精品解析：重庆市永川中学校2026届高考前第一次模拟考试数学试题

高2026届高考前第一次模拟考试（数学） 命题人：徐兵 王黄 审题人：徐兵 王黄 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分 1. 已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. “”是“为幂函数”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前20项和为120 11. （多选）如图，已知棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（    ） A. 曲线的长度为 B. 存在，使得平面 C. D. 当与只有一个公共点时， 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为______ 13. 已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为______ 14. 如图1，在三棱锥中，，点P到平面的距离为2，且点P在平面内的射影与点C在直线的两侧.如图2，是底面在斜二测画法下的直观图（其中A与对应，B与对应），，则三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题 15. 已知向量，，设函数． （1）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； （2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 16. 小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. （1）求小张周日打羽毛球的概率； （2）若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； （3）若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 17. 如图，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成的，其中，，．现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥，如图（2）所示． （1）求证：． （2）如图（2），若二面角的大小为，点为的重心，点在线段上，且． （i）求证：平面； （ii）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． （1）求椭圆的离心率及抛物线的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； （3）四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 19. 函数 （1）时，证明：； （2）讨论函数的零点个数； （3）当时，记所有零点之和为若无零点则，证明：参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高考前第一次模拟考试（数学） 命题人：徐兵 王黄 审题人：徐兵 王黄 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分 1. 已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 2. “”是“为幂函数”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的定义求出的值，再由充分必要条件判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 3. 对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由图1和图2可得，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以，所以，故B正确； 因为图1的数据点比图2的更集中，所以， 所以，，故A错误，C正确； ，故D正确. 4. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，或，进而可得. 【详解】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 5. 若分别为定义在上的奇函数、偶函数，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到为偶函数，利用奇偶性定义判断各项对应函数的奇偶性，即可得. 【详解】由题意，在上且恒成立， 若为奇函数或非奇非偶函数，则任意奇函数不能保证即恒成立， 若为偶函数，则，此时对于任意奇函数都有，即恒成立， 所以为偶函数， A，且定义域为，为非奇非偶函数， B，且定义域为，为偶函数， C，且定义域为，为奇函数， D，且定义域为，为非奇非偶函数. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分别用表示，结合二倍角、两角和差余弦公式可化简整理得到结果. 【详解】. 7. 在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 8. 已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是，又点，则，可得，可得的取值范围. 【详解】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域， 又点，其到原点的距离为，则， 所以， 又. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据条件判断，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小. 【详解】由条件可知，，则，故A正确； ，故B正确； ，，所以，故C错误； 设，为增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. 10. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前20项和为120 【答案】AB 【解析】 【分析】根据递推关系，代入数据，整理变形，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 则 ，故C错误； 对于D，数列的前20项的和为， 所以 ，故D错误． 11. （多选）如图，已知棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，为棱上一点，动点在线段上，动点在正方形内及其边界上，且．记点的轨迹为曲线，则（    ） A. 曲线的长度为 B. 存在，使得平面 C. D. 当与只有一个公共点时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可得的轨迹是以为圆心，为半径的圆的四分之一，即可根据弧长公式求解判断A；当取与的交点，取点，根据线线平行即可求解B；利用线面平行的性质，结合等体积法即可求解C；根据直线与圆相切，即可利用锐角三角函数求解D. 【详解】如图1，连接，由于平面，平面，故， 因为，所以， 又，从而．故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的四分之一，记为. 对于A，的长度为，故A错误； 对于B，如图2，若取与的交点，取点， 此时易知，平面，平面，故平面，故B正确； 对于C，由于分别是棱的中点，则， 且，故，平面，平面， 故平面，故到平面的距离与到平面的距离相等， 所以，故C正确； 对于D，与只有一个公共点即直线与相切， 如图3，记切点为，连接，则，从而， 则，所以，故D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为______ 【答案】 【解析】 【详解】复数为虚数 虚部； 为纯虚数 实部且虚部. 已知有3种取法，有2种取法，要求为虚数，即， 可任选集合中的数，共种等可能情况； 其中满足为纯虚数的情况只有： ，共种情况. 因此由条件概率公式可得. 13. 已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为______ 【答案】##0.5 【解析】 【详解】因为，故，而， 故，故，故，故， 故，故.而， 故当时，；当时，； 当时，；故 ， 计算得，故. 14. 如图1，在三棱锥中，，点P到平面的距离为2，且点P在平面内的射影与点C在直线的两侧.如图2，是底面在斜二测画法下的直观图（其中A与对应，B与对应），，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用直观图以及三棱锥的性质构造正方体求得外接球的半径R，即可得出外接球的表面积. 【详解】因为，， 所以，， 过点P作平面于点D，则， 由，可知平分， 设与的交点为O，则， 所以，所以四边形是正方形， 故可将此三棱锥补形成如图所示的正方体， 则该正方体的体对角线即为三棱锥外接球的一条直径， 设该外接球的半径为R，则，即， 则其表面积为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知向量，，设函数． （1）求函数的单调递增区间及其图象的对称轴方程； （2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C对应的三边长，，，，且恰是函数在上的最大值，求三角形ABC的面积． 【答案】（1）单调递增区间为，，对称轴方程为， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积的运算律和坐标表示及三角函数的二倍角公式和辅助角公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先利用正弦函数的性质求出角，代入余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ， 由，，得， 所以函数的单调递增区间为，， 令，，解得， 所以函数的对称轴方程为，. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，则当即时函数取得最大值， 又恰是函数在上的最大值，且为锐角，可得， 由余弦定理可得，解得或， 因为，所以，则， 所以三角形的面积. 所以三角形的面积为. 16. 小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. （1）求小张周日打羽毛球的概率； （2）若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； （3）若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】（1）0.28 （2）0.352 （3）1.2． 【解析】 【小问1详解】 设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. 【小问2详解】 设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. 【小问3详解】 根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 17. 如图，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成的，其中，，．现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥，如图（2）所示． （1）求证：． （2）如图（2），若二面角的大小为，点为的重心，点在线段上，且． （i）求证：平面； （ii）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面即可证明； （2）（i）以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及，利用向量法即可证明；（ii）求出平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 如图， 取的中点，连接， 因为为等腰三角形，点为的中点，所以， 因为四边形为菱形， 所以，所以， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以，进而， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以，即. 【小问2详解】 （i）如图， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，二面角的大小为，所以， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. （ⅱ）由（i），， 设平面CGF的法向量为， 则，令，则，， 所以， 所以， 所以平面CGF与平面PCD夹角的正弦值为． 18. 已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． （1）求椭圆的离心率及抛物线的方程； （2）若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； （3）四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）椭圆的离心率，抛物线； （2）； （3）存在，最小面积为8. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程写出离心率和右焦点坐标，依题意得，可得抛物线方程； （2）由题设，联立椭圆并应用韦达定理得，进而有，即可得中点坐标； （3）讨论直线的斜率，斜率存在时，设直线为，则直线为，分别联立椭圆、抛物线，应用韦达定理及弦长公式、三角形面积公式得到关于的表达式，即可得结论. 【小问1详解】 由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； 【小问2详解】 由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. 【小问3详解】 依题意，若直线斜率为0，则，此时； 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且， 则，，所以， 联立与，得，且， 则，，所以， 所以 ，而，即等号不成立， 结合对勾函数性质知：在上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. 19. 函数 （1）时，证明：； （2）讨论函数的零点个数； （3）当时，记所有零点之和为若无零点则，证明：参考数据： 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出函数解析式，令，求出其导数，得到函数的单调区间，从而知道最小值，然后得到，得到，从而证明； （2）由得到，因为在上单调递增，所以，令，的零点即为的零点.对求导，从而知道的单调区间，然后得到的最小值，讨论与的关系，得到最小值与0的关系，然后知道函数零点个数; （3）由（2）的结论知的零点即为的零点，分类讨论，得到时，不等式成立. 时，设，为恰有两个零点，设，令，求导数，得到函数的单调性，从而得到，则，由函数单调性得到，从而得到，即得到，分别取，代入后不等式成立.再设函数，求其导数后得到函数在区间上的单调性，从而得到，然后当时，列出不等式，然后数列求和即可得证. 【小问1详解】 时， 令，， 当时，，单调递减;当时，，单调递增， 所以，所以恒成立当且仅当时等号成立 令，得，即恒成立当且仅当时等号成立， 所以，由于等号不能同时取到， 所以，即 【小问2详解】 等价于，即， 因为，，所以，由定义域知， 又因为在上单调递增，所以，， 令，的零点即为的零点. 因为， 当时，，单调递减;当时，，单调递增. 所以， 当时，因为，所以无零点，即无零点; 当时，因为，当且仅当时等号成立， 所以恰有一个零点，即恰有一个零点; 当时，，，，且， 由于函数图像连续不间断，函数零点存在性定理， 存在，，使得， 结合单调性，恰有两个零点，即恰有两个零点. 综上所述，当时，无零点; 当时，恰有一个零点; 当时，恰有两个零点. 【小问3详解】 由知，的零点即为的零点，，，2时命题成立; 当时，恰有两个零点，设为，，不妨设， 令，则， 因为，所以在上单调递增， 因为，所以，则， 又因为，，在上单调递增， 所以，， 所以， 所以，， ，，4，5时命题成立; 令，，在上单调递减， 又因为，所以当时，， 所以，， 当时，， 综上所述， 【点睛】方法点睛，函数零点个数问题转化为求方程解的个数问题.再利用方程的特殊性建立新的函数，利用函数与方程的关系进行等价转换.再由函数的单调性和函数最值得到函数零点个数，从而知道函数零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $