17.2 第4课时 三角形的中位线（课件）2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦平行四边形的判定与三角形中位线，通过复习平行四边形性质过渡到判定定理综合应用，再引出中位线概念及定理推导，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以递进式例题（如例1到例5）和“思考”“试一试”引导观察探究，培养几何直观与抽象能力（数学眼光），详细证明过程（如例4倍长中线法）发展推理能力（数学思维），符号语言与对比表格规范表达（数学语言）。学生能提升逻辑与应用能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

17.2 平行四边形的判定 第 4 课时 平行四边形的证明 与三角形的中位线 第 17 章 平行四边形 学习目标 1. 能够利用平行四边的判定定理解决多个四边形综合的证明问题. (重、难点 ) 2. 理解三角形的中位线的相关概念，利用三角形的中位线解决实际问题. (重点) 三角形的中位线 例1 如图，已知□ ABCD ，延长边 AD 至点 F ，使 DF = DA . 连结 BF，交边 DC 于点 E .求证: EF = EB . 证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ DA CB (平行四边形的对边平行且相等). ∴ ∠FDE=∠BCE，∠DFE=∠CBE 又∵ DA = DF ∴ DF = CB. ∥ = 1 在 △DFE 与 △CBE 中 ∵∠FDE =∠BCE，DF = CB， ∠DFE =∠CBE . ∴ △DFE ≌ △CBE ∴ EF = EB. 思考 观察一下， DE 与 AB 两条线段在位置和长度上有何关系。 例 2 如图，四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. B A D C E F 证明 ∵四边形 AEFD 是平行四边形， 又∵四边形 EBCF 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). ∴AD EF . ∥ ＝ ∴BC EF . ∥ ＝ ∴AD BC. ∥ ＝ 一个图形中有几个平行四边形时，利用平行四边形的性质，得出相关图形角边的关系，由此判定出其他四边形也是平行四边形. B A D C E F 如图，点 D、E 分别是 △ABC 的两边 AC、BC 的中点，即 DE 是连结 △ABC 的两边中点的线段，连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线. 知识要点 问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ 有三条，如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF. 问题2：如图，DE 是△ABC 的中位线， DE 与 BC 有怎样的关系？ 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与BC的关系 猜想： DE∥BC ？ D E 问题3：如何证明你的猜想？ 如图，在 □ ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 的中点，AF 与 DE 相交于点 G，CE 与 BF 相交于点 H. 求证：四边形 EHFG 是平行四边形. A B D C E F G H 证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB CD . ∥ ＝ 又∵ E、F 分别是边 AB、CD 的中点， ∴AE CF . ∥ ＝ ∴四边形 AECF 是平行四边形. ∴EH∥GF . 同理可得 EG∥HF. ∴四边形 EHFG 是平行四边形. 例 3 如图，G、H 是 □ ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AG = CH， E、F 分别是边 AB 和 CD 的中点. 求证：四边形 EHFG 是平行四边形. A B D C E F G H 证明 如图，连结 EF，交 AC 于点 O. O ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD . 又∵E、F 分别是边 AB、CD 的中点， ∴AE = CF . 又∵AB // CD， ∴∠EAO = ∠FCO. 例4 如图 △ABC 中，点 D 、E 分别是边 AB 和 AC 的中点. 求证：DE∥BC，DE BC . ∥ = 典例精析 平行 角 平行四边形 或 线段相等 一条线段是另一条线段的一半 倍长短线 分析： D E 证明： 延长 DE 到 F，使 EF = DE． F ∴ 四边形 BCFD 是平行四边形． ∴△ADE≌△CFE． ∴∠ADE =∠F，AD = CF. 连接 FC． ∵∠AED = ∠CEF，AE = CE， 证法： ∴ BD CF． 又∵ ， ∴ DF BC . ∴ DE∥BC， ． ∴ CF AD. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 用符号语言表示： ∵ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE∥BC， D E 概括 A B C D E F 重要发现： ①中位线 DE、EF、DF 把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和 BDEF，四边形 BFED 和 CFDE，四边形 ADFE 和 DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一. 由此你知道怎样分蛋糕了吗 【选自教材第98页 练习 第1题】 在四边形 ABCD 中，AB//CD，∠B = ∠D. 求证：四边形ABCD 是平行四边形. 证明: 如图. ∵AB∥CD，∴ ∠B + ∠C ＝180°. ∵∠B ＝∠D，∴ ∠C + ∠D ＝180°. ∴AD∥BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形). D A C B 证明:方法一: 如图，连结 AC 交 EF 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC. ∵ AE∥CF，∴ ∠AEO ＝∠CFO. 又∵ ∠AOE ＝∠COF， ∴△AOE ≌ △COF. ∴ OE ＝ OF. 又∵ OA ＝ OC， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形). 【选自教材第98页 练习 第2题】 2. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE、CF 分别与直线 DB 相交于点 E 和点 F，且 AE//CF，分别连结点 C、E 和点 A、F. 求证：四边形 AFCE 是平行四边形. E A C F B D O 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. 用符号语言表示： ∵ DE 是 △ABC 的中位线， ∴ DE∥BC， D E 概括 A B C D E F 重要发现： ①中位线 DE、EF、DF 把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和 BDEF，四边形 BFED 和 CFDE，四边形 ADFE 和 DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一. 由此你知道怎样分蛋糕了吗 3. 证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知:如图，在△ABC 中，AD = DB，BF = FC，AE = EC . 求证: AF 与 DE 互相平分. 证明：如图，连结 DF 、EF. ∵ AD = DB，BF = FC， ∴ DF∥AC (三角形的中位线平行于第三边). 同理可得 ，EF∥BA . ∴ 四边形 ADFE 是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形). ∴ AF 与 DE 互相平分. 典例精析 试一试 从定义、性质和相互联系等几方面比较三角形的中线与中位线两个概念. 三角形的中线 三角形的中位线 方法二: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ＝ CD，AB∥CD. ∴ ∠ABE ＝∠CDF . ∵ AE∥CF，∴ ∠AEF ＝∠CFE. ∴ △ABE ≌ △CDF . ∴ AE ＝ CF. 又∵ AE∥CF， ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 【选自教材第98页 练习 第2题】 4. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE、CF 分别与直线 DB 相交于点 E 和点 F，且 AE//CF，分别连结点 C、E 和点 A、F. 求证：四边形 AFCE 是平行四边形. E A C F B D O 5. 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，直线 EF 过点 O， 且与 AB、DC 分别相交于点 E 和点 F，直线 GH 过点 O 且与 AD、 BC 分别相交于点 G 和点 H. 求证：四边形 GEHF 是平行四边形. 【选自教材第98页 练习 第3题】 D A C B G E H F O 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝OC，AB∥CD. ∴ ∠OAE ＝∠OCF. 又∵ ∠AOE ＝∠COF， ∴ △AOE ≌ △COF， ∴ OE ＝ OF. 同理可证△AOG ≌△COH， ∴ OG ＝OH. ∴ 四边形 GEHF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 6.如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 的中点，AF 平分∠CAB，交 DE 于点 F. 若 DF＝3，求 AC 的长 解：∵ D、E 分别为 AC、BC 的中点， ∴ DE∥AB， ∴∠2＝∠3. 又∵ AF 平分∠CAB， ∴ ∠1＝∠3， ∴ ∠1＝∠2， ∴ AD＝DF＝3， ∴ AC＝2AD＝2DF＝6. 1 2 3 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 证明：取 AC 的中点 F，连接 BF. ∵ BD＝AB， ∴ BF 为△ADC 的中位线，∴DC＝2BF. ∵ E 为 AB 的中点，AB＝AC， ∴ BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵ BC＝CB，∴ △EBC≌△FCB. ∴ CE＝BF. ∴ CD＝2CE. F 构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键. 归纳 比较维度 三角形的高线 三角形的中位线 定义 连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段 连接三角形两边中点的线段 性质 把三角形分成面积相等的两部分；三条中线交于一点(重心) 平行于第三边，且长度是第三边的一半 相互联系 均与“中点”有关，都是三角形中的重要线段，在三角形的周长、面积、全等证明等问题中都有应用. 例5 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA 中点． 求证：四边形 EFGH 是平行四边形． 四边形问题 连接对角线 三角形问题 （三角形中位线定理） 三角形的中位线与平行四边形的综合运用 分析： 2 证明：连接 AC. ∵ E，F，G，H 分别为各边的中点， ∴ EF∥HG， EF = HG. ∴ EF∥AC， HG∥AC， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 归纳 三角形的中位线 三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半 三角形的中位线定理 三角形的中位线定理的应用 通过这节课的学习，你有哪些收获？ $