精品解析：吉林省长春市 德惠市第三中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度第二学期期中测试卷 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 是大气压中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，把直线沿轴向上平移2个单位后，所得直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平行四边形相邻两边的长分别是，则它的周长是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 6. 如图，在中，，，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 在四边形中，对角线与相交于点，给出六组条件：①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，．能判定此四边形是平行四边形的有（　　）组． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 如图，点A在双曲线上，过点A作轴，交双曲线于点，点、都在轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若分式的值等于0，则a的值为______． 10. 如图，为估计池塘岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA、OB的中点M、N，测得MN=40m，则A、B两点间的距离是________m. 11. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，中点A、C的坐标分别为、，点B在第四象限，点D在y轴上，则点B的坐标为__________． 12. 若方程有增根，则的值是__________． 13. 直线和直线相交于点，则关于的方程组的解是_____． 14. 如图，点是直线上一动点，当线段最短时，的长为______． 三、解答题（共78分） 15. 计算：； 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 解方程： 18. 为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km2的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积． 19. 如图，在中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形； （2）在图②中以、为顶点画一个面积为6的平行四边形； （3）在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外） 21. 某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示： 类型 进价（元/台） 售价（元/台） 甲 2300 2800 乙 3300 4000 （1）若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台； （2）若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润． 22. 某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分)与费用y(元)之间的函数关系如图所示． (1)有月租的收费方式是________(填“①”或“②”)，月租费是________元； (2)分别求出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式； (3)请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议． 23. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 24. 在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． （1）当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） （2）在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； （3）点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中测试卷 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0． 根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得x的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选A． 2. 是大气压中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】=， 故选：D． 【点睛】此题考查了科学记数法，注意n的值的确定方法：当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 3. 在平面直角坐标系中，把直线沿轴向上平移2个单位后，所得直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移法则“上加下减”可得出平移后的解析式． 【详解】解：直线沿轴向上平移2个单位后的解析式为：y=2x-3+2，即y=2x-1． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象平移问题，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解决此题的关键． 4. 已知平行四边形相邻两边的长分别是，则它的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，计算周长即可． 【详解】解：∵平行四边形对边相等，相邻两边长分别是和， ∴平行四边形的周长为． 5. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，并且证明是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，进而推出，则有，再利用勾股定理逆定理推出，计算得到，最后利用图形面积的等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 6. 如图，在中，，，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理等，确定各角之间的数量关系是解题的关键． 根据等腰三角形的性质求出，再根据平行四边形的性质求出，进而求出，最后根据三角形外角定理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 在四边形中，对角线与相交于点，给出六组条件：①，；②，；③，；④，；⑤，；⑥，．能判定此四边形是平行四边形的有（　　）组． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可． 【详解】解：如图， ①由“，”可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形； ②由“，”可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形； ③由“，”可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形； ④由“，”可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形； ⑤由“，”可知，四边形的两组对边相等，则该四边形是平行四边形； ⑥由可知，由，可得，可证，可得四边形是平行四边形， 则能判定此四边形是平行四边形的有5组， 故选：A． 8. 如图，点A在双曲线上，过点A作轴，交双曲线于点，点、都在轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由轴可知，A、B两点纵坐标相等，且都设为b，根据点A在双曲线，B在双曲线上，求得，而的边上高为b，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵点A在双曲线上，B在双曲线上，且轴， ∴A、B两点纵坐标相等，且都设为b， 则，， ∴， 故的边上高为b， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，解决问题的关键是由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，根据平行四边形的面积公式计算． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若分式的值等于0，则a的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，分式值为0时，分子为0，分母不能为0，由此可解． 【详解】解：由题意知，，， 解得， 故答案为：3． 10. 如图，为估计池塘岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA、OB的中点M、N，测得MN=40m，则A、B两点间的距离是________m. 【答案】80 【解析】 【分析】根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线， ∴MN=AB， ∴AB=2MN=2×40=80(m)， 故答案为80． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形中位线定理的内容是解题的关键. 11. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，中点A、C的坐标分别为、，点B在第四象限，点D在y轴上，则点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、平行四边形的性质，先根据四边形是平行四边形得出轴，结合点A、C的坐标分别为、，点B在第四象限，点D在y轴上，得出以及，所以，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形． ∴轴， ∵点A为， ∴， ∵点B在第四象限，点D在y轴上, C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 12. 若方程有增根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 13. 直线和直线相交于点，则关于的方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组的关系． 根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两条直线交点的坐标． 【详解】解：∵直线和直线相交于点， ∴该点的坐标同时满足两个方程， 因此方程组的解是． 故答案为：． 14. 如图，点是直线上一动点，当线段最短时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线解析式求出点A、B的坐标，再根据勾股定理求出AB的长度，根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，利用三角形的面积列式即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得， ∴点A、B的坐标是，， ∴， 根据垂线段最短的性质，时，最短，如点所示 此时，， 即， 解得，即． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了一次函数的问题，主要利用勾股定理，垂线段最短的性质，根据直线解析式求出点A、B的坐标是解题的关键． 三、解答题（共78分） 15. 计算：； 【答案】2 【解析】 【分析】首先计算有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再计算除法，化简后将x的值代入计算； 【详解】解：， ， ， 当时，原式． 【点睛】此题考查分式的化简求值，依据分式的混合运算法则，正确化简分式是解题的关键． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 18. 为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km2的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积． 【答案】10 km² 【解析】 【分析】根据题意可设原计划平均每月的绿化面积为xkm²，然后根据他们用时的关系列分式方程可求解． 【详解】解：设原计划平均每月的绿化面积为xkm²． 根据题意，得 解得:x=10 经检验，x=10是原方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每月的绿化面积为10km²． 考点：分式方程的应用 19. 如图，在中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，由，，分别是，，的中点，则，，根据平行四边形的判定方法即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，，分别是，，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、均在格点上．只用没有刻度的直尺按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以、为顶点画一个面积为4的平行四边形； （2）在图②中以、为顶点画一个面积为6的平行四边形； （3）在图③中以、为顶点画一个面积为10的平行四边形．（正方形除外） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图． （1）利用网格和平行四边形的判定作图即可； （2）利用网格和平行四边形的判定作图即可； （3）利用网格和平行四边形的判定作图即可；． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 解：如图：即为所求（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：如图：即为所求． 21. 某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示： 类型 进价（元/台） 售价（元/台） 甲 2300 2800 乙 3300 4000 （1）若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台； （2）若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润． 【答案】（1）购进甲空调35台，购进乙空调15台 （2）购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用： （1）设购进甲空调x台，购进乙空调y台，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台，根据题意，列出不等式组，求出的取值范围，设获得的总利润为W元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台． 根据题意，得， 解得． 答：购进甲空调35台，购进乙空调15台． 【小问2详解】 设购进甲空调m台，则购进乙空调台． 根据题意，得， 解得． 设获得的总利润为W元，则， ∵， ∴W随m的减小而增大， ∵， ∴当时，W的值最大，， （台）． 答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元． 22. 某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x(分)与费用y(元)之间的函数关系如图所示． (1)有月租的收费方式是________(填“①”或“②”)，月租费是________元； (2)分别求出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式； (3)请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议． 【答案】(1)①，30；（2）y1＝0.1x＋30，y2＝0.2x；（3）当通话时间少于300分钟时，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间为300分钟时，选择通话方式①，②花费一样． 【解析】 【分析】（1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少； （2）根据图像经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可； （3）求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可． 【详解】解：（1）由图像可知：有月租的收费方式是①，月租费是30元； 故答案为：①，30 （2）设y1=k1x+30，y2=k2x，由题意得：将（500，80），（500，100）分别代入即可： 500k1+30=80， ∴k1=0.1， 500k2=100， ∴k2=0.2 故所求的解析式为：y1=0.1x+30；y2=0.2x； （3）当通讯时间相同时y1=y2，得0.2x=0.1x+30， 解得：x=300； 当x=300时，y=60． 故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠； 当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠； 当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠． 23. 如图，直线与双曲线相交于两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数，反比例函数 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求解函数解析式，图形面积的计算以及函数图象解不等式的解集，根据点与函数的关系可求解点的坐标与函数解析式，再观察图像得到函数的性质是解决本题的关键． （1）先将点代入中可求解m的值，再将点代入中可求解n的值，再将点A与点B代入中即可求解k与b的值； （2）先求出一次函数与y轴的交点，即点D，再根据即可求解； （3）不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值，观察函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴点， 将点与点代入中， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数， 令，则， ∴点， 又∵点，点， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象，当时， 不等式表示反比例函数图象位于一次函数图象上方的x的取值， ∴或． 24. 在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． （1）当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） （2）在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； （3）点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）秒 （3）或10或24． 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【小问1详解】 解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． 【小问3详解】 解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $