山东德州市2025-2026学年高二下学期期中数学试题

高二数学试题 2026.5 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1一2页，第Ⅱ卷3一4 页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上 第I卷选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.) 1.已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则1im f(1+2△x)-f(1) 2△x 目 A.-1 C.1 D.2 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3十a6十a8十a11=12,则S13= A.-78 B.-39 C.39 D.78 3.下列求导正确的是 A.(lnto)'-o B.(xe")=(x+1)e* c2y=a+1)2-1 D.(cos2x)'=-sin2x 4.下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x(单位：t)与相应的生产能 耗y(单位：t标准煤)的几组数据： x/t 4 5 6 7 y/标准煤 3.2 3.8 m 5.3 拟 根据数据可得到的回归方程为y=0.7x十0.35，则m= A.4.6 B.4.55 C.4.5 D.4.35 5.敦煌莫高窟的藻井图案具有独特的几何美感.某藻井图案的构造规则如下：最外层（第1 层)是一个边长为4的正方形，连接该正方形各边的中点得到第2层正方形，再连接第2 层正方形各边的中点得到第3层正方形…，以此类推.则第6层正方形的边长为 B号 C.1 D.√2 高二数学试题第1页（共4页） 6.已知等差数列{am}的前n项和为Sn,Sm=一2，Sm+1=0,S,m+2=4,则m= A.2 B.5 C.7 D.8 7.已知等比数列{am}中，a1=1,ag=4,函数f(x)=x(x一a1)(x一a2)…(x一ag),则f'(0)= A.256 B.512 C.1024 D.2048 8,已知数列a中，a,a+1a,十a1(n十Da,mN),若a1十a1a2十aa243十 十aaea,<成立，则正整数n的最大值为 A.6 B.8 C.10 D.12 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列选项正确的是 A.若回归方程为y=3x一1，则当变量x增加1个单位时，y增加3个单位 B.用相关系数r来比较两个模型的拟合效果，r越接近于1，说明两个变量之间的线性 相关性越强 C.利用X进行独立性检验时，X的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关 性越弱 D.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程 为y=0.5.x十a,若其中一个散点坐标为(-a,2.5),则a=5 10.已知数列{an}满足a1十3a2十…十3”-am=n·3”,则 A.a,=2n+1 B.{am}的前n项和为n2十2n C.{(一1)”an}的前99项和为99 D.若数列bn}满足bn=am一10，则{b}的前50项和为2132 11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进 行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名 的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→ 10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜 3an十1，当am为奇数时， 想的递推关系如下：am+1 2,当a.为偶数时， 且a1=m(m为正整数)，设数列 {an}的前n项和为S,n,则 A.若a1=2,则an=an+3(n∈N*) B.若a1=2,则S2026=4726 C.若m=17,要经过12步雹程使得an=1 D.若a8=1,则m所有可能的取值集合为{2,3,16,21,128} 高二数学试题第2页（共4页） 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） y=-x+8 12.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=一x十8， 则f(4)+f'(4)= 13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S。=10,S12=30,则 S24= 14将闭区间0，山均分为五段，去掉中间的区间段[名，。，余下的区间段长度之和为 再将余下的四个区间分别均分为五段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度之 和为α2.以此类推，不断地将余下各个区间均分为五段，并各自去掉中间的区间段.重复 这一过程，记数列{an〉表示第n次操作后余下的区间段长度之和.则a3= 若n∈N,都有nan≤λa?恒成立，则实数入的取值范围是 .(区间段长度是 指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如[a,b]的区间段长度为b一a). (第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,S,=3”一1，数列{bn}是等差数列，且b1=a1,b2=a2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn=an十bn,求数列{cn}的前n项和Tn 16.(本小题满分15分) 已知f(x)=blnx一2x2十a,其中a,b为实数，曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 8x+y-5=0. (1)求实数a,b的值： (2)若曲线Cy=冬+al是曲线C的切线，且1经过点（一1.0），求1的方程 17.(本小题满分15分) 某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进 行如下调查， (1)为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数 据，请完成2×2列联表，并回答：有99%的把握认为无人快递车故障与是否维保有关吗？ 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 高二数学试题第3页（共4页） (2)对过去的投放量x(单位：百辆)与服务次数y(单位：万次)的数据进行了统计，得到 如下表格： 2 3 5 6 7 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型y=a十bx或y=c·d严(c>0,d>0)对两个变量的关系进行拟合.请问 哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明 理由)？并求出y关于x的回归方程 参考公式：X2= n (ad-bc)2 a+b)(e+d)(a+c)6+d),其中n=a+b+c+d. ∑xy,-ny 6= =1 ,a=y-bx. 参考数据： P(X≥k) 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 v;=lgy:,v= :=1 2 2x 100.3 =1 298.4 1.9 13262 64.4 2 18.(本小题满分17分) 已知数列{an},{bn}满足am+2十am=2an+1bn+1=3bn十4(n∈N),且b1=1,a1=3,a2=6. (1)求数列{am}和bn〉的通项公式： (2)求数列{anbn}的前n项和Sn. 19.(本小题满分17分) 已知数列{an}满足a1=2,aw+1=(n十1)an十n(n十1)(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列b.b.=1+2,求证：b1十b,十b十+b.<n+1- 2 n+1 (3设.22数列的前：项和为工若号一-T,<产对物∈N恒成 2"+1·am 立，求实数入的取值范围。 高二数学试题第4页（共4页）高二数学试题答题卡 姓名： 学校： 班级： 条形码粘贴区（居中） 准考证号 缺考☐违纪☐ 注意事项 填涂样例 1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，并 认真在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字 正确填涂 迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚 ■ 3严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答 错误填涂 案无效。 刀XOI 4.保持卡面清洁，不装订，不折叠，不要破损。 0如【卫三 选择题(58分，1-8题每小题5分，9-11题每小题6分) 1ABC]I可 5ABC]D] 9ABC]D 2ABCD可 6ABCD 10ABCD可 3 A B C]D 7ABC©D 11ABC☒D 4AB@D可 8 ABCD] 填空题(15分，每小题5分) 12. 13. 14. 15.(13分) 可 接15题 16.(15分) 高二数学试题答题卡第1页共2页 ■ 17.(15分) 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 ■ ■ ■ 18.(17分) ■ ■ ■ 接18题 19.(17分) 高二数学试题答题卡第2页共2页 ■ 接19题 ■高二数学试题参考答案 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.) 1.C2.C3.B4.C5.B6.A7.A8.D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)】 9.AB 10.ABD 11.AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.3 13.15 01赞 %5,+) 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.解：(1)当n=1时，a1=S1=31-1=2,…1分 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=(3”-1)-(3”-1-1)=3”-3”-1=2X3”-1,…3分 经检验，n=1时符合上式，… 4分 所以，am=2X3-1.…。 …5分 由上可知，b1=a1=2,b2=a2=2X3=6, 设{bn}的公差为d,则d=b2-b1=6-2=4, …7分 所以，bm=b1+(n-1)d=2+(n-1)×4=4n-2, 即bn=4n-2.… 9分 (2)由(1)得cm=an+bn=2X3”-1+(4n-2), 则数列{cn}的前n项和T为： Tn=(a1十a2+…十am)+(b1十b2+…+bn) T.=S,+n(61t6,) 2 Tn=(3”-1)+n(2+4n-2) 11分 2 Tn=3”-1十2n2, 所以，数列{cn}的前n项和Tn=3”十2n2一1.…13分 高二数学试题答案第1页（共4页） 16.解：(1)fz)=b1nx-2x2+a,f(x)= 一4 1分 x 由曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为8x十y一5=0， 切点为(1，一3)，斜率k=一8，…2分 可得a-2=-3,即a=-1, …4分 f′(1)=b一4=一8，解得b=一4，… …6分 (2)曲线Cy名3+a即为y=-x3-1,求导得y=-3x,…7分 设曲线与过点（一1,0）的切线相切于点A(xo,一x一1)，则切线的斜率k=一3x, 所以切线方程为y一（一x8一1）=一3x名(x一x0),…9分 即0-(-x8-1)=-3x8(-1-x0),化简为2x8十3x-1=0,…10分 解得x0=-1或x0=2, …13分 故所求的切线方程为3x十y十3=0或3x十4y十3=0.…15分 17.解：(1)补充2×2列联表如下： 维保 未维保 合计 故障 12 28 40 …2分 未故障 108 52 160 合计 120 80 200 n(ad-bc)2 200×(12×52-108×28)2 X"-(a+b)(c-d)(a-c)(b+d) 160×40×80×120 4 18.75>6.635, 有99%的把握认为故障与维保有关. 6分 (2)y=c·d适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型.…7分 由y=c·d,两边同时取常用对数得lgy=lg(c·d)=lgc十xlgd, 设lgy=v,则v=lgC十xlgd,…8分 因为x=4, ∑.x=140, 10分 所以lgd= 1 64.4-7×4×1.9 140-7×4×4 =0.4,…12分 高二数学试题答案第2页（共4页） 把(4,1.9)代人v=lgc十xlgd,得lgc=0.3,…13分 所以元=0.3+0.4x,所以1gy=0.3+0.4x, …14分 则y=10a30.红=2X1004, 故y关于x的回归方程为y=2X10.x.… …15分 18.解：(1)因为an2十an=2an+1,所以a+2一an+1=an+1-an,…1分 又a2一a1=3,所以am+2-an+1=3, …3分 {am}是首项为3，公差为3的等差数列，所以am=3十3(n一1)=3，…4分 (由等差中项得{an}是等差数列，相应得分) 由bn+1=3bn十4，得bm+1十2=3(bn十2)，…6分 所以{bn十2}是等比数列，首项为3，公比为3，所以bn十2=3”，…7分 所以{仍n}的通项公式为bn=3”一2.…8分 (2)anbn=n3n+1-6n,…9分 Sn=1×32+2×33+3×34+…+n3m+1-6(1+2+3+…+n), 其中6(1+2十3十…十n)=3n2+3n,…10分 令Tm=1×32+2X33+3X34+…+n3+1, 则3Tn=1X×33+2X34+3×35+…+n3m+2 得-2Tm=32+33+34+…+3m+1-n3m+2 =-9+(1-2n)3m+e 2 2 14分 所以T,=9+(2n-1D3+2 4 16分 4 所以S.-号+2-3 -3n2-3n.…17分 4 19.解：1)由a+1=(n+1)a,十n(m+1),两边同除以n(m十1)得2-2：+1， n+1n 即2nt10n=1,……1分 n+1 n 又a1=2,故二=2，所以%是以2为首项，1为公差的等差数列。 解得2=2十(n-1）1=十1，…3分 n=n(n十1).. …4分 高二数学试题答案第3页（共4页） 2 2 1 2 (20.(n n( …6分 =√++ 1 卡1十mm+1)1+、1 1 nn+1' …7分 所以b1十b2十b3十…十bm <[1+(1-2】+1+(合一3】+[1+(3-4】++1+（元-+】 n十1，即命题得证 1 =n+1 … …9分 (3)由(1)知c,=2+2 n+2 、2(n+1)-n 2m+1·an2m+1·n(n+1)2+1·n(n十1) 1 1 2"·n2m+1·(n十1) …11分 数列{cn}的前n项和为： 1- 1 1 …12分 即 m+1(n十1)(n+1)2, 因为nGN,所以n+1>0,两边同乘（十1）2得以>2出，…13分 令)-，分析其单调作： f(n+1)-f0m)=0+2_n+1_n+2-2(+1)_-n 2n+22m+1 2n+2 2+2<0,… 15分 故fm)在m∈N上单调递减，因此fn)m=fa)=出-) 21+7=2’…16分 2对h∈N恒成立，只需A>f)=,即X>号 要使>”+1 所以，实数入的取值范围为（号，十∞）， 17分 高二数学试题答案第4页（共4页）