福建省厦门市海沧区北附学校2024--2025学年下学期九年级数学3月月考试卷

2024－2025学年福建省厦门市海沧区北附学校九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.的值是（ ） A. B. C.1 D. 2.的值为（ ） A. B.－2 C. D. 3.关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 4.如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ） A.8 B.9 C.10 D.11 6.一组数据的方差可以用式子表示，则式子中的数字50所表示的意义是（ ） A.这组数据的个数 B.这组数据的平均数 C.这组数据的众数 D.这组数据的中位数 7.如图，树AB在路灯的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯的水平距离，则树的高度AB长是（ ） A.2m B.3m C.m D.m 8.已知A、B两点的坐标分别为、，线段AB上有一动点，过点作轴的平行线交抛物线于、两点．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9.若，则______． 10.方程组的解为______． 11.如果两个相似三角形的对应边之比为2:3，那么它们的面积之比为______． 12.某校为了解学生的近视情况，对九年级五个班级的学生进行调查，统计结果如表所示： 班级 九年1班 九年2班 九年3班 九年4班 九年5班 总学生数 47 43 42 48 48 近视学生数 25 25 30 27 33 在九年4班的学生中随机抽取一名学生，则抽中近视学生的概率为______． 13.已知点为反比例函数图象上的两点，则与的大小关系是______．（填“＞”“＝”或“＜”） 14.如图，在平面直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是，，则点的坐标是______． 15.如图，菱形ABCD中，是对角线BD上的一点，连接，若，则AD的长为______． 16.在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考： （1）这样的点唯一吗？ （2）点的位置有什么特征？你有什么感悟？ （1）“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报： 点的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B，C除外）． 小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1），并提出问题：该弧所在圆的半径长为______； （2）请运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题： 如图2，已知矩形ABCD的边长，点在直线CD的左侧．若，则线段PB长的最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题8分）计算：． 18.（本小题8分）如图，矩形ABCD中，，求AC的长． 19.（本小题8分） 先化简，再求值：，其中． 20.（本小题8分） 三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH．确定光源的位置，并画出影子为EF的竹竿（用线段表示）． 21.（本小题8分） 某路段上有A，B两处相距近200m且未设红绿灯的斑马线．为使交通高峰期该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯．图1，图2分别是交通高峰期来往车辆在A，B斑马线前停留时间的抽样统计图．根据统计图解决下列问题： （1）若某日交通高峰期共有350辆车经过斑马线，请估计该日停留时间为的车辆数，以及这些停留时间为的车辆的平均停留时间；（直接写出答案） （2）移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由． 22.（本小题8分） 如图，在中，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在BC上． （1）在图中求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若交AD于点，求AE的长． 23.（本小题8分） 如图1所示，一位小朋友在一个半径（内径）为1m的圆柱形水泥管道内踢球．某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹（球心轨迹）是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上．如图2所示，在该横截面上，以水泥管道内壁（圆）的最低点为原点，以过点的直径所在的直线为轴，过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系．已知小球从管壁脱离时球心的坐标为，小球球心经过的最高点坐标为． （1）求小球球心轨迹对应抛物线的解析式； （2）当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中．若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到轴所在的水平线距离为，求书包开口中心处的坐标． 24.（本小题8分） 如图，在正方形ABCD中，点在边AD上，与关于直线BE成轴对称，过点平行于AD的直线分别交AB，EB于点M，N． （1）求证：； （2）若是AB的中点，求证：为等边三角形； （3）若点为AD的中点，求的值． 25.（本小题8分） 已知抛物线过点，且． （1）若，求抛物线的表达式； （2）若，求的值； （3）设点是抛物线的顶点，若，证明：． 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：原式．故选：C． 根据角的锐角三角函数值，即可求解． 本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 2.【答案】C 【解析】解：． 故选：C． 合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和指数不变． 本题考查了合并同类项，解决本题的关键是熟练运用合并同类项的计算法则计算． 3.【答案】B 【解析】解：，移项得：，合并得：，解得：，故选：B． 根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项，系数化为1可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 4.【答案】B 【解析】解：在中，和都对． 故选：B． 直接利用圆周角定理求解． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5.【答案】A 【解析】解：方程有两个不相等的实数根，， 解得个选择中只有A符合． 故选：A． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出的取值范围即可进行判断．本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 6.【答案】B 【解析】解：根据方差的计算公式， 可知式子中50即是， 数字50所表示的意义是这组数据的平均数，故选：B． 由方差的计算公式即可得到答案． 本题考查方差的计算公式，解题的关键是理解、掌握公式中字母所代表的意义． 7.【答案】A 【解析】【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决． 【解答】解：，， 故选：A． 8.【答案】C 【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于选择题中的压轴题． 由题意，抛物线的开口向下，．观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点时，满足条件，据此求出的范围即可． 【解答】解：因为，所以线段AB位于轴下方， 当时，恒成立， 所以抛物线始终位于轴上方， 此时过线段AB上的动点作轴的平行线，不可能与抛物线有交点，不符合题意． 所以，由此可作出大致图象，如下图所示． 由知抛物线的对称轴为直线，该直线位于点与点之间， 由题意知， 当抛物线经过点时，， 观察图象可知，当抛物线与线段AB没有交点或经过点时，满足条件，．故选C． 9.【答案】2 【解析】解：．故答案为：2． 利用内项之积等于外项之积求解． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键． 10.【答案】 【解析】解：，由②得：③， 把③代入①得：， 把代入③得：原方程组的解为：． 故答案为：．根据代入消元法，可得二元一次方程组的解． 本题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 11.【答案】4:9 【解析】解:两个相似三角形对应边的比为2:3，相似比为2:3，它们的面积比为4:9． 故答案为：4:9． 根据相似三角形的性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可解得． 本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 12.【答案】 【解析】解：抽中近视学生的概率：，故答案为：． 由该校九年4班近视的学生人数除以总人数即可． 本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 13.【答案】＞ 【解析】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点A、B都在第一象限， 又，故答案为：＞． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． 14.【答案】 【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，可以看作是BC平移得到， 平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是， 点平移到点是向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度， 顶点的坐标为． 故答案为：． 由四边形ABCD是平行四边形，根据平移的性质，即可求得顶点的坐标． 此题考查了平移的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键． 15.【答案】4 【解析】解：如图，连接AC交BD于点， 四边形ABCD是菱形，， ， ， ， ， 故答案为：4． 由菱形的性质得， 再由含角的直角三角形的性质，进而由勾股定理得，然后证明，求出，即可解决问题． 本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 16.【答案】2；． 【解析】解：（1）设为圆心，连接BO，CO， ，又是等边三角形， ，即半径为2，故答案为：2； （2）如图，当点在BC上，且时， ，为定值， 连接PD，设点为PD中点，以点为圆心，PD为半径画圆， 当点在优弧CPD上时，，连接BQ，与圆交于， 此时即为BP的最小值，过点作，垂足为， 点是PD中点，点为PC中点， 即，， 圆的半径为， ，即BP的最小值为． 故答案为：． （1）证明是等边三角形，可得半径； （2）根据，连接PD，设点为PD中点，以点为圆心，PD为半径画圆，可得点在优弧CPD上，连接BQ，与圆交于，可得即为BP的最小值，再计算出BQ和圆的半径，相减即可得到． 本题考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点的轨迹． 17.【答案】1． 【解析】解：． 非0数的0次幂是，将数值代入计算即可． 本题考查了实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值，解决本题的关键是准确熟练的化简各式． 18.【答案】． 【解析】解：四边形ABCD是矩形，， ， 根据矩形的性质，三角函数的定义，勾股定理即可得到结论． 本题考查了矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 19.【答案】． 【解析】解：原式， 当时，原式． 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后把的值代入计算即可． 本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法． 20.【答案】见解析． 【解析】解：如图，线段EK即为所求． 首先作出光源点O，连接OF，过点E作EK⊥EF交OF于点K，线段EK即为所求． 本题考查中心投影，解题的关键是理解题意，正确画出图形． 21.【答案】解：（1）由图1可知，停留时间为的车辆的百分比为：， 则该日停留时间为的车辆约有：（辆）， 停留时间为的车辆的平均停留时间， 答：该日停留时间为的车辆约有7辆，这些停留时间为的车辆的平均停留时间约为11s； （2）依题意，车辆在斑马线前停留时间约为：（秒）． 车辆在斑马线前停留时间为：（秒）， 由于，因此移动红绿灯放置处斑马线上较为合适． 【解析】（1）求出停留时间为的车辆的百分比，计算即可； （2）求出车辆在A、B斑马线前停留时间的平均数，比较即可． 本题考查的是条形统计图、用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 22.【答案】解：（1）如图，即为所求； （2）根据旋转可知： ，， ， ，， ， ， 在和中， ，． 【解析】本题考查了作图－复杂作图，平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解决（1）题的关键是掌握基本作图方法．得到是解（2）题关键． （1）根据旋转的性质即可完成作图； （2）根据旋转的性质证明，可得，然后证明，可得，进而可以解决问题． 23.【答案】解：（1）设二次函数的解析式为，将的坐标为代入解析式可得：，解得； （2）书包开口的中心到轴所在的水平线距离为，即， 代入抛物线解析式可得：； 解得或，书包开口中心处的坐标为或． 【解析】（1）根据题意，设二次函数的解析式为，代入数据求解即可； （2）书包开口的中心到轴所在的水平线距离为，即，代入函数解析式计算出的值即可． 本题主要考察二次函数（抛物线）的性质和应用，正确进行计算是解题关键． 24.【答案】见解析；． 【解析】（1）证明：如图1中，， 由翻折变换的性质可知； （2）证明：如图1轴，连接AF． 四边形ABCD是正方形，， ， ， 由翻折变换的性质可知，， 是等边三角形， ， ，，是等边三角形； （3）解：如图2中，设正方形ABCD的边长为2a，则． 过点作于点，过点作于点． ， ， ， ， ， 四边形AMKF是平行四边形，， ． （1）证明即可； （2）证明三个内角是可得结论； （3）设正方形ABCD的边长为2a，求出AM可得结论． 本题属于相似形综合题，考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型． 25.【答案】；证明见解析． 【解析】（1）解：由题意得：．抛物线的表达式为． （2）解：抛物线过点， ， 、n是一元二次方程的两个根，． ． （3）证明：点是抛物线的顶点，． 又由（2）． ．．．． （1）由可得抛物线的函数表达式为．由，可得抛物线过点．利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式； （2）由抛物线过点，可得m、n是一元二次方程的两个根，根据，以及根与系数的关系即可求出的值； （3）由抛物线的顶点坐标公式可得，又由（2）可得，则可得，结合，从而可以得解． 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数的顶点坐标，解题的关键是推导出m、n是一元二次方程的两个根． 学科网（北京）股份有限公司 $$