23.1一次函数的概念 同步分层训练 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本练习通过“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层设计，以概念辨析→情境应用→项目探究的路径巩固一次函数概念，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|正比例函数定义、一次函数解析式确定|以选择填空为主，如第1题辨析函数类型，第5题求正比例函数表达式，强化概念理解| |能力提升|实际情境建模（出租车/电费）、分段函数应用|结合生活情境，如第6题出租车费用关系式，第14题阶梯电价计算，发展模型意识| |拓展创新|跨学科（燕几图）、项目式学习（地铁票价）|融入文化与实际问题，如第18题深圳地铁票价探究，培养创新意识与应用能力|

人教版八年级下同步分层训练23.1一次函数的概念 一、夯实基础 1．下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．一次函数y=（m－2）xn－1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（　　） A．m≠2，n=2 B．m=2，n=2 C．m≠2，n=1 D．m=2，n=1 3．点在一次函数的图象上，则a的值为（　　） A． B． C． D． 4．正比例函数，当时，，则此正比例函数的关系式为（　　） A． B． C． D． 5．若y与x成正比例，且当x=4时，y=5，则y与x之间的函数表达式为　 　. 6．深圳市出租车白天的收费起步价为10元（即路程不超过2公里时收费10元），超过部分每公里收费2.7元.如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞2）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为　 　 . 7．已知函数． （1）当为何值时，是的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 二、能力提升 8．下列语句中，与是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以千米/时的速度匀速行驶，行驶路程（千米）与行驶时间（时）之间的关系 （2）圆的面积（厘米2）与它的半径（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高厘米，每个月长高厘米，月后这棵树的高度为厘米，与的关系； （4）某种大米的单价是元/千克，当购买千克大米时，花费元，与的关系． A． B． C． D． 9． 某体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动：买一副球拍赠送一盒乒乓球，某班级在此商店一次性购买球拍4副，乒乓球x盒(x不少于4盒)，则应付款y(元)与乒乓球盒数x(盒)的函数关系式是(　　) A．y=5x(x>4) B．y=5x+80(x≥4) C．y=5x+60(x≥4) D．y=5x+100(x≥4) 10．一次函数（是常数，且），若，则这个一次函数的图象必经的点是（　　） A． B． C． D． 11．学校某社团为了勤工俭学，每天固定购入100份某品牌报纸，每份进价0.8元，然后以每份1.5元的价格出售.如果报纸卖不完可退回报社，退回的报纸只按进价的60%退款给该社团.某一天该社团卖出的报纸为x份，所获得的利润为y元，则y与x的关系式为　 　. 12．如图是1个纸杯和6个叠放在一起的相同纸杯的示意图．若设杯沿高为（常量），杯子底部到杯沿底边高为，写出杯子总高度随着杯子数量（自变量）的变化规律　 　． 13．如果是关于x的正比例函数，则k的值为　 　． 14．根据《关于我省居民生活用电试行阶梯电价有关问题的通知》，考虑到广东省夏季天气较为炎热，空调用电量较大的情况，将电量分档划分为夏季标准和非夏季标准，每年的5－10月执行夏季标准，其余月份执行非夏季标准． 阶梯电价电量分档 　 档数 夏季标准（5－10月） 非夏季标准（1－4月、11－12月） 电价 第一档 0－260度 0－200度 0.66元/度 第二档 261－600度 201－400度 0.71元/度 第三档 601度及以上 401度及以上 0.96元/度 如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，根据以上提供信息解答下列问题： （1）当执行非夏季标准时，若时，写出实付金额元与月用电量度之间的函数关系式__________； （2）若小安家在4月和5月的实际用电量都是250度，则实付金额分别为多少元？ （3）若小初家11月的实付金额为元，计算小初家11月的实际用电量． 15．解答下列各题： （1）已知 y 与 x+2 成正比例，当 x=3 时，y=7 ； ①求 y 与 x 的函数关系式； ②当 x=−1 时，求 y 的值． （2）已知 x=，y= ，求 x2+xy+y2 的值. 16． 小丁每天从报社以每份0.5元的价格买进报纸200份，然后以每份1元的价格卖给读者，卖不完，当天可退回，但只按每份0.2元退.设平均每日卖出报纸x份，每日纯收入为y元. （1）求出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）如果按每月30天计算，每天至少要卖多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元? 三、拓展创新 17．如图1“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则与的关系可以表示为 （　　） A． B． C． D． 18．项目式学习 项目主题：深圳地铁票价探究 素材1 深圳地铁实行里程分段计价票制.普通车厢起步价：首4公里人民币2元；4公里至12公里部分，每人民币1元可乘坐4公里；12公里至24公里部分，每人民币1元可乘坐6公里；超过24公里，每人民币1元可乘坐8公里. 备注：两个地铁站之间里程为两站之间沿地铁的最短线路长度.例如，若某两站之间有两种乘坐线路，长度分别为4公里和4.1公里，则此两站之间的里程为4公里，票价为2元. 素材2 深圳地铁的部分线路图如下(经过变形处理，并省略部分站点)，标注了部分站点之间的地铁线路及里程. 素材3 深圳市深圳通有限公司与手机公司合作推出深圳通互联互通卡业务，该卡是通过NFC芯片绑定在手机上的一张虚拟公交卡.手机用户支付 16元不可退服务费用后办理此卡后，可在乘坐地铁普通车厢使用此卡刷卡出闸时享受票价9.5折优惠. 问题解决 ⑴任务1 小达乘坐地铁从A站到B站，票价为3元，则A、B两站之间的最长里程为 km. ⑵任务2 小达从布心站出发，乘坐5号线前往临海站并出站游玩，游玩后再从临海站出发，依次乘坐5号线、11号线、14号线、7号线和5号线回到布心站，求全程的地铁票价. ⑶任务3 小达以任务2的方式在布心站和临海站之间往返，设其往返的来回数为x，办理深圳通互联互通卡出行相比不办理节省的费用为y，请求出y与x的关系式，并计算至少往返几个来回时，办理深圳通互联互通卡出行比不办理更划算? 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、是一次函数，故Ａ错误. B、是一次函数，故Ｂ错误. C、是二次函数，故Ｃ错误. D、是正比例函数，故Ｄ正确. 故答案选：D． 【分析】根据正比例函数的定义对各选项逐一判断，是一次函数，、是一次函数，是二次函数，是正比例函数，即可得答案. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵一次函数是关于x的一次函数， ∴ 解得：n=2，m≠2． 故选A． 【分析】直接利用一次函数的定义得到不等式为进而解不等式即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：因为点 在一次函数 的图象上， 所以将 ， 代入函数解析式，可得： 移项，得：； 合并同类项，得：； 系数化为1，得：； 所以 的值为 ， 故答案为：C。 【分析】将点 代入一次函数 ，得到方程 ，解此方程即可求出 的值。 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵正比例函数，当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 故答案为：A． 【分析】将x=2和y=-1代入可得，再求出k的值即可. 5．【答案】 【解析】【解答】 解：设y=kx，则有4k=5，得k=，故. 故答案：. 【分析】设y=kx，求出k的值即知函数表达式. 6．【答案】y=2.7x+4.6 【解析】【解答】解：依题意有：y＝10＋2.7（x−2）＝2.7x＋4.6． 故答案为：y＝2.7x＋4.6． 【分析】根据“乘车费用＝起步价＋超过2千米的付费”列出函数解析式即可. 7．【答案】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义，明确一次函数中自变量的次数为1且一次项系数不为0这两个条件，建立关于m的方程和不等式来求解m的值； （2）先根据（1）中求得的m值确定一次函数的具体表达式，再将y的值代入函数表达式，通过解方程求出对应的x值。 8．【答案】C 【解析】【解答】解：（1）行驶路程与时间的关系为，符合形式，是一次函数； （2）圆的面积与半径的关系为，是二次函数，不是一次函数； （3）树高与月数的关系为，符合形式，是一次函数； （4）花费与购买量的关系为，符合形式，是一次函数； 满足一次函数关系的有（1）、（3）、（4），共个． 故选：C． 【分析】 本题考查一次函数的定义，需熟悉其一般形式并正确应用． 对于（1）：根据“路程=速度×时间”的关系可知：行驶路程y与时间x的关系为：，符合一次函数y=kx+b（其中k=60，b=0）的形式，故y与x是一次函数关系； 对于（2）：根据圆的面积计算公式：，其中自变量x的次数是2，不符合一次函数 y=kx+b的形式，故y与x不是一次函数关系； 对于（3）：根据树的高度=初始高度+每月生长高度×时间可得：树高y与月数x的关系为，符合一次函数y=kx+b（其中k=2，b=50）的形式，故y与x是一次函数关系； 对于（4） ：根据总价=单价×数量可得：花费y与购买量x的关系为，符合一次函数y=kx+b（其中k=2.2，b=0）的形式，故y与x是一次函数关系； 综上可知：(1)(3)(4)是一次函数，共计3个，故答案为C，由此可得出答案． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 购买球拍4副 需付款20×4=80元， 购买乒乓球x盒需付款（x-4）×5=5x-20， ∴ 应付款y(元)与乒乓球盒数x(盒)的函数关系式为：y=80+5x-20=5x+60 (x≥4) ， 故答案为：C. 【分析】根据题意列出关系式即可，注意需要付款的乒乓球盒数. 10．【答案】B 11．【答案】y=1.02x-32 【解析】【解答】解：根据题意得y=(1.5-0.8)x-40%×0.8×(100-x)=1.02x-32 故答案为：y=1.02x-32. 【分析】先计算卖出报纸的收入和退回报纸的退款，再用总收入减去总成本(购入成本减去退回退款)得到利润。 12．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，杯沿高为（常量），杯子底部到杯沿底边高为， 则杯子总高度随着杯子数量（自变量）的变化规律为． 故答案为：． 【分析】根据杯子总高度杯子底部到杯沿底边高杯沿高杯子数量建立关系式即可求出答案. 13．【答案】0 【解析】【解答】解：∵是关于的正比例函数， ∴中， 解得，， 故答案为：． 【分析】本题考查正比例函数的定义，正比例函数的一般形式为（），其特点是不含常数项且一次项系数不为0。先对给定的函数进行整理，合并同类项后得到。要满足正比例函数的定义，需同时满足两个条件：一是一次项系数（保证函数是一次函数），二是常数项（保证不含常数项），联立这两个条件求解，可得。 14．【答案】（1） （2）解：月执行非夏季标准，且， 250度用电量在第二档， 当时，则元， 月执行夏季标准，且， 250度用电量在第一档， 当时，元， 答：小安家在4月的实付金额为元，在5月的实付金额为元； （3）解：∵11月执行非夏季标准， ∴200度电费，400度电费， ∴， ∴小初家11月用电量属于第二档，令，则， 解得， 答：小初家11月的实际用电量为220度． 【解析】【解答】解：（1）当执行非夏季标准时，即当时，有 ， 故答案为：； 【分析】 （1）当时，金额等于度内付出加上超出度付出金额，即可得到y与x的函数关系式； （2）根据用电度数判断出250度用电量在第二档，然后把用电度数代入关系式进行计算可得4月的实付金额为元，由于月执行夏季标准，得到250度用电量在第一档，计算可得5月的实付金额，解答即可； （3）先计算出最大用电量时得电费为132元，274元，元再根据电费判断出小初家11月用电量属于第二档，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． （1）解：当执行非夏季标准时，即当时，有 ， 故答案为：； （2）月执行非夏季标准，且， 250度用电量在第二档， 当时，则元， 月执行夏季标准，且， 250度用电量在第一档， 当时，元， 答：小安家在4月的实付金额为元，在5月的实付金额为元； （3）∵11月执行非夏季标准， ∴200度电费，400度电费， ∴， ∴小初家11月用电量属于第二档，令，则， 解得， 答：小初家11月的实际用电量为220度． 15．【答案】（1）解：①∵ 已知 y 与 x+2 成正比例， ∴设y=k（x+2）， ∵当 x=3 时，y=7 ， ∴7=k（3+2）， ∴k=， ∴ y与x的函数关系式 y=（x+2）=； ② 当 x=−1 时， y=. （2）解：∵ x=，y= ， ∴x+y=+ ==2， ∴ x2+xy+y2 =（x+y）2-2xy+xy=（x+y）2-xy=(2)2-=20-1=19 . 【解析】【分析】（1）①设y=k（x+2），将x=3 时，y=7代入，进而得出答案； ②将 x=−1 代入y与x的函数关系式即可得出答案； （2）先计算x+y的值，再结合完全平方公式将原式进行变形，进而得出答案. 16．【答案】（1）y=(1-0.5)x-(0.5-0.2)(200-x)=0.8x-60，自变量x的取值范围是：0≤x≤200 （2）由题意得30(0.8x-60)≥2000，解得∴x的最小正整数解是159，∴每天至少要卖159份报纸才能保证每月收入不低于2000元 【解析】【分析】⑴ 明确利润的构成：卖出部分的利润为每份 ( 1 − 0.5 ) = 0.5 元，退回部分的亏损为每份 ( 0.5 − 0.2 ) = 0.3 元 ，据此建立每日纯收入与卖出报纸数量的函数关系，并求解满足月收入条件的最小日销售量. ⑵借助不等式求出平均每日卖出报纸份数，注意报纸份数需为整数. 17．【答案】B 【解析】【解答】解：设中桌的长为a，小桌的长为b， 由图2可知，y=b+2x，a=b+x，a=3x， b=2x， y=4x. 故答案为：B. 【分析】设中桌的长为a，小桌的长为b，根据图2的桌面拼合方式， 得出等量关系y=b+2x，a=b+x，a=3x，变形即可得到答案. 18．【答案】解：⑴8 ⑵解：去程的路线长度为33.3km，返程的路线长度为 1.5+19.6+3+6+0.8=30.9(km) 所以布心站到临海站的里程为30.9km. 从而布心站到临海站的票价为 2+2+2+1=7(元) 进一步可知全程的地铁票价为 (元) 答：全程的地铁票价为14元. ⑶解：由任务2和素材3可知，办理深圳通互联互通卡往返一次相比不办理节省的费用为(元)，所以y与x的关系式为 令y=16，解得x≈22.9 从而至少往返23个来回时，办理深圳通互联互通卡更划算. 答：至少往返23个来回时，办理深圳通互联互通卡业务出行比不办理更划算.(如考虑开卡费用，得到相应地，令解得亦给分) 【解析】【解答】解：（1）∵3＞2， 首4公里人民币2元， ∴ A、B两站之间 的里程＞4， ∵ 4公里至12公里部分，每人民币1元可乘坐4公里； ∴ A、B两站之间的最长里程为 ：4+4=8（公里）； 【分析】（1）根据题意，首4公里人民币2元， 4公里至12公里部分，每人民币1元可乘坐4公里，故而得出 A、B两站之间的最长里程为8公理； （2）首先求出布心站到临海站的最短线路长度 30.9km，30.9=4+8+12+6.9，根据不同的价格，可得布心站到临海站的票价为2+2+2+1=7，故而得出往返需要14元； （3）由（2）知： 办理深圳通互联互通卡往返一次相比不办理节省的费用为(元)，故而得出y与x的关系式为；根据素材3可知 手机用户需要支付 16元不可退服务费用，所以可令y=16，求出对应的x的值，即可得出答案。 学科网（北京）股份有限公司 $