21.3.2 菱形 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦菱形的概念、性质、判定及应用，通过“边的特殊化”对比矩形（角的特殊化），以“平行四边形→邻边相等→菱形”的转化关系搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过折叠、测量等探究活动培养几何直观（数学眼光），性质判定的推理证明强化推理意识（数学思维），结合故宫窗棂图案等实例提升应用意识（数学语言）。学生通过动手探究深化理解，教师可借助清晰结构高效教学。

21.3.2 菱 形 平行四边形 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决计算或证明问题.（难点） 下面的图形中有你熟悉的吗？ 导入新知 探究新知 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形. 有一个角是直角 思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 菱形 邻边相等 定义： 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 归纳 有一组邻边相等的平行四边形. 探究新知 活动 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题: 问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 思考：从哪些方面考虑它的特殊性质呢？ (1) 分小组讨论； (2) 然后发表看法. A B C D O 边特殊化 A B C O D 活动：准备素材：直尺、量角器、课本等. (1) 请同学们以小组为单位，测量书本中菱形的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. 例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O, 且AB=5,AO=4,BO=3. 求证： ABCD是菱形. A B C D O 证明：∵AB=5,AO=4,BO=3, ∴ . ∴△OAB是直角三角形. ∴AC⊥BD. ∴ ABCD是菱形. 例题精析 　 1. 如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若添加一个条件,可推出▱ABCD是菱形,则该条件可以是 (　 　) 　 A. AB=AC　 　B. AC=BD　 C. AC⊥BD　　D. AB⊥AC C 对应训练 A B C D O 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外还有平行四边形所没有的特殊性质. 平行四边形的性质 菱形的特殊性质 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：互相平分. 轴对称：是轴对称图形，对称轴是每条对角线所在的直线. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 练 习 1.菱形不具有的性质是（ ） A.四条边都相等 B.对角线相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 2.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若∠ADB=32°，则∠DCE的度数为_______. B 64° 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 13 四条边都相等的四边形是菱形. AB=BC=CD=AD 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 菱形的判定定理： 四边形ABCD A B C D 14 2．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠DAF． ∵AD是△ABC的一条角平分线， ∴∠EAD＝∠DAF． ∴∠EDA＝∠EAD， ∴EA＝ED． ∴四边形AEDF是菱形． 3．已知：如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1．求证：□ ABCD是菱形． 证明：在△AOB中， ∵AB＝，OA＝2，OB＝1， ∴AB²＝OA²＋OB²． ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角． ∴AC⊥BD． ∴□ ABCD是菱形． 1. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积. 对应训练 【选自教材P57，练习第2题】 A C B D O 解：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO,BO=DO且AC⊥BD. ∵AC=8,BD=6,∴AO=4,BO=3. 在Rt△AOB中，由勾股定理得 AB= =5, ∴菱形的周长为20，菱形的面积为24. 2. 小雨在参观故宫博物院时,被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引,他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD(如图)．若AB的长度为2,求菱形ABCD的面积． 对应训练 B D A C 60° A B C E D F O 理由：设 AD，EF 相交于点 O . 由折叠可知，∠EAO = ∠FAO，EF 垂直平分AD . ∴∠AOE = ∠AOF = 90°，AE = DE，AF = DF . ∴△AEO≌△AFO（ASA）. ∴AE = AF . ∴AE = AF = DE = DF . ∴四边形 AEDF 为菱形. 在△AEO 和△AFO 中， ∠EAO = ∠FAO， AO = AO， ∠AOE = ∠AOF， 4.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF 于点O，交BC于点E，连接EF. （1）求证：四边形ABEF是菱形； A B E C D F O 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠EBF=∠AFB． ∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF． ∵AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°． 又BO=BO，∴△ABO≌△EBO(ASA)，∴AB=BE．∴BE=AF． 又BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形． 又AB=AF，∴四边形ABEF是菱形． 例题精析 解：∵四边形ABCD 为菱形, ∴AB=CB,∠BAM=∠BCN ,∠BAE=∠DAE=∠DCF=∠BCF. ∵BM⊥AD ,BN⊥CD ,∴∠AMB=∠CNB=90°. ∴∠BAM＋∠ABE=90°,∠BCN+∠CBF=90°, ∴∠ABE=∠CBF. 在△ABE和△CBF中, ∴△ABE≌△CBF(ASA),∴AE=CF． ∠BAE=∠BCF AB=CB ∠ABE=∠CBF A C B D E F M N 1. 已知：如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD 交于点O,∠BAD=120°,AC=4,则该菱形的面积是 . 对应训练 A B C D O 练习7 如图所示,在平行四边形 中,邻边 , 上的高相等,即 . (1)求证：四边形 是菱形； (2)若 , ,求平行四边形 的面积. $