重庆市永川中学校2026届高考前第一次模拟考试数学试题

**基本信息** 高2026届高考数学模拟卷，以函数导数、立体几何等核心知识为载体，通过概率统计实际情境（如雨天晴天打球概率）、大衍数列文化素材设计，考查数学思维与应用能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、充要条件、散点图相关|基础概念辨析，如散点图线性相关系数判断| |多选题|3/18|大衍数列、不等式性质|文化传承，如大衍数列递推关系应用| |填空题|3/15|复数概率、三棱锥外接球|空间想象与运算，如外接球表面积计算| |解答题|5/79|概率统计应用、立体几何翻折、椭圆与抛物线综合|实际情境与综合探究，如翻折二面角问题、函数零点讨论|

高2026届高考前第一次模拟考试（数学） 命题人：徐兵 王黄 审题人：徐兵 王黄 1、 单选题：本题共8小题，每题5分，共40分 1．已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9．已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 10．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为120 11．如图，已知棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（ ） A．曲线的长度为 B．存在，使得平面 C． D．当与只有一个公共点时， 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12．在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为______ 13．已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为______ 14．如图1，在三棱锥中，，点P到平面的距离为2，且点P在平面内的射影与点C在直线的两侧.如图2，是底面在斜二测画法下的直观图（其中A与对应，B与对应），，则三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题 15、（13分）已知向量，，设函数． (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； (2)已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 16、（15分）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 17、（15分）如图，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成的，其中，，．现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥，如图（2）所示． (1)求证：． (2)如图（2），若二面角的大小为，点为的重心，点在线段上，且． （i）求证：平面； （ii）求平面与平面夹角的正弦值 18、（17分）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 19、（17分）函数 (1)时，证明：； (2)讨论函数的零点个数； (3)当时，记所有零点之和为若无零点则，证明：参考数据： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高2026届第一次模拟考试（数学） 命题人：徐兵王黄 审题人：徐兵王黄 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分 1.己知集合A={x-2≤x<1},B={m,3},且AOB的元素个数是一个，则实数m的取值范 围是() A.(-2,1) B.[-2,1] C.[-2,1) D.(-2, 2.“m=0”是“f(x)=(m2-m+1)x2m-3为幂函数"的() A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.对于变量x,y有观测数据(x,y)i∈N),得散点图1；对于变量u,v有观测数据 (u,y)(i∈N),得散点图2.5表示变量x,y之间的线性相关系数，5表示变量，y之间的线 性相关系数，则下列说法不正确的是() A.1+5<0 B.55<0 C.2>5 D.+2<0 2乃 图1 图2 4。在△46C中，A-名BC=2,若满足上述条件 的△ABC恰有一解，则边长AC的取值范围是() A.(0,2) B.(0,2] c.(0,2)U{4 D.(0,2]U{4} 5.若y=f(x),y=f(g(x)分别为定义在R上的奇函数、偶函数，则g(x)的解析式可以为 () A.8(x)=x2-x B.g(x)=x+x C.8(x)=x3+x D.g(x)=x+x 6.已知cos(a+)-写os(a-)=方：则casa+cosB=() A名 c母 0. 6 7.在△ABC中，点D为边BC的中点，过点D的直线与AB,AC两边（或其延长线）分 别交于点E,下，设B=xAE,AC=y4F(x>0,y>0),则上+2的最小值为《) x V 试卷第1页，共4页 A. B.1+√2 c.3 +2 D.2+V2 8.已知O为坐标原点，AB为圆O:x2+y2=4的一条弦，弦AB绕点O旋转一周扫过的区域 为2.若点(1，)∈2，则AB的取值范围是() A.[2V2,4 B.[2,4] c.[V2,2] D.[,2] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.己知实数a,b满足√a-1>√b-1,则() A.a>b B.11 c.(a-b)(a+b-2)<0 D.2-2>3-36 a b 10.大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用.己知大衍 数列{an}满足a1=0,a1= an+n+1,n为奇数 an+n,n为偶数 ，则正确的有() A.a5=12 B.a2n+1=a2m-1+4n C.d2n =2n2-n D.数列{(-1)”an}的前20项和为120 11.如图，已知棱长为2的正方体ABCD-A'B'CD'中，E,F分别是棱B'C',CC'的中点， G为棱CD上一点，动点P在线段A'D上，动点Q在正方形CDDC内及其边界上，且 EQ=AB.记点Q的轨迹为曲线？，则() D' A.曲线2的长度为√3元 B B.存在P,Q,使得PQ//平面AB'C 0. C.VP-DEF =VE-DFD D.当D'G与Q只有一个公共点时，∠DD'G= 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在集合A={-1,0,1}中随机取一个数a,在集合B={0,1}中随机取一个数b,复数 z=a+bi,则在z为虚数的条件下z为纯虚数的概率为 13.已知等比数列{a,}的前n项和为S,S,=7,S。=63,则函数f(m)=”的最大值为 a 14.如图1，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2√2，点P到平面ABC的距离为2，且 点P在平面ABC内的射影与点C在直线AB的两侧如图2，△AB'C是底面△ABC在斜二测 画法下的直观图（其中A与A对应，B与B对应），AC'=2B'C'=2,则三棱锥P-ABC外 试卷第2页，共4页 接球的表面积为 C(O 图1 图2 四、解答题 15、(13分)已知向量m=(os-,n-（5smx》, 设函数f(x)=(m+nm-2. (1)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称轴方程： (2)已知a,b,c分别为三角形ABC的内角A,B,C对应的三边长，A<B,a=1,c=V3, 且f(4恰是函数f()在0上的最大值，求三角形ABC的面积。 16、(15分)小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不 打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小 周只打乒乓球在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、 小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率 均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日 出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为01.假设这4人打球的选择相互独立、互 不影响。 (1)求小张周日打羽毛球的概率： (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率： (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为X,求X的数学期 望 17、(15分)如图，多边形ABCDE是由一个等腰三角形ABE和一个菱形BCDE组成的，其 中AB=AE=√13，BC=2,∠D=60°.现将 P △ABE沿BE翻折，点A翻折到点P的位置， E E D 得到四棱锥P-BCDE,如图(2)所示. (1)求证：∠PCD=90°. (2)如图(2)，若二面角P-BE-D的大小为 (1)） (2) 试卷第3页，共4页 I20°，点G为△PBE的重心，点F在线段BC上，且BF=BC. (i)求证：GF/平面PCD; (i)求平面CGF与平面PCD夹角的正弦值 18、(17分)已知椭圆T,:+三 -=1,抛物线「2：y2=2px(p>0)与「，有一个相同的焦点F.过 点F作互相垂直的两条直线I与'，直线I与「1交于点A、B,直线1'与「2交于点C、D. (1)求椭圆「，的离心率及抛物线「2的方程： /(2)若直线/的倾斜角为远，求AB中点M的坐标： (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. 19、(17分)函数f(x)=e-alnax(a>0). (1)a=1时，证明：f(x)>2: (2)讨论函数f(x)的零点个数： (3)当a=k(k∈N)时，记f(x)所有零点之和为b(若f(x)无零点则b=0),证明： 自+么++6告(aeN)(参考数据271s 试卷第4页，共4页 试卷第5页，共1页高考第一次模拟考试答案 一、单选题 1-8CAADBDCA 7.【详解】因为D是BC的中点，所以AD=AB+AC=xAE+AF, 11 由于E,D,F三点共线，所以x+=l,其中x>0,y>0, 2x y 当且仅当 行+宁=1，即=25-2425时特号成立所以子的最小植为5。 1 1 x y x>0,y>0 8.【详解】设圆心O到弦AB的距离为d,圆O半径r=2, 弦AB绕点O旋转一周时，AB上所有点到点O的距离范围是[d,2], 所以AB扫过的区域Q是内半径为d,外半径为2的圆环区域，又点(1,1)∈2，其到原点O的距离为√2，则 V2∈[d,2],所以0≤d≤V,又4B=2WP2-d-2W4-dP∈[2W2,4] 二、多选题 9.AD 10 AB 11 BCD 10【答案】AB 【分析】根据递推关系，代入数据，整理变形，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A,由题意可得42=a+1+1=2,a=a2+2=2+2=4,a4=a+3+1=8, a=a4+4=8+4=12,故A正确；对于B,因为2n为偶数，所以a2m=a2n+2n, 因为2n-1为奇数，所以a2n=a2m-1+(2n-1)+1=a2m-1+2n, 所以a2m1=a2m-1+2n+2n=a2m1+4n,故B正确：对于C,因为2n为偶数，所以a2m1=a2n+2n, 又因为2n+1为奇数，a2m+2=42m+1+(2n+1)+1=a2m+1+(2n+2), 所以a2m+2=a2m+4n+2，所以a2m+2-a2m=4n+2,则a2m=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2n-a2m-2) =2+(4+2列+(8+2)+[口-)+习=40-0+m-)+2=%,故c错误： 2 对于D,数列{(-1)”an}的前20项的和为So, 所以S20=-a1+a2-a3+a4-…-ag+a20=(a2-a1)+(a4-a3)+…+a20-a1g =21+2++10)2×10(10+1）10,故D错误. 2 11、BCD【详解】如图1，连接C9,由于CE⊥平面CDDC,CQc平面CDDC,故CE⊥CQ, 因为EQ=AB,所以C'E2+CQ=EQ=4, D'N B 又CE=1,从而CQ=√3.故点Q的轨迹是以C为圆心，√5为半径的圆的四分之一， 记为MN. 选项A:瓜的长度为x5-誓，A错误 图2 选项B:如图2，若Q取CD与M的交点Q,P取点D, 此时易知PQ/AB′，ABc平面AB'C,PQ丈平面AB'C,故PQII平面ABC,B正确. 选项C:由于EF/IB'C,且AD/IB'C,故AD∥EF,EFC平面D'EF,AD丈平面DEF, 故AD/平面DEF,故P到平面D'EF的距离与D到平面DEF的距离相等， 所以'，r='n-r='-rm,C正确.选项D:D'G与Q只有一个公共点即直线D'G与M相切， 如图3，记切点为g,连接CQ,则cs∠DCQ.-C9-5,从面∠DCQ,-云，所以∠DDG-吾D正确， CD'2 6 三、填空题 12、3 13、【详解】因为S3=7,S。=63,故a4+a+a。=63-7=56,而41+a2+a3=7, 故g3=8,故g=2,故a(1+9+g2)=7a,=7,故a=1, 放a=2该网-而a+小-a)兴”2-2， 2 2n, 故当n=1时，f(n+1)-f(n)>0;当n=2时，f(n+1)-f(n)=0: 当a23,f+-k0,微02=f明4…>fo小，放r@=2号号 14【答案】12π 【分析】利用直观图以及三棱锥的性质构造正方体求得外接球的半径R,即可得出外接球 的表面积。 【详解】因为A'C'=2B'C'=2,∠B'C'A=45°，所以AC=BC=2,AC⊥BC, 过点P作PD⊥平面ABC于点D,则PD=2,由PA=PB=AB=2V2,可知CD平分∠BCA, 设AB与CD的交点为O,则OP=PAsin60°=V6, 所以OD=√OP2-PD?=√2=OC,所以四边形ACBD是正方形，故可将此三棱锥补形成如图所示的正方体， 则该正方体的体对角线PC即为三棱锥P-ABC外接球的一条直径， 设该外接球的半径为R,则2R=V3AC2=25,即R=V3,则其表面积为S=4πR2=12π.故答案为：12π 四、解答题 5、【详解】C/四)=(m+元m-2=m+m:元2=c0sx+1+3sin xce0x+)2 2 2 由+2≤2x++2,keZ,得吾+m≤x≤+， 62 3 所以函数四的单调递增区何为了十众+众，片cZ, 6 令2x+名红+受人e乙，解得x=经+名所以函数闭的对称销方程为x受石keZ 6 26 (2)由(1)知f(x)=sin2x+ 6/1 当引时2+后则当2x+-即=对数内限大位 62 6 又(4怡是函数f()在[0，引 上的最大值，且A为锐角，可得A=交 6 由余弦定理可得12=6+3-2b×V5x ,解得b=1或b=2, 2 因为A<B,所以a<b,则b=2,所以三角形ABC的面积S=be sin A=5所以三角形ABC的面积为5 2 2 2 16、【详解】(1)设小张周日打羽毛球为事件A, 根据题目可知，周日下雨的概率为0.1，周日晴天或阴天的概率为0.5，小张在雨天打羽毛球的概率为0.3，小张在 晴天或阴天打羽毛球的概率为0.5， 由全概率公式可得P(A)=0.5×0.5+0.1×0.3+(1-0.5-0.1)×0=0.28. (2)设晴天或阴天打乒乓球的人数为Y, 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为0.4，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为0.4，小王晴天或阴天打 乒乓球的概率为0，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为0.4， P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1),P(Y=0)=(1-0.4)×(1-0.4)×(1-0.4)×(1-0)=0.63=0.216, P(Y=1)=0.4×0.6×0.6×1+0.6×0.4×0.6×1+0.6×0.6×0.4×1=0.144×3=0.432, 故P(Y≥2)=1-0.216-0.432=0.352 (3)根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的 情况下，小李打球的概率为0.3+0.3=0.6， 小王雨天打球的概率为0.3，小周雨天打球的概率为0.3，X可能的取值为0,1,2,3， 则P(X=0)=(1-0.6)×(1-0.3)2=0.196,P(X=1)=0.6×(1-0.3)2+0.3×(1-0.6)×(1-0.3)×2=0.462, P(X=2)=0.6×0.3×(1-0.3)×2+(1-0.6)×0.32=0.288,P(X=3)=0.6×0.3×0.3=0.054, 则E(X)=0×0.196+1×0.462+2×0.288+3×0.054=1.2. 17、【详解】(1) 如图，取BE的中点H,连接PH,CH,CE, G E-- D 因为△PBE为等腰三角形，点H为BE的中点，所以PH⊥BE, 因为四边形BCDE为菱形，所以BE/CD,所以PH⊥CD, F 因为四边形BCDE为菱形，∠D=60°，所以△BCE为等边三角形， 所以CH⊥BE,进而CH⊥CD,又PH∩CH=H,PH,CHc平面PCH, 所以CD⊥平面PCH,又PCc平面PCH,所以PC⊥CD,即∠PCD=90°. (2)(1)如图， 以H为原点，HB,HC以及垂直于平面BCDE的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角 E- D 坐标系， 因为PH⊥BE,CH⊥BE,二面角P-BE-D的大小为120°，所以∠PHC=120°， 则ua0.c50.a2i0,PeiF得509 所元-a2点--(20小.F-得小 设平面PCD的法向量为n=(x,yz),则 PC万=25y-32=0,令y=5,则x=0z=2, CD-i=-2x=0 新议n=0,V3,2,所以GFm23×-1x2=0,义GFx平面PcD,所以GF1/平面PD (i)由(i), 6-0-45 G乎= 223 3),1设平面cGF的法向量为m=(a,b,G》 CGm=- 43 b+c=0 则 3 ，令b=5,则a=3,c=4所以m=(3,5,4), GFm=2 2W5 3a b-c=0 V5×V3+2×411 所以cos(m,n)= √7×2√74，所以平面CGF与平面PCD夹角的正弦值为 5W5 丽 14 18、【解】(1)由题设r,的离心率为=} a2' …1分 右焦点F(1,0),即为「2：y2=2px(p>0)的焦点， 所以2=1→p=2,所以「2y2=4x, ……2分 综上，椭圆T,的离心率；，抛物线「2：y=4x: …3分 (2)由题设，知：y=(x-),联立r,:云+二=1，则兰+=少-1， …5分 43 43 所以7-8x-8=0,显然A>0,则+5，-则4+，=2-化，+)- 所以AB中点M的坐标为号)， 43 …7分 (3)依题意，若直线AB斜率为0，则|AB=4,|CD=4,此时 1 Scm=2BCD88分 若直线AB斜率不为0，设直线AB为y=k(x-),则直线CD为y=x-),且k≠0， 联立y=kx-)与兰+ -=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,且△>0，则 43 8k2 121+k2) G3+5达》所以B1+x,D 3+4k2,…10分 联立y=2-)与)2=4，得x-(2+4)x+1=0,且4>0， 1 则+=4+2，=l,所以CDF+京-卡40+)， …12分 +3》++3+ 所以Scm=7MBCD=6x4 416=6×[(+)+ 3 1 416(K2+32 ≥6×[2k2+2) 16g3面子即等号不成立，6分 4 结合对勾西数性质知：5o在+子e(层+切)上道啪，即Seo>8 综上，S4CD之8，且直线AB斜率为0，面积取得最小值为8.…17分 19、【详解】(1)a=1时f(x)=e-lnx,令g(x)=e-x-1,g'(x)=e-1,l 当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增，2 所以g(x)≥g(0)=0,所以e*-x≥1恒成立（当且仅当x=0时等号成立） 令x=nt,得t-lnt≥1，即x-lnx≥1恒成立（当且仅当x=1时等号成立）， 所以(e-x+(x-lnx)之2，由于等号不能同时取到，所以e-lnx>2,即f(x)>24 (2)f(x)=0等价于e=alnax,即xe*=lnar·ena, 因为e>0,a>0,所以lnax>0,由∫(x)定义域知x>0, 又因为y=xe*在(0，+∞)上单调递增，所以x=nax,e=ax,6 令h(x)=e*-ax,f(x)的零点即为h(x)的零点.因为h'(x)=e-a, 当x<lna时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x>lna时，h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以h(x)nn=h(na）=a(1-lna）, …8 当0<a<c时，因为h(x)≥h(na>0,所以h(x)无零点，即f(x)无零点； 当a=e时，因为h(x)≥h(na=0,(当且仅当x=lna时等号成立)， 所以h(x)恰有一个零点，即f(x)恰有个点；10 当a>e时，h(0)=l>0,h(lna<0,h(a)=e-a2>0,且0<lna<a, 由于函数图像连续不间断，函数零点存在性定理， 存在x∈(0，lna),x2∈(na,a),使得h(x)=h(x)=0, 结合单调性，h(x)恰有两个零点，即f(x)恰有两个零点. 综上所述，当0<a<e时，f(x)无零点；当a=e时，f(x)恰有一个零点； 当a>C时，f(x)恰有两个零点.12 (3)由(2)知，f(x)的零点即为h(x)的零点，b=b=0,n=1,2时命题成立； 当a>e时，h(x)恰有两个零点，设为x,x2,不妨设0<x<lna<x2, 令H()=h)-h(21na-x,则H(血a)=0,因为H'(y)=e+g-2a≥0，所以H()在R上单调递 er 增，13 因为x<lna,所以H(x)<H(lna)=0,则h(x)=h(x)<h(2na-x), 又因为x2>lna,2lna-x>lna,h(x)在(na,+oo)上单调递增， 所以x2<2lna-x,x+x2<2lna,所以b<2lnk(k≥3，k∈N),…15 所以么+%+么<2h3<45有+6++6<2n3+2n4<8 3 A++A-%+6<2h3+24+2n5<12-,长=3,45时合题废立 令p()=n青>》，p1)-<0,o在+四)上单调造该. 又因为p(6=l血6-2<0，所以当k≥6时，()s0,所以nk<行4<2h<号， 3 当n≥6时，么+6，++h<12+号(6+7+8+…鸿n+n+6血+， 3 3 3 综上所述，么+6，+…+6<0+少 3 17 高考第一次模拟考试答案 1、 单选题 1-8CAADBDCA 7.【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为. 8.【详解】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域，又点，其到原点的距离为，则，所以，又 二、多选题 9．AD 10 AB 11 BCD 10【答案】AB 【分析】根据递推关系，代入数据，整理变形，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确；对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确；对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以，则 ，故C错误； 对于D，数列的前20项的和为， 所以 ，故D错误． 11、BCD【详解】如图1，连接，由于平面，平面，故， 因为，所以， 又，从而．故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的四分之一，记为． 选项A：的长度为，A错误． 选项B：如图2，若取与的交点，取点， 此时易知，平面,平面，故平面，B正确． 选项C：由于,且，故，平面,平面， 故平面，故到平面的距离与到平面的距离相等， 所以，C正确．选项D：与只有一个公共点即直线与相切， 如图3，记切点为，连接，则，从而，所以，D正确． 3、 填空题 12、 13、【详解】因为，故，而， 故，故，故，故， 故，故.而， 故当时，；当时，； 当时，；故，故. 14【答案】 【分析】利用直观图以及三棱锥的性质构造正方体求得外接球的半径R，即可得出外接球的表面积. 【详解】因为，，所以，， 过点P作平面于点D，则，由，可知平分， 设与的交点为O，则， 所以，所以四边形是正方形，故可将此三棱锥补形成如图所示的正方体， 则该正方体的体对角线即为三棱锥外接球的一条直径， 设该外接球的半径为R，则，即，则其表面积为.故答案为： 4、 解答题 15、【详解】（1） ， 由，，得， 所以函数的单调递增区间为，， 令，，解得，所以函数的对称轴方程为，. （2）由（1）知， 当时，则当即时函数取得最大值， 又恰是函数在上的最大值，且为锐角，可得， 由余弦定理可得，解得或， 因为，所以，则，所以三角形的面积.所以三角形的面积为. 16、【详解】（1）设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. （2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ，， ， 故. （3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为，可能的取值为0，1，2，3， 则，， ，， 则． 17、【详解】（1） 如图，取的中点，连接， 因为为等腰三角形，点为的中点，所以， 因为四边形为菱形，所以，所以， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以，进而，又，平面， 所以平面，又平面，所以，即. （2）（i）如图， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，二面角的大小为，所以， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，则，， 所以，所以，又平面，所以平面. （ⅱ）由（i），，设平面CGF的法向量为， 则，令，则，所以， 所以，所以平面CGF与平面PCD夹角的正弦值为． 18、【解】（1）由题设的离心率为， …………………………1分 右焦点，即为的焦点， 所以，所以， ……………………………2分 综上，椭圆的离心率，抛物线； ……………………………3分 （2）由题设，知，联立，则， …………5分 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. …………7分 （3）  依题意，若直线斜率为0，则，此时……8分 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且，则，，所以，…………………10分 联立与，得，且， 则，，所以， ……………12分 所以 ，而，即等号不成立， ……………15分 结合对勾函数性质知：在上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. ……………17分 19、【详解】（1）时，令，，.......................................1 当时，，单调递减;当时，，单调递增，.....................................2 所以，所以恒成立当且仅当时等号成立 令，得，即恒成立当且仅当时等号成立， 所以，由于等号不能同时取到，所以，即............................4 （2）等价于，即， 因为，，所以，由定义域知， 又因为在上单调递增，所以，，................................................6 令，的零点即为的零点.因为， 当时，，单调递减;当时，，单调递增. 所以，........................................................................................8 当时，因为，所以无零点，即无零点; 当时，因为，当且仅当时等号成立， 所以恰有一个零点，即恰有一个点;..........................................................10 当时，，，，且， 由于函数图像连续不间断，函数零点存在性定理， 存在，，使得， 结合单调性，恰有两个零点，即恰有两个零点. 综上所述，当时，无零点;当时，恰有一个零点; 当时，恰有两个零点.................................................................................12 （3）由知，的零点即为的零点，，，2时命题成立; 当时，恰有两个零点，设为，，不妨设， 令，则，因为，所以在上单调递增，.......................................................13 因为，所以，则， 又因为，，在上单调递增， 所以，，所以，.....................15 所以，， ，，4，5时命题成立; 令，，在上单调递减， 又因为，所以当时，，所以，， 当时，， 综上所述，.........................................................................17 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 高2026届第一次模拟数学 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用 r 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C][D] 戡 麻 4[A]B][C][D] 8[A]B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A]B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 氧 12 13. 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E 、E B F (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）