精品解析：上海市行知中学2025-2026学年高二第二学期第二次质量监测数学试卷

上海市行知中学高二年级第二学期第二次质量监测数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，且，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 2. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________． 【答案】-8 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组： ，由可得：，代入①可得， 由等比数列的通项公式可得. 【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 3. 将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图即可计算. 【详解】如图所示，图1是圆锥(图2)的侧面展开图， ，则扇形弧长， 设圆锥底面圆半径为，则，得， 则在Rt中，圆锥的高， 故答案为:. 4. 两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 5. 在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得：， 故含项的系数为. 6. 假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由题意可知该部件的总体良品率是： ， 故答案为： 7. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 8. 已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【详解】根据题意可知，即或. 因为，所以. 所以. 故取值范围为. 9. 一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由正方形的边长为，所以可得正四棱锥的斜高为， 设正四棱锥的底面边长为，高为， 所以，所以， 所以正四棱锥的体积， 令，求导得， 令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 所以，故该容器的容积最大时正四棱锥的高为. 10. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，是与在第一象限的交点，当时，则与的离心率之比为______________. 【答案】 【解析】 【分析】通过椭圆和双曲线的定义，以及利用余弦定理综合应用求解. 【详解】设椭圆：半长轴，半焦距，离心率， 双曲线：半实轴，半焦距，离心率， 由题意：离心率互为倒数：， 椭圆定义：，双曲线定义： 解得焦半径：，故. 在中，由余弦定理： ，代入 ，又 ，代入得：, 整理：，即, 因为 ，故 ， . 11. 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为____． 【答案】8π 【解析】 【分析】求解△PQN的外接圆的半径，由球心与△PQN外接圆的圆心垂直，利用勾股定理求解球的半径，则球的表面积可求． 【详解】解：三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上， 由点P为棱CC1的中点，可得底面△PQN是等腰直角三角形， 那么底面△PQN的外接圆半径r＝1， 设球心到△PQN的外接圆的圆心的距离为d，球半径R， 则，① d2+r2＝R2，② 联立①②解得． ∴该球的表面积S＝4πR2＝8π． 故答案为：8π． 12. 如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段AB是圆柱下底面的直径，点O是下底面的圆心.线段EF是圆柱的一条母线，且，已知平面α经过A、B、F三点，将平面α截这个圆柱所得到的较小部分称为"马蹄体"，记平面α与圆柱侧面的交线为曲线C.则下列结论（1）曲线C是椭圆的一部分；（2）曲线C是抛物线的一部分；（3）二面角的大小为；（4）马蹄体的体积为V满足中，正确的是 ______. 【答案】（1）（3）（4） 【解析】 【分析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，通过切线相等判断（1）（2）；由二面角的定义判断（3）；马蹄体的体积为小于圆柱体的判断（4）. 【详解】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切， 又与曲线C所在平面相切，令切点为，取曲线C上一点， 过点的圆柱母线与两球交于两点，由同为下面球的切线，同为上面球的切线， 则，，可得， 由椭圆定义知：曲线是椭圆的一部分，（1）正确，（2）错误； 连接，由，，平面， 可得平面，平面，则， 为二面角的平面角，又，因此，（3）正确； 由补成的几何体知马蹄体的体积为小于圆柱体的，即为， 又，则，因此，（4）正确. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ） A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的知识求得正确答案. 【详解】个数据为， 所以中位数为. 故选：B 14. 存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（ ） A. （1）互斥（2）独立 B. （1）互斥（2）对立 C. （1）独立（2）互斥 D. （1）对立（2）互斥 【答案】A 【解析】 【分析】由概率的性质有，结合互斥事件定义确定①答案；根据独立事件的判定确定②答案. 【详解】由，仅当时， 所以A与B是两个互斥事件， 由独立事件的判定知：，即A与B是两个独立事件. 故选：A 15. 已知各项不全为零的数列的前项和为，若，则不可能是（ ） A. 公差大于的等差数列 B. 公差小于的等差数列 C. 公比大于的等比数列 D. 公比小于的等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知条件可得，对于选项A，B，根据等差数列前项和公式，建立关于首项和公差的等式，对公差进行分类讨论；对于选项C，D，根据等比数列前项和公式，对分类讨论即可. 【详解】选项A、B，前项和公式：， 令得：，公差或，都能取到满足条件的，得到各项不全为零的数列，故A、B都可能. 选项C、D，设公比为，且， 若：，所有项为0，不符合； 若，由等比数列求和公式可得， 由，即，解得（舍去）或： 若：，满足条件， 例如，因此公比小于0的等比数列可能； 若公比：或，恒成立，即，不符合题意， 因此公比大于0的等比数列不可能. 16. 已知曲线C：，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】结合均值不等式得到当且仅当时，等号成立，以及，从而可判断命题q的真假性，检验点是否在曲线上即可判断命题p的真假性. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 因此曲线C所围成的区域的在圆上或者内部，即， 故曲线C上的点到原点的最大距离是2，因此命题q为真命题， 圆上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有， 其中点显然在曲线C上，但是不在曲线上， 故曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p为真命题， 故选：A. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知集合，．若，且，求实数p及q的值． 【答案】，. 【解析】 【分析】先求出集合A，然后利用已知条件，求出集合B，结合集合B中的不等式，解出实数p及q的值． 【详解】不等式，解得或， 则或， 若且，则， 又，故-2和3是方程的两根， 有，解得，. 18. 如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由直三棱柱得到⊥，根据⊥，得到线面垂直，故⊥，结合得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合（1），求出平面的一个法向量为，利用线面角的求解公式得到答案. 【小问1详解】 因为三棱柱为直三棱柱， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，， 因为，所以， 解得，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 故直线与平面所成角大小为 19. 第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.先随即抽取了100名候选者的面试成绩，并分成组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）现规定分数排名前40%可以加入资深志愿者组，估计资深志愿者组的录取分数约为多少？（精确到0.1） （2）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率； （3）已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分以上的志愿者的平均成绩和方差为多少？ 【答案】（1）分； （2）； （3）平均成绩为，方差为. 【解析】 【分析】（1）由题意求参数，再判断录取分数所在区间，设为分，根据求结果； （2）由分层抽样确定第四组、第五组抽取的人数，应用列举法求选出的两人来自不同组的概率； （3）应用平均数、方差公式求75分以上的志愿者的平均成绩和方差. 【小问1详解】 由题意，，可得， 所以， 故录取分数在区间，设资深志愿者组的录取分数约为分， 则，可得分. 【小问2详解】 由（1）知：第四、第五组的人数比例为， 由分层抽样等比性质知：第四组抽取4人为、第五组抽取1人为， 所以，任意选出2人的情况为共10种情况； 其中两人来自不同组的情况为共4种情况； 所以选出的两人来自不同组的概率为. 【小问3详解】 第四组的平均成绩为，方差为，该组人数为20人； 第五组的平均成绩为，方差为，该组人数为5人； 所以75分以上的志愿者的平均成绩为分， 75分以上的志愿者的方差为， 而，， ； ； 所以. 20. 已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：. （1）当时，求； （2）证明：存在常数，使得； （3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系. 【答案】（1）；（2）2；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）求解出点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设点坐标得到直线方程，与抛物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到，从而得到结论：. 【详解】由题意可知：，准线方程为： （1）因为 联立方程 则 （2）当时，易得 设，，直线，则 联立， 由对称性可知亦成立 综上所述，存在，使得 （3）由可知为中点 设，则 因为 又因 所以 21. 已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． （1）设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； （2）已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． （3）已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 【答案】（1）函数为“函数”，函数不是“函数” （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）要证，即证，构造函数，其中，利用“函数”的定义结合导数分析函数在上的单调性，即可得出结论； （3）利用反证法，假设不是减函数，分两种情况讨论，为增函数、不单调，结合“函数”的定义分析函数的单调性，分析函数的函数值变化，对不等式的解集进行分析，推出矛盾，即可证得结论成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，其导函数在上为减函数， 函数的定义域为，其导函数在上为增函数， 故函数为“函数”，函数不是“函数”. 【小问2详解】 因为数列是公差为的等差数列， 所以，，， 要证，即证， 设函数，其中，则， 因为函数为“函数”，则函数在上为减函数，且， 所以，故对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 又因为对任意的，，所以， 即，故. 【小问3详解】 假设不是严格减， 的解集为， 不可能严格增，否则解集中必包含正无穷大， 只能有增有减， 使得， 严格减， ∴当时，严格增， 当时，严格减， 取，求处切线方程， ,即， 令,得， 构造函数， 严格减， 当时，严格增， 当时，严格减， ，即，即（当时，取等）， 而，结合，得严格增， ∴当时,， 与的解集为矛盾， ∴假设不成立，即严格减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市行知中学高二年级第二学期第二次质量监测数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，且，则___________． 2. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________． 3. 将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______. 4. 两平行直线与间的距离为______． 5. 在的展开式中，含项的系数为__________（用数字作答） 6. 假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是、、，则该部件的总体良品率是______________． 7. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 8. 已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 9. 一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________. 10. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，是与在第一象限的交点，当时，则与的离心率之比为______________. 11. 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为____． 12. 如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段AB是圆柱下底面的直径，点O是下底面的圆心.线段EF是圆柱的一条母线，且，已知平面α经过A、B、F三点，将平面α截这个圆柱所得到的较小部分称为"马蹄体"，记平面α与圆柱侧面的交线为曲线C.则下列结论（1）曲线C是椭圆的一部分；（2）曲线C是抛物线的一部分；（3）二面角的大小为；（4）马蹄体的体积为V满足中，正确的是 ______. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 如图是6株圣女果植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株圣女果植株挂果个数的中位数为（ ） A. 21 B. 21.5 C. 22 D. 22.5 14. 存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（ ） A. （1）互斥（2）独立 B. （1）互斥（2）对立 C. （1）独立（2）互斥 D. （1）对立（2）互斥 15. 已知各项不全为零的数列的前项和为，若，则不可能是（ ） A. 公差大于的等差数列 B. 公差小于的等差数列 C. 公比大于的等比数列 D. 公比小于的等比数列 16. 已知曲线C：，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知集合，．若，且，求实数p及q的值． 18. 如图，在直三棱柱中，，，⊥，交于点，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 19. 第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.先随即抽取了100名候选者的面试成绩，并分成组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）现规定分数排名前40%可以加入资深志愿者组，估计资深志愿者组的录取分数约为多少？（精确到0.1） （2）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率； （3）已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分以上的志愿者的平均成绩和方差为多少？ 20. 已知抛物线方程为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：. （1）当时，求； （2）证明：存在常数，使得； （3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系. 21. 已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． （1）设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； （2）已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． （3）已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $