2026年河北邯郸市峰峰矿区临水镇中学等校下学期九年级数学试题（二模）

**基本信息** 本试卷以冬奥会会徽、无人机、隧道工程等现实情境为载体，覆盖代数、几何、统计概率核心知识，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，发展数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数运算、三角形三边关系、科学记数法等|第4题结合冬奥会会徽考平行线性质，发展几何直观| |填空题|4/12|整式运算、图形折叠、相反数倒数等|第14题通过四边形折叠考角度计算，培养空间观念| |解答题|8/72|函数应用、几何证明、统计分析等|22题以隧道工程为背景考抛物线应用，24题二次函数与几何综合，提升模型意识与推理能力|

九年级数学试题 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列式子的运算结果是负数的是（　　） A．（﹣7）﹣（﹣8） B． C．（﹣2）+（﹣3）﹣（﹣4） D．0﹣（﹣2023） 2．若一个三角形的两边长分别为4和7，则它的第三边长可能为（　　） A．2 B．3 C．6 D．11 3．地球上的海洋面积约为362000000km2，将数据362000000用科学记数法表示为（　　） A．36.2×107 B．3.62×107 C．3.62×108 D．0.362×109 4．图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中BC∥ED∥FG，且FD＝FG，若∠BCD＝36°，则∠G的度数为（　　） A．36° B．54° C．60° D．72° 5．下面四个立体图形中，三视图完全相同的是（　　） A．球 B．长方形 C．圆锥 D．圆柱 6．估计的值应在（　　） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 7．将五张除数字外完全相同的不透明卡片，分别标上数字1，2，3，4，5．反面朝上洗匀后，从中任意抽出一张，则该卡片上的数字能被2整除的概率是（　　） A． B． C． D． 8．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 9．如图，一架长25m的梯子靠在墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将滑动（　　） A．4m B．6m C．8m D．10m 10．如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，若四边形AMON的面积为4，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 11．正方形ABCD中，将AB沿AE折叠，使得点B在AC上为点F，折痕为AE，连接EF、GF，给出下列结论：（1）∠BAE＝22.5°；（2）；（3）S△ABG＝S△AOG；（4）四边形BEFG为菱形；（5）若S△AOG＝1，则正方形ABCD的面积为．其中正确的结论是（　　） A．（1）（4） B．（1）（2）（5） C．（1）（3）（4） D．（1）（4）（5） 12．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如（﹣1，19），（﹣2006，2024）…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　） A．（2026，﹣2044）是“乾坤点” B．函数y＝6x+18的图象上存在2个“乾坤点” C．函数y＝x2﹣2x+2025是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（2a+1≠0，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为（9，9） 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．﹣1100+（）0＝　 　 ． 14．如图，将四边形纸片ABCD的右下角向内折出△EC′F，恰好使C′E∥AB，C′F∥AD，若∠B+∠D＝216°，则∠A＝　 　 °． 15．已知x，y互为相反数且均不为0，a和b互为倒数，|m|＝2，那么代数式的值为　 　 ． 16．在第十五届中国国际航空航天博览会展会期间，无人机记录了精彩瞬间．建立适当的平面直角坐标系，若无人机所在位置的坐标为（0，1），将无人机沿着y轴向上平移2个单位，则平移后无人机的坐标为　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分72分，每小题9分） 17．（9分）整式的值为P． （1）当m＝2时，求P的值； （2）若P的取值范围如图所示，求m的非正整数值． 18．（9分）计算： （1）x（x+1）﹣3x（x﹣2）； （2）y2（y﹣1）+2y（y2﹣2y+3）． 19．（9分）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，将△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处． （1）如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形； （2）延长BE交线段AD的延长线于点F，联结CF，如果CE＝DF，请画出符合题意的图形，并证明：四边形ABCF是矩形． 20．（9分）安全教育是学校教育的重要环节，提高学生的安全意识，使其具备安全知识和自救能力，养成良好的安全行为习惯，对于保障学生的人身安全和营造平安和谐的校园环境有重要意义．某校为加强安全教育，开展了“防溺水”安全知识测试，现从中随机抽取50份测试卷，将测试成绩分成6组（得分用x表示），如表所示： 组别 A B C D E F 分组 35≤x＜45 45≤x＜55 55≤x＜65 65≤x＜75 75≤x＜85 85≤x≤100 人数 5 7 10 a 10 6 请根据以上信息，完成下列问题： （1）a＝　 　 ； （2）这50份测试成绩的中位数在　 　 组； （3）若测试的平均分不低于70分，则认为该校的安全教育比较成功，否则需要每周加一节安全教育课，将40，50，60，70，80，90分别作为A，B，C，D，E，F这六组成绩的平均分，估计该校是否需要给全校学生每周加一节安全教育课． 21．（9分）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明． 【作图应用】（2）如图②，AB是⊙O的弦，在优弧AB上作出点P，使得． 要求：①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹． 【结论应用】（3）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB＝3，AC＝4，求BC． 22．（9分）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形OABC构成，长方形的长OC为12m，宽OA为2m，以OC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示． （1）求抛物线的表达式和最高点P的坐标； （2）汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个AI黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为3.6m，求这两个AI摄像头之间的水平距离； （3）直线y＝x+b与隧道AB上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围． 23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，OA＝OB，． （1）直接写出点A、B的坐标；A（ 　 　 ）、B（ 　 　 ）； （2）若点C从O点出发，沿射线OB运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，连接AC．求△ABC的面积S与时间t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，点C在线段OB上且时，点E在OA的延长线上，点D在OB的延长线上，CD＝OE，连接CE、AD，∠OEC＝∠BAD．点F在BD上，点G在x轴负半轴上，点C是FG的中点．过点F作FP⊥x轴，点P在第一象限，连接PG，当PG+AE＝4（DF+OG），PF＝2OF﹣2时，第一象限内存在一点Q，使四边形EGQP成为平行四边形，求出点Q的坐标． 24．（9分）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是这个函数图象上的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图1，当点P在直线BC下方时，过点P作PM⊥BC，垂足为M，求PM的最大值； （3）如图2，当点P在x轴上方时，连接PA、PB，直线l是二次函数图象的对称轴，过点P作PN⊥直线l，垂足为N，以点N为圆心作圆，PT与⊙M相切，切点为T．若以PT的长为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，求⊙N的半径． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C C． D A C B D C C D 题号 12 答案 D 13． 0． 14． 72． 15．﹣2020或﹣2028． 16．（0，3）． 17．（1）﹣5； （2）0，﹣1或﹣2． 解：（1）P＝3（2）＝3×（）＝﹣5， ∴P的值为﹣5； （2）由数轴知：P≤7， 即3（m）≤7， 解得m≥﹣2， m为非正整数， ∴m＝0，﹣1或﹣2． 18．（1）﹣4x2+7x；（2）3y3﹣5y2+6y． 解：（1）x（x+1）﹣3x（x﹣2） x2+xx2+6x ＝﹣4x2+7x； （2）y2（y﹣1）+2y（y2﹣2y+3） ＝y3﹣y2+2y3﹣4y2+6y ＝3y3﹣5y2+6y． 19．（1）由折叠得：∠ADB＝∠BDE，∠A＝∠DEB＝90°． ∵点E是腰CD的中点， ∴BE是DC的垂直平分线， ∴DB＝BC， ∴∠BDE＝∠C， ∴∠BDE＝∠C＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠C＝180°， ∴∠BDE+∠C+∠ADB＝180°， ∴∠BDE＝∠C＝∠ADB＝60°， ∴△BCD是等边三角形； （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H， 证明：∴∠DHB＝∠DHC＝90°， ∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°， ∴四边形ABHD 是矩形， ∴AD＝BH，AB＝DH， 由折叠得：∠A＝∠DEB＝90°，AB＝BE， ∴∠BEC＝180°﹣∠DEB＝90°，DH＝BE， ∵∠BEC＝∠DHC＝90°，∠BCE＝∠DCH， ∴△BCE≌△DCH（AAS）， ∴DC＝BC，CE＝CH， ∵DF＝CE， ∴CH＝DF， ∴AD+DF＝BH+CH， ∴AF＝BC， ∴四边形ABCF是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCF是矩形． 20．（1）12； （2）D； （3）该校需要给全校学生每周加一节安全教育课． 解：（1）用50减去其它五组的人数可得： a＝50﹣5﹣7﹣10﹣10﹣6＝12； 故答案为：12； （2）∵A，B，C组的人数之和为5+7+10＝22，A，B，C，D组的人数之和为5+7+10+12＝34， ∴这50份测试成绩的中位数在D组； 故答案为：D； （3）这50人测试的平均分为： ， ∵66.6＜70， ∴该校需要给全校学生每周加一节安全教育课． 21．解：（1）小明思路：过点B作BD∥PC交AP的延长线于点D，如图1， ∴，∠1＝∠D，∠2＝∠3， ∵PC是△PAB的角平分线， ∴∠1＝∠2， ∴∠D＝∠3， ∴PD＝PB， ∴； 小红思路：分别过点P，C作PD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足为D，E，F，如图2， ∵PC是△PAB的角平分线， ∴CE＝CF， ∵，， ∴， ∴； （2）①作弦AB的垂直平分线，交弦AB于点D，交⊙O点E， 由垂径定理得， ②再作线段BD的垂直平分线，交弦AB于点C， ③连接EC并延长交⊙O点P，如图3， 点P即为所求； ∵， ∴PC平分∠APB， ∵， ∴， 由（1）的结论得， 同理，点P2也为所求； （3）如图4所示，作∠BAC的平分线交BC于点D， ∵AB＝3，AC＝4， ∴， ∴， ∵∠BAC＝2∠BAD，∠BAC＝2∠C， ∴∠BAD＝∠C， 又∵∠ABD＝∠CBA， ∴△BDA∽△BAC， ∴， ∴AB2＝BD•BC， 即， ∴BC2＝21， ∴（负值舍去）． 22．（1），； （2）7.2m； （3）﹣10＜b＜2． 解：（1）由题意得：抛物线的表达式为，经过B（12，2），将点B的坐标代入得： ， 解得：， 故抛物线的表达式为y2， 故最高点P的坐标为； （2）根据题意，得：y3.6， 整理，得：（x﹣6）2， 解得：x1，x2， 故x2﹣x17.2（m）； （3）根据题意，得：， 整理，得：x+b﹣2＝0， 直线y＝x+b与隧道AB上方的抛物线有唯一交点， 故有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac0， 整理，得：1﹣10（b﹣2）＝0， 解得：b＝2.1， 此时x， 由隧道AB上方的抛物线满足的条件是0＜x＜12， 不在这个范围中， 故b＝2.1舍去； 当直线y＝x+b与抛物线有唯一交点恰好是A（0，2）时， 此时b＝2， 当直线y＝x+b与抛物线有唯一交点恰好是B（12，2）时， 此时12+b＝2， 解得b＝﹣10， ∵直线y＝x+b与隧道AB上方的抛物线有唯一交点， ∴﹣10＜b＜2． 23．（1）0，3；3，0； （2）； （3）Q（4，3）． 解：（1）∵OA＝OB，，且OA⊥OB， ∴， 解得OA＝OB＝3， ∴点A、B的坐标分别为（0，3），（3，0）， 故答案为：0，3；3，0； （2）如图2，由题意得C（t，0）， 当0＜t＜3时，； 当t＞3时，； 综上，； （3）∵点C在线段OB上且， ∴， 解得t＝2， ∴C（2，0），即OC＝2， 作DT⊥CD，使DT＝OC＝2，如图3， 设∠OEC＝∠BAD＝α， ∵CD＝OE，∠CDT＝∠EOC＝90°，DT＝OC， ∴△CDT≌△EOC（SAS）， ∴∠DCT＝∠OEC＝α，CT＝CE， ∵∠OEC+∠OCE＝90°， ∴∠DCT+∠OCE＝90°， ∴∠ECT＝90°，即△ECT是等腰直角三角形， ∴∠CET＝∠CTE＝45°， ∴∠OET＝α+45°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝45°， ∴∠OAD＝α+45°， ∴∠OET＝∠OAD＝α+45°， ∴AD∥ET， ∵∠EOD＝∠TDO＝90°， ∴AE∥TD， ∴四边形ADTE是平行四边形， ∴AE＝DT＝2； ∴E（0，5），D（7，0）， 如图4，设OG＝n， ∴GC＝2+n， ∵点C是FG的中点，则FC＝2+n， ∴OF＝4+n，DF＝7﹣（4+n）＝3﹣n， ∵PG+AE＝4（DF+OG）， ∴PG+2＝4（3﹣n+n）， 解得PG＝10， ∵PF＝2OF﹣2，即PF＝2（4+n）﹣2＝2n+6， 在Rt△PGF中，PG2＝FG2+PF2，即102＝（4+2n）2+（2n+6）2， 整理得n2+5n﹣6＝0， 解得n1＝﹣6（舍去），n2＝1， ∴OF＝4+n＝5，PF＝2n+6＝8， ∴P（5，8），G（﹣1，0）， ∵E（0，5）， 如图5， ∵四边形EGQP成为平行四边形， ∵点P（5，8）是由点E（0，5）向右平移5个单位，向上平移3个单位得到， ∴将点G（﹣1，0）向右平移5个单位，向上平移3个单位得到Q（4，3）． 24．（1）y＝x2﹣4x+3； （2）PM的最大值为； （3）⊙N的半径是1． 解：（1）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴分别交于点A（1，0）、B（3，0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图1，连接PB、PC，过点P作PD∥y轴，交BC于点D， 二次函数y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，点P是这个函数图象上的一个动点， 当x＝0时，得：y＝3， ∴点C（0，3）， 设直线BC对应函数表达式为y＝kx+3，将点B的坐标代入得： 3k+3＝0， 解得：k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 设点P坐标为（n，n2﹣4n+3），则D（n，﹣n+3）， ∴PD＝﹣n+3﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+3n， 则， 当时，S△PBC的最大值为， ∴， ∴， ∴， ∴PM的最大值为； （3）设点P坐标为（t，t2﹣4t+3），则， 设⊙N的半径为r， ∵PT与⊙N相切，切点为T，二次函数图象的对称轴为直线， ∴PT2＝PN2﹣r2＝（t﹣2）2﹣r2， ∵以PT的长为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等， ∴（t﹣2）2﹣r2＝t2﹣4t+3， ∴r2＝1， ∵r＞0， ∴r＝1， ∴⊙N的半径是1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/25 20:09:27；用户：taianliu20；邮箱：taianliu2009@163.com；学号：4961344 第1页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $