精品解析：吉林省长春市德惠市德惠市第三中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中测试 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国的k在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道的主要芯片为，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在第一象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 综合实践课上，爱动脑筋的锦润同学先画出，再利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图①～图③是他的作图过程．那么这位同学作出的图形是平行四边形的数学依据是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 8. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 10. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=____． 11. 如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为cm，则与之间满足的关系式是_______． 12. 若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是______． 13. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系______（用“<”连接）． 14. 如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 三、解答题（每小题10分，共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中－2<x≤2，且x是整数，请从中选取一个合适的x的值代入求值． 17. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．求排球的单价． 18. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的顶点都在格点上. （1）利用图①以AB为边画一个面积最大的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上； （2）利用图②以AB为边画一个面积为4的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上； （3）利用图③以AB为边画一个面积为4的菱形，且这个菱形的其他两个顶点在格点上． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点． （1）求对应的函数表达式． （2）过点B作轴于点P，求的面积． （3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． 21. 小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示． （1）______，______． （2）求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （3）当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间． 22. 【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________． 23. 如图，在矩形中，，，动点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C匀速运动，同时动点F从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点D匀速运动，当点F到达终点D时，点E也随之停止运动，以、为邻边构造平行四边形与矩形重叠部分的面积为S，点F的运动时间为t(秒） （1）当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ，当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ； （2）当点G与点D重合时，求t的值； （3）当以D、G、E、C为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出t的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与x轴相交于点，过点作平行于y轴的直线l，交直线于点D，点P是直线l上一动点，且点P不与点D重合，连结，设点P的纵坐标为m，的面积为S． （1）点A的坐标为______； （2）求k的值； （3）求S与m之间的函数关系式； （4）当时，以点B为直角顶点作等腰直角，直接写出点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中测试 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．对选项进行判断即可． 【详解】解：A. 是整式，不是分式； B. 是整式，不是分式； C. 是分式； D. 是整式，不是分式； 故选：C． 2. 中国的k在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道的主要芯片为，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选：B． 3. 若点在第一象限，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解： 在第一象限， ， ， 在第四象限． 故选：D． 4. 如图表示的是一次函数（、为常数，）的图象，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值． 观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A． 5. 如图，在中，、相交于点，若，，与的周长差为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角线互相平分是解题关键．由平行四边形可得，进而得到与的周长差为，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 的周长，的周长， 与的周长差为， ，， 与的周长差为， 故选：C． 6. 如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定、平行线的性质，由平行四边形的判定即可得出结论．熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：A． ，能使四边形成为平行四边形，故A选项正确，符合题意； B．，不能使四边形成为平行四边形，故B选项错误，不符合题意； C．，，不能使四边形成为平行四边形，故C选项错误，不符合题意； D．，，不能使四边形成为平行四边形，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 7. 综合实践课上，爱动脑筋的锦润同学先画出，再利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图①～图③是他的作图过程．那么这位同学作出的图形是平行四边形的数学依据是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．由组图过程可知，，，则对角线互相平分，即可判定． 【详解】解：图①作垂直平分线可得， 图②作相等线段可得， 图③连接四边形，由对角线互相平分可得边形为平行四边形． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，利用证明判断①，根据全等的性质，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点；判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，判断④，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故②正确； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示： ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是4， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点A． ∴；故④正确； 条件不足，无法得到点是的中点；故③错误； 故选C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 10. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB 又∵∠AOB=60° ∴△AOB是等边三角形． ∴AB=OA=AC=5， 故答案是：5． 11. 如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为，盘子摞在一起的厚度为cm，则与之间满足的关系式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及求一次函数表达式，解答本题的关键是读懂题意，根据图示找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解∶设解析式为 由题意得∶ 解得∶ ∴解析式为 故答案为：． 12. 若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质与不等式组的综合，由一次函数的性质列出不等式组是解题的关键． 根据图象不经过第三象限可确定满足的条件，列出不等式组即可求出k的取值范围． 【详解】解：根据题意得 解不等式①得 解不等式②得 所以该不等式组的解集为． 故答案为：． 13. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系______（用“<”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． ， 、两点在第一象限，点在第三象限， 则． 故答案为． 14. 如图，在矩形中，，．点E、F分别在边、上（点E不与A、D重合）且，于点P，交于点Q，于点M，交于点N．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．由勾股定理判断①，由反证法判断②，由矩形定义判断③，由三角形全等判断④即可． 【详解】解：①，故①正确； ②若， ∵，，， ∴， 又∵是矩形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴，与已知矛盾，故②错误； ③∵， ∴是矩形，故③正确； ④∵，， ∴， 在矩形中，，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，设、分别交于点J、K， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴平分四边形的周长， 故④正确； 正确的序号为①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（每小题10分，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂的性质，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的性质是解本题的关键．根据乘方运算、负整数指数幂、零指数幂的性质计算即可． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中－2<x≤2，且x是整数，请从中选取一个合适的x的值代入求值． 【答案】，x＝2时，原式=． 【解析】 【分析】根据分式的加减运算以及乘除法运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ． ∵－2<x≤2，且x是整数， ∴x取－1，0，1，2． 又∵，且， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 17. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．求排球的单价． 【答案】排球的单价是65元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量、总价、单价的关系，结合用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并经检验即可． 【详解】解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：排球的单价是65元． 18. 如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接，交于点O． 在中，，． 又， ． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】连接，交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论． 【详解】略 19. 图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的顶点都在格点上. （1）利用图①以AB为边画一个面积最大的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上； （2）利用图②以AB为边画一个面积为4的平行四边形，且这个平行四边形的其他两个顶点在格点上； （3）利用图③以AB为边画一个面积为4的菱形，且这个菱形的其他两个顶点在格点上． 【答案】 （1）解：如图①.四边形ABDE即为所求. （2）解：知图②.四边形ABHF即为所求. （3）解：如围③.四边形ABCK即为所求. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质画出图形； （2）先根据平行四边形的面积公式确定出AB的邻边，即可画出图形； （3）根据菱形的轴对称性画出图形. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图．熟记勾股定理，平行四边形的判定与性质以及菱形的判定与性质是解题的关键所在． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于、两点． （1）求对应的函数表达式． （2）过点B作轴于点P，求的面积． （3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）直线y1的表达式为：，双曲线y2的表达式为：； （2）12； （3）或． 【解析】 【分析】（1）把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值；把，两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）不等式的解集就是双曲线的图象在一次函数的图象的下方对应的的取值． 【小问1详解】 解：（1）直线与双曲线相交于、两点， ，解得：， 双曲线y2的表达式为：， 把代入，得：，解得：， ， 把和代入得：， 解得：， 直线y1的表达式为：； 【小问2详解】 ，， ， ； 【小问3详解】 观察图象，关于的不等式的解集是或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解答此题的关键． 21. 小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示． （1）______，______． （2）求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （3）当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关整式点是解题的关键． （1）设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，得到，求出，继而得到； （2）设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，将代入得，解得，得到； （3）根据题意得，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为 由函数图象得， 解得， 小明慢跑过程中与之间的函数关系式为， 当时， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为， 将代入得， 解得， 父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：根据题意得， 解得， 小明慢跑的时间为． 22. 【感知】如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）； 【探究】如图，平行四边形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：； 【应用】连接图中的，其它条件不变，如图，若，的面积为，则四边形的面积为__________． 【答案】 探究：证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中 ， ， 应用：12 【解析】 【分析】本题考查行四边形的性质、三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． [探究]由平行四边形的性质得到，所以，从而判定，得证； [应用]因为，所以．由可求，由平行四边形性质得，可求，同理可求，则． 【详解】探究：略 应用：解：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理，， ． 故答案为：． 23. 如图，在矩形中，，，动点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点C匀速运动，同时动点F从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点D匀速运动，当点F到达终点D时，点E也随之停止运动，以、为邻边构造平行四边形与矩形重叠部分的面积为S，点F的运动时间为t(秒） （1）当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ，当时，平行四边形与矩形重叠部分的面积S为 ； （2）当点G与点D重合时，求t的值； （3）当以D、G、E、C为顶点的四边形恰好是平行四边形时，直接写出t的值． 【答案】（1）2，12 （2） （3）2或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，学会用方程的思想思考问题和分类讨论思想是解题的关键． （1）当时，得出和的长，进而利用矩形的面积公式解答即可；当时，得出和的长，进而利用平行四边形的面积公式解答即可； （2）根据列出方程求解即可解决问题； （3）根据以、、、为顶点的四边形是平行四边形，得出，进而得出四边形是矩形，利用矩形的性质可求出一个值；另一种情形：当与相交时，利用平行四边形的性质可求出另一个值． 【小问1详解】 解：当时，，， 在矩形中，，， ， 平行四边形与矩形重叠部分的面积 平行四边形的面积 ； 当时，，， 如图： 在矩形中，，， 平行四边形与矩形重叠部分的面积 平行四边形的面积 ； 【小问2详解】 解：当点与点重合时，， ， 由题意有：， 即：， 解得； 【小问3详解】 解：如图， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， ∵， 平行四边形是矩形， 点与点重合， ， ； 另一种情形： 如图，当与相交时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 即， 当以、、、为顶点的四边形恰好是平行四边形时， 或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴相交于点A，与x轴相交于点，过点作平行于y轴的直线l，交直线于点D，点P是直线l上一动点，且点P不与点D重合，连结，设点P的纵坐标为m，的面积为S． （1）点A的坐标为______； （2）求k的值； （3）求S与m之间的函数关系式； （4）当时，以点B为直角顶点作等腰直角，直接写出点C的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）满足条件的点C坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）求出当时，，即可得到点A的坐标； （2）将点代入直线解析式，即可求出k的值； （3）先求出交点D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可得到函数解析式； （4）利用（3）的结论可求得或，分两种情况讨论：当点P的坐标为时，过点作轴于点F，易得四边形为矩形，此时可得；同理可得；当点P的坐标为时，过点作，交于点M，过点作轴于点 N，易证，得到，求出；同理可证：进而得到． 【小问1详解】 当时，， ∴点A的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 将点代入， 得， ∴； 【小问3详解】 由，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P不与点D重合， ∴； 【小问4详解】 当时，， ∴或， ∴或， 当点P的坐标为时，如图，过点作轴于点F， 此时， ∴是等腰直角三角形，， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴ ∴； ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴； 当点P的坐标为时，如图，过点作，交于点M，过点作轴于点 N， 此时， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴, ∴； 同理可证： ∴ ∴ 综上，满足条件的点C坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是学会利用分类讨论和数形结合思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $