精品解析：陕西西安市曲江第一学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试题

2025-2026-2八年级*数学 时间：110分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列这些标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式的各项中，公因式是的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在俄罗斯方块游戏中，出现一L型图形正向下运动，为了使L型图形与已拼好的图案组合成一个完整的长方形，你必须进行以下哪项操作（ ） A. 顺时针旋转，向右平移 B. 逆时针旋转，向右平移 C. 顺时针旋转，向左平移 D. 逆时针旋转，向左平移 4. 用反证法证明：中，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个正多边形内角和为，那么这个多边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 7. 如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（ ） A. B. C. D. 8. 使得式子有意义的的取值范围是（ ） A. ，且 B. C. ，且 D. ，且 9. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，左边物体的质量为xg，右边物体的质量为50g，用不等式表示下列数量关系是______． 12. 计算______． 13. 如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是______． 14. 如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E，若，，，则________． 15. 已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 16. 如图，在四边形中，，，，连接，点是内任意一点，则当最小时，的最大值为______． 三、解答题（共9小题，共72分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 因式分解： （1） （2） 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 解不等式组，并写出它的非负整数解． 20. 先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 21. 如图，中，，，利用尺规在边上作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 23. 项目学习 项目主题：机器人采购中的数学建模与优化决策 项目背景：年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划采购、两款入门级商用机器人，用于商业展演与科技推广，两款机器人价格贴合企业实际采购预算． 驱动任务：请你作为公司的数学建模顾问，完成以下两个任务，为公司提供采购决策依据． （1）任务一：已知每台种机器人比种机器人贵1万元，用万元购进种机器人的数量是用万元购进种机器人数量的2倍． 求购买一台种机器人、一台种机器人各需多少万元？ （2）任务二：该公司计划再次购买型和型机器人共台，(两款均需购买)，购买型机器人数量不超过型机器人数量的2倍，且商家给出了两种型号机器人均打八折的优惠．问购买型和型机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少万元？ 24. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，网格中有线段，点A、B、D、E均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）以线段为一边，画，使其面积为15： （2）以为边，作等腰，使： （3）在边上找一点M，连，使直线平分四边形的周长，且交于点N，直接写出__________．（保留作图痕迹） 25. 综合实践： 【问题提出】 （1）如图①，点P在等边内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，发现是等边三角形，由此推出_____°，即可求得_____． 【问题探究】 （2）如图②，已知在中，，点D，E，F分别在边，，上，四边形是正方形，若，，求和的面积之和． 【问题解决】 （3）某公园准备开发一块水上游玩区域，如图③所示，扇形的圆心角为，，在扇形内部修建一个扇形为游客中心，，，和均为休闲区，阴影部分修建一个淡水湖可供划船等项目，设淡水湖面积为S，为满足淡水湖周边的建设用地需要，需要淡水湖面积尽可能的小，请问淡水湖面积S是否存在最小值?若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由．（结果保留π） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2八年级*数学 时间：110分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列这些标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 2. 下列多项式的各项中，公因式是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、没有公因式，此项错误； B、的公因式是，此项错误； C、的公因式是，此项错误； D、的公因式是，此项正确． 3. 如图，在俄罗斯方块游戏中，出现一L型图形正向下运动，为了使L型图形与已拼好的图案组合成一个完整的长方形，你必须进行以下哪项操作（ ） A. 顺时针旋转，向右平移 B. 逆时针旋转，向右平移 C. 顺时针旋转，向左平移 D. 逆时针旋转，向左平移 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质和平移的性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：要使L型图形与已拼好的图案组合成一个完整的长方形，可先顺时针旋转，再向右平移． 4. 用反证法证明：中，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反证法：反证法的第一步是假设结论的否定． 【详解】解：∵结论是， ∴反证法第一步应假设． 故选：C． 5. 如果一个正多边形内角和为，那么这个多边形的每个外角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据内角和公式求出正多边形的边数，再利用多边形外角和定理计算每个外角的度数． 【详解】设这个正多边形的边数为n， ∵多边形内角和公式为，该正多边形内角和为， ∴， 解得， ∵任意多边形的外角和为，正多边形的各个外角相等， ∴该正多边形每个外角的度数为． 6. 计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（ ） A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙均对 D. 甲、乙均不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 7. 如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象进行解答即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故不等式解集为． 8. 使得式子有意义的的取值范围是（ ） A. ，且 B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可得到的取值范围. 【详解】解：∵要使有意义， ∴需满足， 解不等式，移项得，系数化为得， 解不等式，得， ∴的取值范围是，且． 9. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 10. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，左边物体的质量为xg，右边物体的质量为50g，用不等式表示下列数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知左边的物体质量比右边的物体质量大，从而可得答案. 【详解】由图可知，. 故答案为. 【点睛】本题考查了列不等式，仔细观察图形得出左边物体的质量比右边物体的质量大是解答本题的关键. 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移后得一个矩形，一边长为，另一边长为，再根据面积相减即可，解题的关键是将图形平移得到一个新的矩形，用原矩形的面积减去平移后的面积即可． 【详解】解：将阴影部分的右边平移至右边可构成一个矩形，用原来矩形的面积减去平移后得到矩形的面积， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 14. 如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先判断垂直平分线得到，进而判断，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O， ∴，， 又， ∴垂直平分线， ∴， 又，，， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴． 15. 已知关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得：， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 16. 如图，在四边形中，，，，连接，点是内任意一点，则当最小时，的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明当点P为的垂直平分线与垂直平分线的交点时，最小，过点C作于点M，过点D作于点N，说明当点P在与的交点处时，最小，根据等边三角形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，根据两点之间线段最短，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 以为边在下边作等边，以为边在下边作等边，连接，，如图所示： 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当D、P、E、F在同一直线上时，最小，即最小， ∴点P在上时，最小， ∵，， ∴点D、F在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， 即此时点P在的垂直平分线上， 同理可得：同理点P在的垂直平分线上时，最小， ∴当点P为的垂直平分线与垂直平分线的交点时，最小， 过点C作于点M，过点D作于点N，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，，，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴当点P在与的交点处时，最小， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∵，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， ∴的最大值为． 三、解答题（共9小题，共72分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】根据“去分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验”的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边同乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 19. 解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解为0，1，2 【解析】 【分析】先求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，即可写出非负整数解． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴非负整数解为0，1，2． 20. 先化简：，再从0、3、4中选一个合适的m的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵且， ∴且， ∴， 则原式． 21. 如图，中，，，利用尺规在边上作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． ∵，， ∴， 根据作图可知：垂直平分， ∴， ∴． 22. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质得，结合，证明，即． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 23. 项目学习 项目主题：机器人采购中的数学建模与优化决策 项目背景：年春晚舞台上，宇树科技第三次登上央视春晚舞台，携人形机器人与武术演员共同呈现《武》节目．机器人完成倒退跨越障碍、后空翻、连续空翻等高难度动作，并展示棍术、双节棍、醉拳等武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划采购、两款入门级商用机器人，用于商业展演与科技推广，两款机器人价格贴合企业实际采购预算． 驱动任务：请你作为公司的数学建模顾问，完成以下两个任务，为公司提供采购决策依据． （1）任务一：已知每台种机器人比种机器人贵1万元，用万元购进种机器人的数量是用万元购进种机器人数量的2倍． 求购买一台种机器人、一台种机器人各需多少万元？ （2）任务二：该公司计划再次购买型和型机器人共台，(两款均需购买)，购买型机器人数量不超过型机器人数量的2倍，且商家给出了两种型号机器人均打八折的优惠．问购买型和型机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少万元？ 【答案】（1）购买一台种机器人需要万元，购买一台种机器人需要万元； （2）购买型机器人台、型机器人台时花费最少，最少花费是万元． 【解析】 【分析】（1）设未知数表示、两款机器人的单价，根据“万元购进种机器人的数量是用万元购进种机器人数量的2倍”这一等量关系列分式方程求解，最后检验分式方程的根即可． （2）设购买型机器人的数量，表示出型机器人的数量，根据限制条件列不等式确定自变量的取值范围，再列出总花费关于型机器人数量的一次函数，根据一次函数的增减性求最值． 【小问1详解】 解：设购买一台种机器人需要万元，则购买一台种机器人需要万元， 根据题意得：解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：购买一台种机器人需要5万元，购买一台种机器人需要6万元． 【小问2详解】 解：设购买型机器人台，则购买型机器人台，为正整数， 根据题意得：， ，且为正整数， 设总花费为万元，． ， 随的增大而减小， 当取最大值时，最小，的最大正整数值为， 此时，， 答：购买型机器人台、型机器人1台时花费最少，最少花费是万元． 24. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，网格中有线段，点A、B、D、E均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）以线段为一边，画，使其面积为15： （2）以为边，作等腰，使： （3）在边上找一点M，连，使直线平分四边形的周长，且交于点N，直接写出__________．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析； 【解析】 【分析】（1）画底为5，高为3的平行四边形即可； （2）根据网格特点画，且使即可； （3）连接，，则、交于点O，连接并延长，交于点M，则点M即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，等腰即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点M即为所求． ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴直线平分四边形的周长； ∵点N在上， ∴． 25. 综合实践： 【问题提出】 （1）如图①，点P在等边内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，发现是等边三角形，由此推出_____°，即可求得_____． 【问题探究】 （2）如图②，已知在中，，点D，E，F分别在边，，上，四边形是正方形，若，，求和的面积之和． 【问题解决】 （3）某公园准备开发一块水上游玩区域，如图③所示，扇形的圆心角为，，在扇形内部修建一个扇形为游客中心，，，和均为休闲区，阴影部分修建一个淡水湖可供划船等项目，设淡水湖面积为S，为满足淡水湖周边的建设用地需要，需要淡水湖面积尽可能的小，请问淡水湖面积S是否存在最小值?若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由．（结果保留π） 【答案】（1）90；5 （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和勾股定理求出结果即可； （2）将绕点D逆时针旋转，点E与点F重合，点的对应点在上，根据，利用三角形面积公式求出结果即可； （3）将绕点O逆时针旋转得到，连接，过点O作于点H，过点B作于点G，证明是等边三角形，得出，求出，根据，得出面积的最大值为，根据，得出当面积取最大值时，淡水湖面积S取得最小值，求出其最小值即可． 【小问1详解】 解：根据旋转可得：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：； 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴将绕点D逆时针旋转，点E与点F重合，点的对应点在上， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：淡水湖面积存在最小值； 如图，将绕点O逆时针旋转得到，连接，过点O作于点H，过点B作于点G， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴面积的最大值为， ， ， ∵淡水湖面积， ∴当面积取最大值时，淡水湖面积S取得最小值， ∴淡水湖面积的最小值为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $