18.1.2 第2课时 直角三角形斜边上的中线性质 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“直角三角形斜边上的中线性质”，系统涵盖定理（等于斜边一半）及逆命题。课堂导入从复习等腰三角形性质、30°直角三角形性质切入，结合直角三角形教具提问，通过矩形分割观察引导学生发现数量关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“猜想—证明—应用”为主线，通过矩形分割培养直观想象，例1延长中线构造矩形证明定理发展逻辑推理，例2、3结合中点、高的条件应用性质提升模型意识。方法归纳总结“斜边中点作中线”策略，帮助学生形成解题思路，既提升学生推理与应用能力，也为教师提供完整教学流程和典型例题资源。

18.1.2 第2课时 直角三角形斜边上的中线性质 01 教学目标 在观察矩形分割的过程中，培养直观想象能力，能从图形变化中发现数量关系； 01 经历“猜想—证明—应用”的完整过程，提升逻辑推理素养，掌握几何定理的证明方法； 通过性质与逆命题的对比学习，体会数学知识的对称性与内在联系； 运用定理解决具体问题，发展数学抽象与模型意识。 02 03 04 1. 等腰三角形的性质有哪些？ 2. 30°角的直角三角形的特殊性质你还记得吗？ 等边对等角、三线合一 30°角所对直角边是斜边的一半 出示直角三角形教具：“直角三角形斜边上的中线，和斜边会有什么数量关系？” 思考 如图①所示，在矩形 ABCD 中，AC = BD， AO = OC，BO = OD. 若擦去半个矩形，如图 ②， BO 即Rt△ ABC 斜边 AC 上的中线，由此，你能发现 BO 与斜边 AC 的关系吗 ? A B C D O A B C O ① ② 直角三角形斜边上的中线的性质 1 证明：如图，延长 BO 至点 D， 使 OD = OB，连结 AD 和 CD. 在四边形 ABCD 中， ∵ OA = OC，OB = OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， 又 ∵∠ABC = 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形. 从而 AC = BD ，BO = BD = AC . 例1 如图 ，在 Rt△ ABC 中，BO 为斜边 AC 上的中线，求证： A B C O 典例精析 D 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言描述： A B C O ∵ BO 是 Rt△ABC 斜边 AC 上的中线 ∴ BO = AC 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，∠C ＝ 60°，D 为边 AC 的中点，且 BD ＝2，则 BC 的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 A B C D C 03 新知探究 思考 我们已经知道，矩形的两条对角线相等且互相平分，如图18.1.14①所示。在矩形中，。 若擦去半个矩形，如图18.1.14②，即是斜边上的中线，由此，你能发现与斜边的关系吗？ 04 典例精析 例7 如图18.1.15，在中，为斜边上的中线。 求证： 将补成矩形，即可得到要求证的结论。 直角三角形的性质： 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 概括 几何语言描述： A B C O ∵ BO 是 Rt△ABC 斜边 AC 上的中线 ∴ BO = AC 例2 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是AB、AC 的中点． (1) 若AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； 解：∵AD 是 △ABC 的高， E、F 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4， ∴四边形AEDF的周长： AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 . 典例精析 例题：如图，已知 BD ，CE 是△ ABC 不同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE . 解：连接 EG，DG . ∵BD，CE 是 △ABC 的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴EG ＝ BC，DG＝ BC. ∴EG ＝ DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 04 典例精析 证明 如图18.1.16，延长至点，使，连结。 在四边形中， ∵ ， ∴ 四边形是平行四边形。 又∵ ，∴ 四边形是矩形。 从而 由此，我们得到直角三角形的一个性质： 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 05 新知讲解 试一试 写出上述结论的逆命题，观察图18.1.17，试判断该逆命题是否成立。图18.1.17中，。即边上的中线将整个三角形分成了两个等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，容易证明的和为，即该三角形确实是一个直角三角形。试写出完整的证明过程。 例3 如图，已知 BD ，CE 是△ ABC 不同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE . 解：连接 EG，DG . ∵BD，CE 是 △ABC 的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点 G 是 BC 的中点， ∴EG ＝ BC，DG＝ BC. ∴EG ＝ DG. 又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE. 典例精析 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 方法归纳 2.如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是AB、AC 的中点． (1) 若AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； (2) 求证：EF 垂直平分 AD . 解：(1)∵AD 是 △ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4， ∴四边形AEDF的周长：AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 . (2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD . 试一试 写出上述结论的逆命题，观察下图，试判断该逆命题是否成立. A B C D 原命题 逆命题 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 几何语言： 判定定理： 如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半， 那么这个三角形是一个直角三角形. ∵BO = OA = OC = AC， ∴△ABC 为直角三角形. A B C O 直角三角形斜边上的中线的性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论：一个三角形一边上的中线等于 该边的一半，那么这个三角形是一 个直角三角形 06 课堂练习 1.如图， 在△ABC中， 已知∠C=90°， AB=16， 则AB边上的中线CD=　 　． 解：∵CD是斜边上中线，∴，故答案为：8. 06 课堂练习 2.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，D是AB 的中点， 则 CD的长为　 　． 解：在Rt△ABC中，D是AB的中点,∴CD=AB=6,故答案为：6 3．[陕西中考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24 $