第4讲 基本不等式 教案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦基本不等式核心考点，涵盖证明过程、最值求解（配凑法、常数代换法等）及实际应用，按“基础网络化-题型系统化-应用综合化”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题改编训练等环节，帮助学生突破取等条件分析、定值配凑等难点，体现复习的系统性与针对性。 教案采用分层题型剖析策略，如在“常数代换法”教学中，结合2026年模拟题引导学生将条件等式转化为“1”的代换模型，培养数学思维与运算能力。设置基础自测、能力训练、综合应用三级练习，配合即时反思评价，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

备课时间 第（ ）周星期（ ） 授课时间 第（ ）周星期（ ）1.4 基本不等式 课 题 总第 课时 教学 目标 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 课 型 复习课 关键内容 & 内容提要 T 方法&策略 反思&评价 1、 基础知识复习，知识网络化 基本不等式 2、 基础实战自测，题型基础化 1．判断题(对的打“√”或错的打“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　) (5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　　) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　　) 2.(苏教必修一P58例2改编)已知x>1,则x+的最小值为　　　　.  3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为　　　　.  4．(人教A必修一P46例3改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 3、 题型归纳剖析，考点系统化 考点一　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 例1 (1)已知0<x<2,则的最大值为　　　　.  (2)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________． 角度2　常数代换法 例2 (1)(2026·安徽师大附中模拟)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最小值为(　　) A.4 B.2 C. D. (2)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________． 角度3　消元法 例3 (2026·福州调研)已知5m2n2+n4=1,则m2+n2的最小值为(　　) A. B. C. D. (2)若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A. B. C. D. 角度4　齐次化法 例4 已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为　　　　.  训练1 (1)(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为(　　) A.6 B.9 C.4 D.8 (2)函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 （3）设x>0，y>0，xy＝x＋4y＋a，其中a为参数． (1)当a＝0时，求x＋y的最小值； (2)当a＝5时，求xy的最小值． 考点二　利用基本不等式求参数值或范围 例5 若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[5,+∞) B.(5,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,5) 训练5 已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y<m2-8m有解,则实数m的取值范围为　　　　.  考点三　利用基本不等式解决实际问题 例6 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 训练6 一艘轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃油费是每小时6元．其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每千米的费用总和最小时，该轮船的航行速度为__________千米/时． 4、 课堂归纳总结，作业精细化 板书设计 1.4 基本不等式 一、基础知识复习，知识网络化 1. 核心公式：重要不等式、基本不等式 2. 适用条件：一正、二定、三相等 3. 常用变形：和积互化、均值变式 二、基础自测摸底，习题实战化 易错点：忽略取等条件、配凑方式不当 三、题型归纳剖析，考点系统化 常规最值、条件最值、不等式证明 反思&评价 本节课聚焦基本不等式核心考点展开复习，着重强调使用前提与取等条件。课堂练习发现，学生熟记公式，但解题时常忽视限制条件，配凑定值的思路不够灵活。面对带约束条件的题型，变通解题能力偏弱。后续会多选取典型例题示范技巧，增设易错题对比训练，引导学生规范解题步骤，切实提升最值求解与论证解题能力。 参考答案 基本不等式 5、 基础实战自测，题型基础化 1．判断题(对的打“√”或错的打“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　) (3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　) (4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　) (5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　　) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　　) 【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2.(苏教必修一P58例2改编)已知x>1,则x+的最小值为　　　　.  【答案】3 【解析】x+=x-1++1≥2+1=3, 当且仅当x-1=,即x=2时等号成立. 3.(人教A必修一P58T5改编)若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最小值为　　　　.  【答案】9 【解析】由ab=a+b+3≥2+3,得ab-2-3≥0,解得≥3(≤-1舍去), 即ab≥9.当且仅当a=b=3时取等号. 4．(人教A必修一P46例3改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 【答案】25 【解析】设矩形的一边为x m， 则另一边为×(20－2x)＝(10－x) m， ∴y＝x(10－x)≤＝25， 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 6、 题型归纳剖析，考点系统化 考点一　利用基本不等式求最值 角度1　配凑法 例1 (1)已知0<x<2,则的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】因为0<x<2,所以x>0,1->0, 所以==×≤×=, 当且仅当=1-,即x=1时等号成立, 所以. (2)若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________． 【答案】2 【解析】∵x＞－4，∴x＋4＞0， ∴f(x)＝x＋＝x＋4＋－4≥2－4＝2， 当且仅当x＋4＝，即x＝－1时取等号． 故f(x)＝x＋的最小值为2. 角度2　常数代换法 例2 (1)(2026·安徽师大附中模拟)已知x>0,y>0,2x+y=2,则+的最小值为(　　) A.4 B.2 C. D. 【答案】A 【解析】由题可知x+=1, 所以+= =1+1++≥2+2=4, 当且仅当x=,y=1时取等号.故选A. (2)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________． 【答案】8 【解析】由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0. ∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8， 当且仅当x＝2y时等号成立． 角度3　消元法 例3 (2026·福州调研)已知5m2n2+n4=1,则m2+n2的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由5m2n2+n4=1,可得n≠0, 则m2=. m2+n2=≥×2=, 当且仅当4n2=, 即n2=时取等号, 即n2=,m2=时,m2+n2取最小值. 故选C. (2)若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】 【解析】因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝. 由即解得0<x<1. 所以x＋2y＝x＋＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号． 故x＋2y的最小值为. 角度4　齐次化法 例4 已知x>0,y>0,x+2y=1,则的最小值为　　　　.  【答案】8+4 【解析】由x+2y=1可得, = == =++8≥2+8=8+4, 当且仅当=,即x=y且x+2y=1时等号成立. 训练1 (1)(2025·金华调考)若a>0,b>0,且a+2b=ab,则2a+b的最小值为(　　) A.6 B.9 C.4 D.8 【答案】B 【解析】法一　由a+2b=ab得b=, 因为a>0,b>0,所以2a+b=2a+=2(a-2)++5≥2+5=9, 当且仅当a-2=, 即a=b=3时,等号成立. 法二　因为a>0,b>0,且a+2b=ab, 所以=+=1, 因为2a+b=(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=且a+2b=ab,即a=b=3时,等号成立, 所以2a+b的最小值为9.故选B. (2)函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B 【解析】因为x∈(-1,+∞),则x+1>0, 则f(x)=4x+=4(x+1)+-4≥2-4 =12-4=8, 当且仅当 即x=时,等号成立, 故函数f(x)=4x+,x∈(-1,+∞)的最小值为8. （3）设x>0，y>0，xy＝x＋4y＋a，其中a为参数． (1)当a＝0时，求x＋y的最小值； (2)当a＝5时，求xy的最小值． 【答案】(1)9 (2)25 【解析】 (1)当a＝0时，xy＝x＋4y，∵x>0，y>0，则＋＝1， ∴x＋y＝＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当x＝2y＝6时，等号成立，因此，x＋y的最小值为9. (2)∵a＝5，由xy＝x＋4y＋5可得y＝x＋5，∴y＝， ∵x>0，y>0，由y＝>0可得x>4， ∴xy＝＝x＝x＋＝x＋＝x＋9＋＝＋＋13≥2＋13＝25， 当且仅当x－4＝，即当x＝10时，等号成立， 因此，xy的最小值为25. 考点二　利用基本不等式求参数值或范围 例5 若对于任意的x>0,不等式≥a恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[5,+∞) B.(5,+∞) C.(-∞,5] D.(-∞,5) 【答案】C 【解析】令f(x)=, 由题意可得a≤f(x)min, f(x)=x++3≥2+3=5, 当且仅当x=,即x=1时等号成立, a≤f(x)min=5, 所以实数a的取值范围为(-∞,5]. 训练5 已知x>0,y>0,且+=1,若2x+y<m2-8m有解,则实数m的取值范围为　　　　.  【答案】(-∞,-1)∪(9,+∞). 【解析】因为x>0,y>0,且+=1, 所以2x+y=(2x+y)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,且+=1,即x=y=3时取等号,此时2x+y取得最小值9, 若2x+y<m2-8m有解, 则9<m2-8m,解得m>9或m<-1, 即实数m的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). 考点三　利用基本不等式解决实际问题 例6 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 【答案】30 【解析】一年的总运费为6×＝(万元)． 一年的总存储费用为4x万元． 总运费与总存储费用的和为万元． 因为＋4x≥2＝240， 当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号， 所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 训练6 一艘轮船在航行中的燃油费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃油费是每小时6元．其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每千米的费用总和最小时，该轮船的航行速度为__________千米/时． 【答案】20 【解析】设速度为v千米/时，则每公里费用y＝，又k×103＝6，∴k＝，∴y＝v2＋，y＝v2＋＝v2＋＋≥3＝，当且仅当v2＝，即v＝20时取等号． 学科网（北京）股份有限公司 $