， 设 DF＝AF＝x，则有则有x2=82+（16-x)2 ∴x＝10， ∴DF＝10， ∵AE＝CF＝8， ∴ 【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD=CB，AD//CB，证明△ADE≌△CBF(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=CF，即可得出结论； (2)由(1)△ADE≌△CBF可得DF=AF，然后设DF=AF=x，再根据勾股定理即可求出CD的长. 18．【答案】（1）解：①证明：如解图①，取 PA 的中点 M，PB 的中点 N，连接 EM，MN，FN，EF. ∵AE=EC，CF=FB， ∴EF=MN，EF∥MN， ∴四边形EFNM 是平行四边形， ∴PF=PM，EP=PN， ∴ PA=2PF，PB=2PE； ②解：结论： 理由：如解图②，连接EF. ∵AF⊥BE 于点 P， ∴∠APE=∠APB=∠BPF=∠EPF=90°， （2）解：如解图③，取AB的中点 M，连接FM，AC，EF，设AF交BE 于点 P. 图③ ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AE=BF，且AE∥BF， ∴四边形ABFE 是平行四边形，∴AP=PF， ∵AM=BM，BF=CF， ∴FM是△ABC的中位线， ∴ FM∥AC. ∵DE=AE，DG=GC， ∴EG是△ACD的中位线， ∴EG∥AC， ∴FM∥EG， ∵BE⊥EG，∴FM⊥BP， 结合第(2)问结论可得， 解得AF=8(负值已舍去). 【解析】【分析】（1） ① 取 PA 的中点 M，PB 的中点 N，连接 EM，MN，FN，EF，即可得到EFNM 是平行四边形，进而得到PF=PM，EP=PN，解答即可； ②连接EF，根据勾股定理解答即可； （2）取AB的中点 M，连接FM，AC，EF，设AF交BE 于点 P，即可得到ABFE 是平行四边形，然后根据三角形的中位线得到FM∥EG，即可得到FM⊥BP，然后利用②中结论计算解题. 19．【答案】A 【解析】【解答】解：过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH， ∵点N是DE的中点， ∴DN=EN， ∵DH∥BC， ∴∠ADH=∠B=90°， ∠DHN=∠ECN，∠HDN=∠ECN， ∴△HDN≌△CEN， ∴HD=CE=3，HN=CN， 在Rt△ADH中：AH=， 又∵M是AC的中点， ∴MN是△ACH的中位线， ∴MN=. 故答案为：A. 【分析】过点D作BC的平行线，交CN的延长线于点H，连接AH，构造全等三角形△HDN≌△CEN，将已知线段进行转化HD=CE=3，利用勾股定理求得线段AH的长度，再利用三角形中位线定理求出线段 MN 的长度。 20．【答案】D 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°， ∴AO=CO，∠ABC=∠ADC=60°，AD//BC，AD=BC，AB=CD=2， ∴∠DAE=∠BEA， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB=AE=BE=2，∠AEB=60°， ∵AB=BC= 2，即BC=4， ∴BE=CE=2=AE， ∴∠EAC=∠ECA=∠AEB= 30°， ∴∠CAD=∠EAD-∠CAE=30°，故A正确，不符合题意； ∵AO=CO，BE=CE， ∴OE=AB=AD，故C正确，不符合题意； 过A作AK⊥BC， 在Rt△ABK中，∠BAK=90°-∠ABC=30° ，∠AKB=90° ， ∴BK=BE=1 ∴AK= ∴ ，故B正确，不符合题意； 过D作DH⊥BC， DH= AK=， ， ∵∠DCH=∠ADC=60°， ∴∠CDH=30° ， ∴CH= CD= 1，则BH=BC+CH=5， ∴BD=故D错误，符合题意 故答案为：D . 【分析】 根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到△ABE是等边三角形，再进行角度的和差运算可判断A；结合已知条件可得OE=AB=AD，可判断C；过A作AK⊥BC，利用30直角三角形的性质可得BK，再利用勾股定理计算可得AK，再代入面颊公式计算可判断B；过D作DH⊥BC，通过30直角三角形的性质和勾股定理计算可判断D，逐一判断即可解答. 21．【答案】 【解析】【解答】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点， 点、分别是、的中点 ∴， ∵四边形是平行四边形 ， ， ， 点、分别是边、的中点 ， ， ∵ ， ， ∵G，H分别为CE，CK的中点 故答案为：． 【分析】 先根据 点、分别是边、的中点， 分别求出AE，CF的长，再证明，得到 ，，又因为G为CE的中点，根据中位线性质可得：，把求GH转化为求EK，再证明△ALE为等腰直角三角形，求出AL和EL，从而可以求出DL，最后再根据勾股定理：求出EK即可. 22．【答案】解：（1）证明：如图，延长至点F，使，连接， ∵是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，； （2）猜测：，． 如图，连接，，． 点分别绕着点旋转得到点， ，G，D，F三点共线． ． 是的中位线， ． ． ，， ． 同理可得，， ，． 四边形为平行四边形． ，． （3）如图，连接． 由（2）可知，，． ，， ，． 【解析】【分析】（1）延长至点F，使，连接，由DE是三角形中位线，得，则（SAS），得，则AF∥EC，AF=EC，则四边形为平行四边形，则，； （2）如图，连接，AG，BF，FH，． 由旋转的性质可得，G，D，F三点共线．对顶角相等，则，DE是的中位线，则AD=DB，可证．得到，，则．同理可得，由一组对边平行且相等得四边形为平行四边形．则，． （3）如图，连接， 由（2）得 ，AC=GH=6，由图可知四边形的面积等于△ABG面积与△ABH面积的和，代入AB与GH的值计算求出四边形的面积 学科网（北京）股份有限公司 $