重庆市永川中学校2026届高三第二次模拟考试数学试卷

永川中学高2026届高三第二次模拟考试 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2,B={x2-4x+3=0},则C(AUB)=() A.L,3 B.{0,3} C.{-2,0} D.{-2,1 2.下列说法错误的是() A.若随机变量X~N(4,o),则当o较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中 B.在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若R越大，则说明模型拟合的效果越 好 C.若样本数据x,x2,,x的平均数为3，则3x+1,3x2+1,,3xn+1的平均数为10 D.一组数据6,7,7,8,10,12,14,16,19,21的第30百分位数为7 3.已知复数z对应的向量为0Z(O为坐标原点)，0Z所在的直线的倾斜角为120°，且复数z的模为2，则 复数之为() A.1+3i B.2 c.-1-V5i D.-1+V3i 3 4.记S为数列a,}的前n项和，已知a=2,S,=20.-1,则a（） A.18 B.54 C.81 D.162 5.若两定点A(-1,0),B(1,0),动点P满足V2PA=|PB,则动点P的轨迹围成区域的面积为() A.2元 B.8π C.4√2元 D.4π 6.将函数/()-2如行+骨)图象上所有点的横坐标变为原来的两倍。纵坐标不变，得到屑数g的图 1 象，则g(x)图象的一个对称中心为() a(0 B. c. D. 7.如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该 函数是() A.y=二x+3x x-x B.y= 2xcosx 2sinx D.y= -3 x2+1 x2+1 C.y=- x2+1 x2+1 试卷第1页，共4页 8.已知双简线C:手。-a>060的左右焦点分划为，5，经过F的直线与C的右支交于AB 两点，且AM,cas∠BA-)则C的离心率是() A.27 B.15 C.5 D.5 3 3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知平面向量a=(1,cos6),b=(-2,sin6),则() A.0∈R,a,b不垂直 B.30∈R,使得a,b共线 c.当9=亚时，la+=3 D.当9=0时，ā在6方向上的投影向量为 10.己知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则() A.若m∥a,m⊥B,则a⊥B B.若mC&,nCB,则m与n为异面直线 C.若m∥n,n∥，则m∥ax D.若m⊥，n∥a,则m⊥n 11.设Sn是一个无穷数列a,}的前n项和，满足对任意的正整数，不等式S<S恒成立，则称数列 nn+l {an}为和谐数列，下列结论正确的是（) A.若对任意的正整数n均有an<at1,则{an}为和谐数列 B.若{an}为和谐数列，则对任意的正整数n均有an<an+ C.若等差数列{an}是和谐数列，则Sn一定存在最小值 D.一定存在首项、公比均为负数的等比数列{an}是和谐数列 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12.1-3x)x-2y)的展开式中x4y2的系数为 (用数字作答) 13.己知P是椭图C:千+y-1上一点，Q是直线1：x+y-25=0上一点，则P@的最小值为 14.若函数f(x)=x(2-a)-x-有且仅有一个零点x,且x>0,则实数a的取值范围为 试卷第2页，共4页 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.在△ABC中，sin2C=√3sinC. (1)求∠C: (2)若b=6,且△ABC的面积为6√3，求△ABC的周长. 16.如图，正三角形ABC和平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=4,BD=AD=√31，AB,DE 的中点分别为F,G.将△ABC沿直线AB翻折到△ABC,使二面角C-AB-D为120°，设CE的中点为 H. (1)求证：平面CDF∥平面AGH; (2)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦 H 值. 17.已知x=1是函数fx)=-x2+ar2+bx(a,b∈R)的极值点. (1)求a,b满足的等量关系式： a若a=子求f在l,2]上最值 试卷第3页，共4页 18.高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错 的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）. (1)若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率： (2)假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为) ()求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率： ()一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建 议作答时选择几个选项？ 19.已知抛物线C:y2=2px(p>O)的焦点为F,其准线与x轴的交点为D,抛物线C上存在点E满足 |EF=|DF,且SA=2. (1)求C的方程； (2)记2n（22m-,0)(n∈N)，过F的直线交C于A,B,在抛物线C上按如下方式构造点列A,B。:连接 A2.,B2n分别交C于另一点Bn+1,A+1 (i)设直线ABn与x轴交点的横坐标为Pn,求数列{Pn}的通项公式： (ii)O为坐标原点，若△OABn的外接圆与抛物线C交于第四点Cn,试证明：△A.B.C的重心在x轴上， 且在2-1的右侧. 试卷第4页，共4页 永川中学高2026届高三第二次模拟考试数学参考答案 题号 y 2 3 ? 6 7 答案 C D D B C D A A 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABD AD ACD -120 V10 2 (-0.-IlUi 8.设AB=m,则AE=AB=m, 由双曲线的定义，可得AF-AF=2a,所以AF=m-2a, VA 又由BF,=AB-AF=m-(m-2a)=2a, 因为BF-BF=2a,所以BF=|BF+2a=2a+2a=4a, 在△ABF中，由余弦定理得BF=AB+AFP-2 AB AF cos∠BAF, a=m+m-2m号即16d-2m-2a×对16。 即m2=9a2，,所以m=3a,则AF=3a,AF=3a-2a=a, 在△AFE中，由余弦定理得EF'=AEP+AFP-2 AFAF cos∠FAF2, 即(2c2=B}+a2-2x3axa。解得c2=3,所以a=7,所以双曲线的离心率为e=S=V21 3 1l.AcDS<S台n+S.<S台S.<S-S)台S,<nan nn+l 对于选项A,a,<a+,∴Sn=a+a2++an<nan<na+,数列{an}为和谐数列，故选项A正确； 对于选项C,设等差数列{an}的公差为d,则由等差数列求和公式可知 S.=ma +mnDd=4w+(a- 2 2 :&=4+",'d=4+0n-0 “数列 d 2 n 是公差为号的等差数列：等差数列和}是和谐数列， 三<S,号>0，关Tn的二次函数3，=号m+an的图象开口向上，则在nmeN上一定存在 n<n+心2 最小值，故选项C正确：对于选项D,对等比数列和，取4<0，g=-子，则由等比数列的通项公式及 a,1-(-)14 求和公式可知Sn= 1-( 4l-(1,n0=a,(-}要证等比数列{a,}是和谐数列，只需证 答案第1页，共6页 3<,即证考al-(字1水m(孕，即证-(1>孕，即证m+<专当 n=2k+1,keN时，上式中左边n+(-”<0,不等式显然成立：当n=2k,k∈N时， 5 要a中专即m以导记号可E61>0 5 5 设/=16--，teP=)16n16 2>m165 =In16-Ine2 >0, 2 )=16-8-1在定义城上单调道溜，1>0=16-20,16--1>0， 综上，存在等比数列a,}满是4<0，q=,使数列a为和谐数列，故选项D正确： 对于选项B,由选项D可知存在等比数列和，满足4<0,9=子使数列和}为和诺数列，此时 2=- 0>0。=<0,a>4,不满足4<a,枚隆项B错误 故选：ACD 14.令f(x)=0→x(2-a)=x-1≥0有且仅有一个根x,且x>0,由f(0)=-1,显然x=0不可能是零 点，则a=2K-l有且仅有一个根，当x<0或0<x<1,则2K-=2-1x-2-+1,令 m-.en刘m-号2-g2 则0'(x)=(2*-2x)n2>0,即(x)在(-o,0)上单调递增， 由（月-}n2-h90g)2.即（使6）0，则2m=2,所以 (-∞，x)上(x)<0,即g'(x)<0,则g(x)在(-∞，x)上单调递减，(x,0)上(x)>0,即g'()>0,则g(x) 在o水酒来商安写立宝护碳两(0上 g()>0恒成立，且其最小值m=g(x)>1,此时，Q<m时，4=2_x-在（←，0）上无解，即a不存 在；a≥m时，a=2-上-l在(m,0)上有1或2个解，与6>0或唯一性矛盾；当0<x<1,则 g'w=-n22-x2 宁2，京~0所以6因在@上节调递孩。超向于0时宁→1，)0，绝向于 x 1时宁→士1，则0：当1则2以22， 令)1在l+0上单调避减。且M0分趋向于o时)0,0， 所以()∈(-l,:综上，a∈(-0，-U分 答案第2页，共6页 15.(1)解：因为C∈(0，π)，则sinC>0,由已知可得√3sinC=2 sinCcosC, 可得coC=,因比、C=君 1 (2)解：由三角形的面积公式可得SA= bsnC-a6W5,解得a=45 由余弦定理可得c2=a+62-2 abeosC=48+36-2×4N5×6x5-12,:c=25, 2 所以，△ABC的周长为a+b+c=6W3+6. 16.(1)因为四边形ABDE为平行四边形，F、G分别为AB,DE的中点， 所以四边形FDGA为平行四边形，所以FDAG. 因为FD丈平面AGH,AGC平面AGH,所以FD∥平面AGH, 又H、G分别为CE,DE的中点，所以HGIICD CD文平面AGH,HGc平面AGH,所以CD∥平面AGH, ZA 因为FD、CDC平面CDF,FDOCD=D, 所以平面CDF∥平面AGH, (2)因为三角形ABC为正三角形，BD=AD,F为AB的中点， A =>E 所以AB⊥CF,AB⊥DF,所以∠CFD为二面角C-AB-D的平面角， D 又CF∩DF=F,CF,DFc平面CDF, 所以AB⊥平面CDF,因为ABC平面ABDE,所以平面CDF⊥平面ABDE. 作COL平面ABDE于O,则O在直线DF上 又二面角C-AB-D的平面角为∠CFD=120°， 所以O在线段DF的延长线上.由已知得CF=2√5，则F0=√5，C0=3. 以F为原点，FD,FA所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于OC的直线为z轴，建立空间直角坐标 系， 因为AB=4,BD=AD=√3I,所以DF=3√5， 则A(0,2,0)，B(0,-2,0),D(33,0,0),E(33,4,0）,C(-V5,0,3, 则CD=(4W3,0,-3),DE=(0,4,0),设平面CDE的一个法向量为元=(x,y,), 则由n⊥CD,n⊥DE,得 4W5x-3=0,令2=4w5,得元=(3,0.45) 4y=0 答案第3页，共6页 易得平面DEF的一个法向量m=(O,0,1), 所以平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值为cos元，m= i:m419 m19 17.(1)f'(x)=-3x2+2ax+b. 因为x=1是f(x)的极值点， 所以f'(I)=-3+2a+b=0,即2a+b=3,即b=3-2a, 所以f'(x)=-3x2+2ax+3-2a=-(x-1)3x-2a+3), 令f'()=0,解得x=1或x=2a-3, 3 ①当a>3时， 2431,所以/因在←a利2a,3上单调递减，在24，) 2a-3 3 单调递增， 所以当x=1时，f(x)取得极小值，符合题意； ②当a=3时，f'(x)≤0恒成立，所以f(x)在R上单调递减，此时f(x)无极值，不符合题意： ③当a<3时， 33<1,所以fm在 2a- 2a-3 -00, 3 和(1，+0)上单调递减， 在 单调递增， 所以当x=1时，f(x)取得极大值，符合题意. 综上，所以2a+b=3,且a≠3； (2)因为2a+b=3,所以当a时，6=0，=+， f'(x)=-3x2+3x=-3x(x-1). 令f'(x)=0,解得x=0或x=1, (-1,0) 0 (0,1) 1 1,2) 2 f'(x) 0 0 f(x) 5 → 0 2 -2 2 所以f(x)ma= 2’f(mng=-2. 18.(1)记“随机选择2个选项得6分”为事件A. 从4个选项中任选2个选项，样本空间共C=6种等可能结果， 答案第4页，共6页 正确透项1种可能，所以P(④-。即随机选择2个运项得6分的强率为行 (2)()记“四个选项中有i个选项符合题目要求为事件A,(i=2,3), “选择1个选项时得0分为事件8，则有P(4):P4) 1 P)方)片P®到=好行即择1个这项得0分的瑟率为号 ()一道多选题在能确定A选项错误的前提下. 选1个选项时，得分X的可能取值为0,2,3， P0X=o叭名P0X=2=1方p0X=动号 211 所以得分期里()=0名2x+32, h 3 选2个选项时，得分Y的可能取值为0,4,6， 同理可得P心=0=子有P=纱=兮分Pv=0-号君 所以得分期望为E(Y)=0x+4x+6x=3, 1 3 26 选3个选项时，得分Z的可能取值为0,6， 同理可得P(亿=0)=方P(2=6= 所以得分频望为E2)=06}3. E(X)<E(Y)=E(Z),建议作答时选择2个或者3个选项. 19.【详都1)自医知F(号0，D-号所以D=n=r, 不纺设点万在第一象限，由抛物线定义知E到准线的距离为P,所以C号P), 由5.m=2p=2,解得p=2,所以C的方程为y2=4x, (2)(i)设经过x轴上点(n,0)的直线为x=四y+n, 与抛物线C的两交点记为(x,y),(x2,y2), x=my+n 联立 y2=4x 得y2-4y-4n=0,则yy2=-4, 因为直线ABn经过点(Pn,0),所以yAyB,=-4Pn, 因为直线A+Bn+经过点(p+1,O),所以yAyB=-4P+, 答案第5页，共6页 因为直线AB1和BA经过点(22m-,0), 所以yAyg=-4×221=-2,y%yg=-22+， 所以%Yn yhaYn=（-4pn)(-4pi)=（22a+）(←22m)p1P.=2-2, 因为A=lA=2,P1=2,所以-2， 当n为偶数时，n.=4×(2)学=4， 1-1 当n为奇数时，p.=1x(2)=4-1, 综上pn=4. (i)设直线ABn与OCn的交点为M(x,%),因为四点A,BOCn共圆， 所以MAMB=MOMC., 设直线AnBn为x=m(y-%)+x,联立y2=4x得 y2-4my+4my。-4x=0,所以y4+yg.=4m,yAyg.=40-4x, MAl-MB,l=1+m2y o+m2 yn.-yo=(1+m2)y:%o-yo(y+ya.)+y =(1+m24m。-4x,-4o+=(（1+m2)4x+, B2 设直线0Cn为x=n(心-%)+x,同理可得M0MC=(1+n2)儿4x+, 又MA.MB.=MOMC且m≠n,所以m+n=0, 所以yA.+yg+yc,=4m+4n=0, 则△A B.C的重心纵坐标为0，即△A,BCn的重心在x轴上， xA.+x8=m(yA +y8 )-2myo+2xo=4m2-2myo +2xo, 同理x,=4m2+2m%+2x所以x+x,+x.=8m2+4, 联立直线AB,x=my+p,与OC,x=-my得x=D, 2 所以+a+-8m+2B-8t+2.2n-2>2-, 3 3+= 33 所以△A B.C的重心在2n1的右侧. 答案第6页，共6页