21.2.3 三角形的中位线-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

21.2.3 三角 知识储备 1.连接三角形两边 的线段叫作三角形的 中位线， 2.三角形的中位线 于三角 形的第三边，并且等于第三边的 如图，用数学语言表示为：，·D,E分别是AB, AC的中点，. 十 01基础练 必备知识梳理· 知识点一三角形的中位线 1.【教材P65练习T3变式】如 图，小张想估测被池塘隔开的 A,B两处景观之间的距离，他 先在AB外取一点C,然后步 测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的 长约为18m,由此估测A,B之间的距离约为 () A.18mB.24m C.36m D.54m 2.如图，在△ABC中，点D,E分 别是AC,BC的中点，若∠A =45°，∠CED=70°，则∠C的 A 度数为 A.45° B.50° C.60 D.65 3.在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=8,D,E,F 分别是AB,BC,AC的中点，则△DEF的周 长为 4.如图，CD是△ABC的中 线，E,F分别是AC,DC 的中点，EF=1,则BD的 B 长为 5.如图，在平面直角坐标系中， △AOB的边AO,AB的中点 C,D的横坐标分别是1,4，则可 点B的横坐标是 49八年极数学·下册 形的中位线 知识点二三角形的中位线与平行四边形 6.如图，在△ABC中，D,E,F 分别是BC,AC,AB的中点. 若AB=6,BC=8,则四边形 BDEF的周长是 A.28 B.14 C.10 D.7 7.如图，在□ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,E是 BC的中点.若OE=3cm,B 则AB的长为 () A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 8.如图，点D,E,F分别是△ABC的边AB, BC,AC的中点.求证：四边形ADEF是平行 四边形 02综合练 星关键能力提升一 9.如图，在△ABC中，D是AB 上一点，AE平分∠CAD, AE⊥CD于点E,点F是BC 的中点，若AB=10,AC=6,则EF的长为 ( A.4 B.3 C.2 D.1 10.如图，在四边形ABCD 中，AD=BC,E,F,G分 G 别是CD,AB,AC的中 点，如果∠DAC=20°，∠ACB=80°，那么 ∠FEG= 11.如图，在四边形ABCD中，AC,BD是对角 线，E,F分别为AD,BC的中点，M,N分别 为BD,AC的中点 求证：EF与MN互相平分 03素养练 秀季科养培有一 12.(1)如图1，在四边形ABCD中，F,E分别是 BC,AD的中点，连接FE并延长，分别 与BA,CD的延长线交于点M,N.若 ∠BME=∠CNE.求证：AB=CD; 微专题分 构造三 模型展示 图1 图2 图3 图4 类型一 已知两邻边中点，连接两中点或第三 边（图1和图2）】 1.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD= 12,CD=5,点E,F分别是AB,CB的中 点，则EF的长是 B 第1题图 第2题图 (2)如图2，在△ABC中，O是BC边的中 点，D是AC边上一点，E是AD的中 点，直线OE交BA的延长线于点G.若 AB=DC=5,∠OEC=60°，则OE的长是 图2 角形的中位线巧解题 类型二已知四边形对边中点，取对角线中 点，并与另两个中点连接构造双中位线（图3） 2.如图，在四边形ABCD中，AB=12,CD =10,∠ABD=30°，∠BDC=120°，E,F 分别是AD,BC的中点，则EF的长为 类型三单中点十角平分线十垂直，补形构 造三角形的中位线（图4） 3.如图，在△ABC中， AD平分∠BAC,E 是BC的中点，AD⊥ BD,DE=2,AB=6, 则AC的长为 A.4 B.6 C.8 D.10 助学助教优质高效50∴.△ABE2△CDF.∴.AE=CF.∴.OA-AE=OC-CF,即OE=OF.又OB=OD, 四边形BEDF是平行四边形.(2)99.解：(1)tcm(15-3t)cm(2)如图1，当 四边形PDCQ是平行四边形时，，AD∥BC,∴.PD=CQ,即12一t=3t,解得t=3;如 图2，当四边形PABQ是平行四边形时，'AD∥BC,∴.AP=BQ,即t=15一3t,解得 ;如图3，当四边形PDQB是平行四边形时，：AD∥BC,∴PD=BQ,即12-4 15 15-3t,解得t= 综上所述的值为3或或 3 ,33 图2 图 21.2.3三角形的中位线 知识储备 1.中点2.平行一半DE∥BC,DE=2BC 基础练综合练素养练 1.C2.D3.94.25.66.B7.B8.证明：.D,E,F分别是△ABC的边 AB,BC,AC的中点，EF∥AB,EF=7AB,AD=2AB.·EF LAD.·四边形 ADEF是平行四边形.9.C10.30°11.证明：连接ME,MF,NE,NF.E,M分 别是AD,BD的中点∴ME∥AB,ME=2AB.同理可得FN∥AB,FV=2AB. ME∥FN,ME=FN.,.四边形EMFN是平行四边形..EF与MN互相平分. 12.(1)证明：连接BD,取BD的中点O,连接OE,OF.在△ABD中，E,O分别是AD BD的中点，.OE= AB,OE∥AB.∠OEF=∠BMr.同理可证：OF=CD, ∠OFN=∠CVF.,∠BMF=∠CNF,∴.∠OFN=∠OEF.∴.OE=OF.∴.AB=CD (2)2.5 微专题六 1.6.52.w613.D 方法技巧专题（一）平行四边形判定方法的选择 1.证明：：DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA 中，PAR:R△DEC≌Rt△BFA(H).∠DCA=∠BAC.AB/CD.卫 AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形.2.证明：.△ABC是等边三角形，， ∠ABC=60.∠EFB=60°，∠ABC=∠EFB..EF∥DC.又EF=DC,四边形 EFCD是平行四边形.3.证明：：DE∥BF,∠DEC=∠AFB.又∠ADE= ∠CBF,∴.∠DEC-∠ADE=∠AFB-∠CBF,即∠DAE=∠BCF,.AD∥BC.又 AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形.4.证明：(1)，四边形ABCD是平行四 边形，.AD∥BC.,DF∥BE,.四边形BEDF是平行四边形..DE=BF;(2) 四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AD∥BC.,DE=BF,∴.AD-DE=BC BF,即AE=CF.又AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.，.AF∥CE.又BE∥ DF,∴.四边形MENF是平行四边形.5.证明：四边形ABCD是平行四边形， OA=OC,OB=OD..AE=CF,BG=DH,..OA-AE=OC-CF.OB-BG=OD- DH,即OE=OF,OG=OH.∴四边形EGFH是平行四边形.6.证明：四边形 ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD..∠CEO=∠AFO.'O是AC的中点，.OC= OA.又∠COE=∠AOF,.△CEO≌△AFO..OE=OF.又OA=OC,..四边形 AECF是平行四边形.7.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，，.AB=CD,AD =BC,∠B=∠D.AF=CE,.AD-AF=BC-CE..DF=BE.∴.△ABE≌ △CDF(SAS).(2)解：添加BE=CE,理由如下：.AF=CE,BE=CE,∴.AF=BE 四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..四边形ABEF是平行四边形. 8.(1)证明：在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,.OA=OC..AE EF,.OE∥CF,OE=)CF.∴·∠EBC=∠FCB,∠BEF=∠CFE.·P是BC中点， BP=CP.'.△PBE≌△PCF(AAS)..'.PE=PF.又BP=CP,∴.四边形CFBE是平行 四边形；(2)：□ABCD,∴.OB=。BD=3,OC= 2AC=4.由(1)知四边形CFBE是 平行四边形OE2CFBE=CF.OE=号BE.OE= 3OB= 3X3=1.:CE1 BD,.∠CEO=90°.∴.CE=√OC-OE=√4-1=√15 21.3特殊的平行四边形 21.3.1矩形 第1课时矩形的性质 知识储备 1.平行四边形2.平行且相等都是直角相等且互相平分3.斜边的一半 基础练综合练素养练 1.D2.103.证明：，四边形ABCD是矩形，.AD=BC,∠D=∠B=90°.在Rt 18