24.1.2 中位数和众数 第1课时 教案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十四章 数据的分析 24.1.2 中位数和众数 第1课时   一、教材分析 《中位数和众数》是人教版八年级下册“数据的分析”章节的核心内容，承接平均数的统计学习，是学生构建完整统计量体系的关键环节. 此前学生已掌握平均数的计算与意义，本节课通过对比平均数的局限性，引入中位数和众数的概念，帮助学生建立多角度分析数据的思维. 教材以跳绳成绩、春游投票、鞋店进货等生活化情境为载体，先通过“张华的成绩水平”引发认知冲突，引导学生理解中位数“代表中间水平、不受极端值影响”的特点；再通过投票、销量统计等案例，呈现众数“反映数据集中趋势、体现多数偏好”的作用，形成“情境冲突——概念生成——方法应用——实际决策”的教学逻辑链条. 这种编排贴合学生的认知规律，既突破了平均数的单一评价局限，又让学生体会统计量在生活中的应用价值，为后续方差等统计量的学习奠定基础，同时培养学生的数据意识与理性分析能力.   二、学情分析 已有基础：八年级学生已掌握平均数的计算与基本意义，具备初步的数据分析能力，能对简单数据进行排序和频数统计，这是本节课学习的已有基础. 认知困难：一是受平均数思维定势影响，难以理解“中位数、众数的意义与适用场景”，尤其对“平均数受极端值干扰”的问题缺乏直观认知；二是对中位数的计算(尤其是偶数个数据的中位数求法)易出错，对“众数可能不唯一或无众数”的概念理解模糊；三是难以根据实际情境选择合适的统计量解决问题，缺乏统计决策的应用意识. 认知特点：八年级学生正处于从具象思维向抽象思维过渡的阶段，对生活化、情境化的问题更感兴趣，抽象的统计概念需要通过具体案例和直观数据支撑才能理解. 同时，学生已具备小组合作探究的能力，适合通过对比分析、实例辨析的方式突破难点，在解决实际问题中深化对中位数和众数的理解，建立统计与生活的联系.   三、教学目标 1.理解中位数和众数的概念，掌握中位数和众数的计算方法，能准确求出一组数据的中位数和众数. 2.理解中位数和众数的统计意义，掌握中位数不受极端值影响的特点，以及众数不唯一的特殊情况. 3.经历 “情境探究——概念生成——对比辨析——应用实践” 的过程，培养数据处理、合作探究和归纳总结的能力. 4.感受统计知识在生活中的广泛应用，体会数学与生活的联系，培养理性分析问题的意识和用数据说话的科学态度.   四、教学重难点 重点：理解中位数和众数的概念，掌握中位数和众数的计算方法，能准确求出一组数据的中位数和众数. 难点：理解中位数和众数的统计意义，掌握中位数不受极端值影响的特点，以及众数不唯一的特殊情况.   五、教学过程 · 情境导入 我们学过用平均数代表一组数据的整体水平，但生活中只用平均数评价数据往往不够客观. 比如超市备货、员工薪资统计、比赛成绩分析，平均数容易被极端数据影响，无法反映多数情况，这时候，我们就需要新的统计量. 今天，就让我们一起来认识中位数和众数，掌握它们的概念，学会从不同角度分析数据，解决生活中的统计问题. 师生活动：教师展示生活情境图片，提问：“只用平均数分析这些场景，会有什么问题?”引导学生讨论平均数的局限性，引出中位数和众数的学习. 设计意图：通过生活实例创设情境，让学生感受平均数的不足，激发学习新统计量的需求，体会数学与生活的联系，自然导入新课. · 探究新知 活动一：探究中位数的概念 问题1：甲、乙两组同学的跳绳成绩(单位：次/min)如下： 甲组 182 194 143 185 156 乙组 199 148 242 170 141 ͞x甲 =172(次/min) ͞x乙 =180(次/min) 张华个人的跳绳成绩为 175 次/min，她认为自己的成绩在甲组中属手中上水平，在乙组中属于中下水平，你认可张华的说法吗？ 师生活动：教师引导学生排序数据、计算中位数，对比张华的成绩与中位数；再提问平均数与中位数差异的原因，组织讨论并总结中位数的特点. 分析：张华的跳绳成绩要处于一个组的中上（或中下）水平，意味着她的成绩超过（或低于）这个组至少一半人数的成绩，即超过（或低于）这个组中成绩排名居中的人的成绩. 按从小到大的顺序分别排列两组跳绳成绩， 甲组为 143 156 182 185 194 处在中间位置的数是182，它的左侧和右侧各有2个数. 乙组为 141 148 170 199 242 处在中间位置的数是170，它的左侧和右侧各有2个数. 张华的个人跳绳成绩 175 小于甲组中间的数 182，而大于乙组中间位置的数 170，因此她的成绩在甲组中处于中下水平，在乙组中处于中上水平，这与她自己作出的判断正好相反. 总结：上述中间位置的数 182 和 170，分别是甲组数据和乙组数据集中趋势的一种刻画. 中位数： 一般地，一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数. 当数据的个数为奇数时，处于中间位置的数就是中位数； 当数据的个数为偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数. 一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平. 问题2：为什么甲组同学跳绳成绩的平均数比乙组的小，而中位数反而大呢？ 答：因为中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，而平均数与这组数据中的每一个数据都有关，乙组数据有极端值242，所以平均数比甲组大. 注意：如果一组数据中有极端数据，中位数能反映数据的中间水平，不受极端值影响. ①中位数一定唯一. ②中位数可能是数据中的数，也可能不是（偶数个 数据时是平均值）. ③中位数是一个位置数，要先排序再确定. ④中位数不受极端值的影响. 设计意图：通过跳绳情境引发认知冲突，让学生在对比中理解中位数的概念与“不受极端值影响”的特点，体会其与平均数的区别，突破教学重点. 问题3：在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取12名选手所用的时间 (单位：min) 如下： 136 140 129 180 124 154 146 145 158 175 165 148 (1) 这组样本数据的中位数是多少？ (2) 一名选手所用的时间是142 min，推测他的成绩是否超过这次比赛中一半以上选手的成绩？ 师生活动：教师引导学生先排序数据，再计算偶数个数据的中位数，随后结合问题让学生分析中位数的意义，师生共同总结中位数的特征. 解：(1)先将样本数据按照从小到大的顺序排列： 124 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175 180 这组数据的中位数为处于居中两个数据146，148的平均数，即中位数为. 因此样本数据的中位数是147. (2)根据(1) 中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的所用时间小于 147 min，有一半选手的所用时间大于 147 min. 这名选手的所用时间是 142 min，小于中位数，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好. 中位数的特征： 1. 中位数是一个位置代表值（中间数），它是唯一的. 2. 如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平． 3. 一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平. 设计意图：通过马拉松实例巩固中位数的计算方法，强化偶数个数据的中位数求法，让学生理解中位数的实际意义，深化对其“中间水平”特征的认识. 活动二：探究众数的概念 问题4：班级春游有三个备选地点，经全班一人一票投票，每个地点的得票数如表所示. 你认为班级的春游地点应该选择哪里？　 师生活动：教师呈现春游投票情境，引导学生讨论如何确定集体意见，引出“得票最多”的原则；再结合投票数据，讲解众数的概念与特点，组织学生辨析众数的多种情况. 分析：全班一人一票投票，相当于对全班同学作了一次全面调查，收集到的是每位同学的投票结果(北京故宫、颐和园或香山公园)，在统计中这也属于数据.与前面见到的数据都是数值不同，这里的数据无法进行计算或排序，因此无法通过求它们的平均数或中位数去刻画班级的集体意见. 对于这种情况，一般我们会采取少数服从多数的原则，把得票数最多的地点作为班级的集体意见.由表可知，颐和园得票数最多，可以把颐和园作为全班同学意见的代表. 众数： 一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数. 如果一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数并列最多，那么把这几个数据都作为这组数据的众数； 如果一组数据中没有出现相同的数据，那么就认为这组数据没有众数. 众数也是刻画数据集中趋势的一种统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能较好地反映其集中趋势. 设计意图：通过生活化投票情境，让学生理解众数的实际意义，掌握其概念与多样性特点，感受众数在非数值型数据中的应用价值. 问题5：一家鞋店在一段时间内销售某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示．你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？ 师生活动：教师出示鞋店销售数据，让学生自主找出众数；小组交流根据众数如何合理进货. 教师巡视点拨，指名汇报思路，师生共同归纳众数在实际生活中的作用. 分析：一般来讲，鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数.一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数，进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多. 解： 由表可以看出，在不同的尺码中，尺码为23.5 cm的鞋销售量最大，即众数为23.5，因此可以建议鞋店多进23.5 cm的鞋. 问题6：分析表中的数据，你还能为鞋店进货提出哪些建议? 答：除了多进23.5cm的鞋外，建议鞋店其次多进24cm和23cm的鞋，而22cm和25cm的鞋需求量最少，要少进这两种尺码的鞋. (答案不唯一) 注意：(1)一组数据的众数一定出现在这组数据中； (2)一组数据的众数可能不止一个，如：1，1，2，3，3，5 中众数是1和3； (3)众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数，如：1，1，1，2，2，5中众数是1而不是3； (4)如果一组数据中没有出现相同的数据，那么就认为这组数据没有众数. 设计意图：借助鞋店进货真实情境，让学生自主探究运用众数解决实际问题，感受统计知识的实用价值，培养数据分析能力与合理决策的数学素养. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师先引导学生完成例1的分类讨论，再让学生独立分析例2的统计图表，小组交流解题思路；教师巡视指导，指名汇报并点评，总结中位数与众数的解题要点. 例1 数据1，4，6，x 的中位数和平均数相等，则x 的值是______________. 分析：当x ≤ 1 时，＝，解得x＝－1； 当1＜x＜6时，＝，解得x＝3； 当x ≥ 6 时，＝，解得x＝9. 综上，x的值是－1或3或9. 答：－1或3或9 例2 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表． 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： ______，______． 该调查统计数据的中位数是______，众数是______． 请计算扇形统计图中“次”所对应扇形的圆心角的度数； 若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数. 分析： 被调查的总人数为：人， ，，即， 故答案为：，； 由于共有个数据，所以中位数为第、个数据的平均数， 而第、个数据均为， 所以中位数为， 出现次数最多的是， 所以众数为， 故答案为：、； 解：扇形统计图中“次”所对应扇形的圆心角的度数为； 估计该校学生在一周内借阅图书“次及以上”的人数为 人， 答：估计该校学生在一周内借阅图书“次及以上”的人数为人．  设计意图：通过分层例题巩固中位数与众数的计算方法，强化分类讨论思想与图表信息解读能力，让学生在应用中深化对统计量的理解，提升数据分析与解题能力. · 课堂练习 【教材练习】 1. 某车间工人每天加工零件数的情况如图所示，求这些工人每天加工零件数的中位数. 解：由统计图可知车间工人共有4+5+8+9+6+4=36（人）. 居中数据有两个，是第18与第19个数据.这两个数据都是60，因此这些工人每天加工零件数的中位数是 60. 2. 为研究不同类型软饮料的市场销售情况，市场调查员在一家超市随机观察并记录了 50 名顾客购买的软饮料类型，如图所示. 顾客购买的软饮料类型的众数是什么？ 解：由图可知，购买乳类的顾客最多，即顾客购买的软饮料类型的众数是乳类. 师生活动：教师布置两道教材练习，学生独立完成后同桌互查；教师巡视收集典型问题，指名学生上台讲解解题思路，师生共同订正，梳理从统计图中找中位数、众数的步骤. 设计意图：通过基础练习巩固中位数、众数的概念与计算方法，强化学生解读统计图、提取数据信息的能力，查漏补缺，夯实本节课的知识重点. 【限时训练】 1.某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图所示. 这些学生锻炼时间的众数、中位数分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  2.已知某篮球队有名队员，他们身高的平均数和中位数都是厘米，后来发现在登记身高时，将一名队员的身高由厘米误写成厘米，再经过重新计算后，正确的身高平均数为厘米，中位数为厘米，那么下列结论中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：修改后的平均数为， 中位数仍为第个数，即为厘米， 故选： 3.某次数学竞赛，人进入复赛，其中前名都能获奖小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否能获奖，只要知道人复赛成绩的(    ) A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 最高分 【答案】C  4.某班名学生进行数学测验，随机抽取人的真实成绩如下：，，，，，， ，，，． 直接写出该样本数据的中位数和众数； 嘉嘉抄录样本数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，则他抄错的原成绩是          分 【答案】(1)解：样本数据从低到高排列为12,14,15,16,17,18,18,18,19,20, 中间的数为17,18, 中位数为(17+18)=. 18出现了三次，出现次数最多. 众数为18. (2)18  5.某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间单位：，随机调查了该校的部分初中学生，根据随机调查结果，绘制出如下的统计图和图，请根据相关信息，解答下列问题： 本次接受调查的初中生人数为          ，图中的值为          ． 求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数． 根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有名初中生，试估计该校每天在校体育活动时间大于的学生人数． 【答案】(1)40；25  (2)∵， ∴这组数据的平均数是1.5．这组数据的众数是1.5；中位数是1.5．  (3)800×(1-10%)＝720（人）． 答：该校每天在校体育活动时间大于1 h的学生人数约为720人．  师生活动：学生独立完成5道课堂检测题，教师巡视批改；随后集体订正，针对易错题(如平均数与中位数的区别、众数的变化)组织学生辨析，强调解题注意事项. 设计意图：通过分层练习，全面巩固中位数与众数的概念、计算与实际应用，及时反馈学情，查漏补缺，提升学生运用统计知识解决问题的能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.中位数的概念是什么？ 3.求中位数的方法是什么？ 4.什么是众数？ 5.求众数的方法是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：班级校服尺码里的统计密码 任务：调查本班同学的校服上衣尺码数据，完成以下探究： 1.收集并整理全班同学的上衣尺码数据，制作频数统计表； 2.计算这组数据的中位数和众数，分析两个统计量分别反映了班级尺码的什么特征； 3.结合中位数和众数，为学校校服订购部门提出合理的进货建议. 要求：数据真实完整，计算过程清晰，建议贴合实际，结合本节课所学知识说明统计量的应用场景，体现中位数和众数在实际决策中的价值. 学科网（北京）股份有限公司 $