精品解析：山东菏泽市定陶区冉堌镇中学2025-2026学年八年级下学期数学第一次月考试题

2025-2026年八下数学第一次月考试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】B 【解析】 【详解】A．对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误； B．矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误； D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误； 故选B． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质． 2. 如图，在中，，点为垂足，如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由▱ABCD中，∠D=55°，根据平行四边形的对角相等，∠B的度数，又由CE⊥AB，即可求得∠BCE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D=55°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC=90°， ∴∠BCE=90°-∠B=35°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 3. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， ∵点E为AC的中点， ∴DE=CE=AC=5， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 4. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( ) A. 矩形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 任意四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证． 【详解】顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形， 如图所示： 已知：E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC=BD， 求证：四边形EFGH为菱形， 证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点， ∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线， ∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=FG=BD， ∴四边形EFGH为平行四边形， 又EF为△ABC的中位线， ∴EF=AC，又EH=BD，且AC=BD， ∴EF=EH， ∴四边形EFGH为菱形． 故选C 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，以及菱形的判定，利用了数形结合及等量代换的思想，灵活运用三角形中位线定理是解本题的关键． 5. 如图，正方形的对角线，相交于点O，，则此正方形的面积为( ) A. B. 12 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形的对角线，相交于点O，， ∴，， ∴在中，， ∴正方形的面积为：． 故选：C 【点睛】本题考查正方形的性质和勾股定理，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键． 6. ，则的值为( ) A. －6 B. 9 C. 6 D. －9 【答案】B 【解析】 【分析】根据非负数的性质，得x−1＝0，y＋3＝0．求得x，y的值代入计算． 【详解】解：∵， ∴x−1＝0，y＋3＝0， ∴x＝1，y＝−3． ∴（−xy）2＝9． 故选B． 【点睛】此题考查了非负数的性质：几个非负数的和是0，则这几个非负数同时为0．初中所学的非负数的形式主要有：绝对值、二次根式、平方（偶次方）． 7. 如图所示，点E为内一点，连接，，，，，已知 的面积为2，的面积为10，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，设和的和边上的高分别为和，根据平行四边形的性质可得，，进而可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 设和的和边上的高分别为和， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．三角形的面积，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 8. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键． 9. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC＝BC＝3，即可得出结果． 【详解】连接MC，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，∠DBC＝45°， ∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F， ∴四边形MECF为矩形， ∴EF＝MC， 当MC⊥BD时，MC取得最小值， 此时△BCM是等腰直角三角形， ∴MC＝BC＝＝3， ∴EF的最小值为3. 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 10. 如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3-3t=t；当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3t-3=t；解方程即可． 【详解】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3-3t=t， 解得t=； 当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3t-3=t， 解得t=， 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，灵活选择判定方法，合理分类是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 如图，在中，于点E，于点F．若，则___________． 【答案】##62度 【解析】 【分析】根据四边形内角和可得∠C的度数，再根据平行四边形的性质即可得∠B的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及四边形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 12. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____． 【答案】30°或150° 【解析】 【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解即可得． 【详解】如图1， ∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， 则； 如图2， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， ∴DE=DC， ∴∠CED=∠ECD， ∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°， ∴∠CED=∠ECD=×（180°﹣30°）=75°， ∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°， 故答案为30°或150°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质、运用分类讨论思想画出符合题意的图形并准确识图是解题的关键． 13. 如图，在中，是边的中点，平分，于点，若，，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】延长BP交AC于D，利用角边角定理求证△ABP≌△ADP，再利用M是BC中点，求证PM是△BDC的中位线，即可求出MP的长． 【详解】解：延长与相交于， ∵，，， ∴， ∴AD=AB=12，BP=PD， ∵AC=22， ∴CD=AC-AD=10， 又∵是边的中点， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解答本题的关键． 14. 如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， 是的中线， ， ， ， 在中，，点E是的中点，， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．若AB＝10，则EF的长是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出AD=5，证明DE是△ABC中位线，推出∠DEA=∠FCE=90°，CF=ED，再证明△AED≌△ECF即可得到EF=AD=5． 【详解】解：∵D、E分别是AB，AC的中点， ∴，DE是△ACB的中位线，AE=CE ∴，， ∵∠ACB=90°，， ∴∠DEA=∠FCE=90°，CF=ED， ∴△AED≌△ECF（SAS）， ∴EF=AD=5． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 16. 如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝___． 【答案】4.5 【解析】 【分析】作辅助线如图所示，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM=∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM=GM．同理AN=DN，根据三角形中位线定理即可求得MN． 【详解】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D， ∵BM为∠ABC的平分线， ∴∠CBM=∠ABM， ∵BM⊥AG， ∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MGB+∠CBM=90°， ∴∠BAM=∠MGB， ∴△ABG为等腰三角形， ∴AM=GM．BG=AB=10， 同理AN=DN，CD=AC=6， ∴MN为△ADG的中位线， ∴MN=DG=（BC-BG+CD）=（BC-AB+AC）=（13-10+6）=4.5． 故答案为：4.5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点E、F分别是线段AB、CD的中点．求证：EF⊥CD． 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】连接DE、CE，根据E是AB中点，可得CE= AB，同理可得出DE=CE，再根据F是CD中点，等腰三角形的性质可得出结论. 【详解】证明：连接DE、CE， ∵△ABC中，∠ACB=90°，E是AB中点， ∴CE=AB， 同理可得，DE=AB， ∴DE=CE． ∵△CDE中，F是CD中点， ∴EF⊥CD． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质. 18. 在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线交于M，求证： （1）BH＝DE； （2）BH⊥DE． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可． 【小问1详解】 解：∵在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°， ∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH， 即∠BCH=∠DCE， 在△BCH和△DCE中， ， ∴△BCH≌△DCE（SAS）， ∴BH=DE； 【小问2详解】 解：∵由（1）知　△BCH≌△DCE ∴∠CBH＝∠EDC 如下图，设BH，CD交于点N， 则∠BNC＝∠DNH ∴∠CBH＋∠BNC＝∠EDC＋∠DNH＝90° ∴∠DNM=180°-90°＝90° ∴BH⊥DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 19. 如图，在中，点O是边上的一动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）说明； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并说明你的结论． （3）在（2）的前提下满足 ，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】（1）见解析 （2）当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形 （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键： （1）根据角平分线的性质得到，根据平行线得到，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论； （2）当O为中点时，结合（1）可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，邻边相等的矩形是正方形． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，都为等腰三角形， ∴． 【小问2详解】 解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形． 如图所示， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【小问3详解】 在（2）前提下，当的时，四边形是正方形．如图所示， ∵，，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：． 20. 先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？ 解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x＝1． 解答问题：已知y2，求xy的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数互为相反数，可得方程，根据解方程，可得x的值，再根据乘方运算，可得答案． 【详解】解：∵y2， ∴1﹣2x≥0，2x﹣1≤0， 解得x， 则y＝2， 所以，xy＝（）2． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，注意算术平方根的被开方数互为相反数时，被开方数相等等于零． 21. 如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，即可根据“”证明； （2）由，，根据三角形的中位线定理得，且，所以． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 证明：的对角线与交于点， ， 由（1）得， 是的中位线， ，且， ． 22. 观察下列各式：①，②；③，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：______； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：______； （3）请证明（2）中的结论． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式有关的规律题，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． （1）观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案． （2）观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子． （3）将化成，再进行完全平方公式因式分解，并开方即可． 【小问1详解】 解：根据规律，第④个等式为：． 【小问2详解】 解：根据规律，第的式子为：． 【小问3详解】 证明：∵， ∴． 23. 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点D，求证：； （2）如图2，中，，，求线段的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用定理证明，得到，，根据三角形中位线定理解答； （2）分别延长、交于点H，利用（1）的结论解答． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：分别延长、交于点H，如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 24. 如图，正方形的对角线和相交于点，又是正方形的一个顶点，交于点，交于点F． （1）求证：； （2）如果两个正方形的边长都为4，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质， （1）由题意得，又因为，可得，根据可证明全等； （2）由（1）得，从而有．据此解答． 【小问1详解】 证明：在正方形和中，，，， ，， ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 答：四边形的面积为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八下数学第一次月考试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 2. 如图，在中，，点为垂足，如果，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ） A. 20 B. 12 C. 14 D. 13 4. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( ) A. 矩形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 任意四边形 5. 如图，正方形的对角线，相交于点O，，则此正方形的面积为( ) A. B. 12 C. 18 D. 36 6. ，则的值为( ) A. －6 B. 9 C. 6 D. －9 7. 如图所示，点E为内一点，连接，，，，，已知 的面积为2，的面积为10，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 2 10. 如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或 二．填空题（共6小题） 11. 如图，在中，于点E，于点F．若，则___________． 12. 以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____． 13. 如图，在中，是边的中点，平分，于点，若，，则的长为______． 14. 如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．若AB＝10，则EF的长是_____． 16. 如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝___． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点E、F分别是线段AB、CD的中点．求证：EF⊥CD． 18. 在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线交于M，求证： （1）BH＝DE； （2）BH⊥DE． 19. 如图，在中，点O是边上的一动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）说明； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并说明你的结论． （3）在（2）的前提下满足 ，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 20. 先阅读所给材料，再解答下列问题：若与同时成立，求x的值？ 解：和都是算术平方根，故两者的被开方数x﹣1≥0，且1﹣x≥0，而x﹣1和1﹣x是互为相反数．两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即x﹣1＝0，1﹣x＝0，故x＝1． 解答问题：已知y2，求xy的值． 21. 如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： （1）； （2）． 22. 观察下列各式：①，②；③，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：______； （2）请用含的式子写出你猜想的规律：______； （3）请证明（2）中的结论． 23. 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点D，求证：； （2）如图2，中，，，求线段的长． 24. 如图，正方形的对角线和相交于点，又是正方形的一个顶点，交于点，交于点F． （1）求证：； （2）如果两个正方形的边长都为4，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $