精品解析：上海市上海大学附属中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

2026年上大附中高二5月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 设全集，集合，，则___________ 2. 若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为________．（结果保留） 3. 已知是定义在上的可导函数，若，则_________. 4. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______． 5. 已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比__________. 6. 抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 7. 已知随机变量服从二项分布，则的期望________． 8. 在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 9. 已知，则________． 10. 已知函数满足：，且，则______. 11. 一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为__________ cm/s. 12. 若函数的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 14. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）． A. 函数在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上严格增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 15. 已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 若数列满足：对任意的正整数n，总存在正整数m使得（其中），则称具有“性质P”，对于以下两个结论，说法正确的是（ ） 结论①：若具有“性质P”，则对中任意一项（正整数），均可写成中的两项之差； 结论②：等比数列不具有“性质P”． A. ①对，②对 B. ①对，②错 C. ①错，②对 D. ①错，②错 三、解答题（本大题满分78分） 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若求实数的取值范围. 18. 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2），求数列的前n项和. 19. 如图所示四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的中点． （1）证明：面； （2）若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值． 20. 已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. （1）写出椭圆的标准方程和离心率； （2）当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； （3）设点满足:，求证:为定值. 21. 若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. （1）判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； （2）若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; （3）若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上大附中高二5月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 设全集，集合，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交补含义可得. 【详解】因为，， . 故答案为: 【点睛】此题为基础题，考查集合的运算. 2. 若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积计算公式求解即可. 【详解】底面半径为1，则底面周长，侧面展开图的面积为， 故答案为：. 3. 已知是定义在上的可导函数，若，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知：. 故答案为：1 4. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解． 【详解】记事件＝“某人在春季里鼻炎发作”， 事件＝“某人在春季里感冒发作”， 由题意可知， 此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为 ， 故答案为： 5. 已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比__________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列求和公式代入即可求解； 【详解】由， 当时，显然不成立； 当时，可得， 即， 所以， 故答案为： 6. 抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用抛物线的性质和定义，结合等边三角形性质计算求解． 【详解】   抛物线，焦点为，准线为， 由抛物线的定义可知，又， 是等边三角形， 设点，则， 由等边三角形性质可得，，所以， . 7. 已知随机变量服从二项分布，则的期望________． 【答案】3 【解析】 【详解】已知随机变量服从二项分布， ， ． 8. 在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性来求解不同区间的概率. 【详解】由题意可得，所以正态分布关于对称， 由对称性可知，， 又易知，所以. 9. 已知，则________． 【答案】2059 【解析】 【详解】令，得； 令，得； . 10. 已知函数满足：，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由于，两边求导，得， 令，分别得，， 由，可得，所以. 11. 一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为__________ cm/s. 【答案】4 【解析】 【分析】根据体积公式求出函数，再求导函数可以求得瞬时速度. 【详解】杯中水的体积为 设在该过程中水面高度为h，则 即 令函数 则 故在时刻， 水面上升的瞬时速度为4 cm/s. 故答案为：4. 12. 若函数的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数有两组点关于原点对称，将问题转化为与在上有两个交点；再利用函数的单调性、极值，方程解的个数确定参数的范围. 【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点. 由时，，得其关于原点对称后的解析式为. 则问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根. ，，即与在上有两个交点. 令，则； 令，解得； 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减； 当时，取到极大值，也是最大值. 又当时，；时，，如图所示： 由图可得，即． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】C 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 14. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）． A. 函数在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上严格增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论. 【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 故选：D． 15. 已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举特殊函数说明充分性不成立，利用三次多项式的因式分解性质说明必要性成立，从而得解. 【详解】设命题为“存在实数，使得既是的零点又是驻点”(即且)，命题为“恰好有两个零点”. 若成立，当时，， 则，满足且， 所以既是的零点又是驻点，但是只有一个零点，所以， 若成立，即恰好有两个不同的实零点，则根据三次多项式的因式分解性质可得： ，其中为函数的两个不同零点， 此时满足且，故成立，即. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 16. 若数列满足：对任意的正整数n，总存在正整数m使得（其中），则称具有“性质P”，对于以下两个结论，说法正确的是（ ） 结论①：若具有“性质P”，则对中任意一项（正整数），均可写成中的两项之差； 结论②：等比数列不具有“性质P”． A. ①对，②对 B. ①对，②错 C. ①错，②对 D. ①错，②错 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给定义，结合，整理化简，分析可判断①的正误；根据等比数列求和公式，可得其前项和，计算分析，可判断②的正误. 【详解】对于①：若具有“性质P”，则对任意的正整数n，总存在正整数m使得， 当时，， 因为具有“性质P”，则存在正整数，，使得，， 所以， 对中任意一项（正整数），均可写成中的两项之差，故①正确； 对于②：因为，所以， 假设它具有“性质P”，则对任意的正整数n，总存在正整数m使得，即， 当时，，此时符合题意； 当时，，6不是2的整数次幂，即不存在正整数m，使得，因此等比数列不具有“性质P”，故②正确. 三、解答题（本大题满分78分） 17. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）代入，求出集合中元素范围，进而可得； （2）先由，得到，再分和讨论求实数的取值范围. 【详解】（1）， 所以， 当时，， ； （2），， 若，则，解得； 若，要使，则应满足 ，即， 解之得， 综上所述，所求实数的取值范围是. 【点睛】本题考查二次不等式的解法及分式不等式转化二次不等式，考查集合间的运算及二次函数的性质，是中档题. 18. 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2），求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等比、等差数列通项列出方程组求解作答； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. 【小问2详解】 数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 19. 如图所示四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的中点． （1）证明：面； （2）若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）设AD中点为Q，连接NQ，MQ，通过证明平面平面PAB，可得证面； （2）设AB中点为O，CD中点为R，以O为原点，分别以OB、OR、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 设AD中点为Q，连接NQ，MQ， 因为M、N分别为BC、PD的中点，所以，，因为平面PAB，平面PAB， 平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB，平面PAB， 平面NQM，平面NQM，且， 所以平面平面PAB，因为平面NQM，所以平面PAB． 【小问2详解】 设AB中点为O，CD中点为R，因为，所以，因为平面平面ABCD，且平面平面，平面PAB， 所以平面ABCD，进而，因为四边形ABCD是正方形，所以， 以O为原点，分别以OB、OR、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，因为若，，所以， ，，，，N为PD中点，所以． 设平面AMN的法向量为， 因为，，，， 所以，， 取，则，，， 平面AMD的法向量为， 二面角的余弦值为． 20. 已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. （1）写出椭圆的标准方程和离心率； （2）当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； （3）设点满足:，求证:为定值. 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知求出椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）根据已知有，联立椭圆得，进而求圆心和半径，即可得圆的方程； （3）设点，直线为:，直线为，联立求的横坐标，再应用三角形面积公式求比值. 【小问1详解】 因为是边长为的等边三角形，所以，， 又，所以，， 故椭圆的标准方程为，离心率为； 【小问2详解】 因为的一个法向量是且直线过点， 所以直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，得，解得， 所以线段中点为，线段长度为， 故以为直径的圆的标准方程为； 【小问3详解】 由题意，点为直线过点的垂线与直线过点的垂线的交点， 设点，所以直线为:，直线为， 则直线为，直线为， 联立直线方程与直线方程，消去，得， 整理得，即，解得， 因为， 所以，得证. 21. 若定义域为的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常，使得成立，则称函数是函数的 “ 导控函数”，称为导控系数. （1）判断函数是否是的 “ 2 导控函数”，并说明理由； （2）若函数是函数的“导控函数”，求导控系数的取值范围; （3）若 ，函数是函数 的“ 1 导控函数”， 求证: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，得到，即，即可得到答案； （2）求得，转化为成立，令，求得，得出的单调性，的得到，即可求解； （3）若存在常数，使得恒成立，得到，求得，证得充分性成立；若，则，由函数是函数的 “ 1 相关函数”，得到，再由，转化为，进而得到，证得必要性成立，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数是否是，可得， 因为对 ，所以 ， 即对任意实数 成立， 所以函数是函数的 “ 2 导控函数” . 【小问2详解】 解：由函数，且， 可得， 对任意实数，都存在常数，使得 成立， 设，则， 由， 当时，；当 时， . 即在上严格减，在上严格增， 所以， 即对任意实数，成立， 所以导控系数的取值范围是 . 【小问3详解】 证明：充分性：若存在常数，使得恒成立， 因为，所以， 即， 即对任意实数成立，所以. 必要性：若，则， 因为函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ①， 由，得函数是函数的 “ 1 导控函数”， 所以对任意实数 ，即， 用代换，得对任意实数 ②， 由①②可知:对任意实数 ，即， 所以存在常数，使得恒成立， 综上可得: “” 的充要条件是 “存在常数，使得恒成立”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $