精品解析：2024年5月河北省邯郸市峰峰矿区实验中学中考二模数学试题

2024年河北省初中毕业生升学文化课考试 数学模拟试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共38分） 注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号，科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 25 B. 20 C. 24 D. 30 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点P(a＋l，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 7. 对于反比例函数，下列说法不正确的是　　 A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象经过点（1,-2） D. 若点，都在图象上，且，则 8. 如图，正六边形内接于，正六边形周长是12，则的半径是（ ） A. B. 2 C. D. 9. 几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊了4元钱车费，设实际参加旅游的同学共x人，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平面直角坐标系中有M，N、P，Q四个点，其中的三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个图象上的点是（ ） A. 点N B. 点M C. 点P D. 点Q 12. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 13. 如图，直线，直线分别交，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是（ ） A. B. C. D. 14. 如图．甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离与出发时间的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后（ ）小时第一次相遇． A. 1 B. C. 2 D. 6 15. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才充整 卷Ⅱ（非选择题，共82分） 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 因式分解： ________． 18. 如图，准备在宽24米的迎宾大道路边安装路灯，设计要求：路灯的灯臂长4米，且与灯柱成角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直，灯柱与大道路面垂直，此时恰好为中点． （1）的度数为________． （2）现在由于道路两边都要装路灯，要求，且灯臂缩短为1米，其它位置关系不变．则现在路灯的灯柱高度应该比原设计高度缩短了________米． 19. 小明用长为铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，为圆心． （1）若，A为的中点，则长为______ ； （2）若使得模型的面积最大，则的值为______ 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 如图，佳佳玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球，小球分别标有如图所示的数（x为正整数）；现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数． （1）若佳佳摸取到如下两个小球，请计算出结果； （2）佳佳摸出全部五个球，若计算结果为3，求出x的值． 21. 我校九年级为庆祝毕业典礼开展了文艺汇演活动，需要从九年级挑选出汇演活动的主持人． （1）若有三名候选人A，，竞选主持人，要求九年级的每名学生只能从这三人中选一人（候选人也参与投票），经统计，三名候选人A，，的得票数之比为6：3：1，若候选人所得票数为150票，问九年级共有多少人？ （2）若有2名男生，2名女生为候选人，从这4名学生中随机抽取2名学生作为主持人，请用列举法或树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22. 某地铁一号线全线共28个站点，地铁平均速度1.2千米/分．五一假期甲，乙两人去奥体中心练习游泳，两人住同一小区，甲从小区出发，先用公共自行车骑行5分钟到达地铁站口，已知公共自行车速度是地铁平均速度的，然后进站买票等候a分钟后乘坐地铁，再用时20分钟到达奥体中心，乙直接乘坐私家车去奥体中心，结果他们同时到达．图中折线和线段分别表示甲，乙离开小区的路程与离开时间x（分钟）的函数关系的图象． （1）求的函数解析式，并求s的值； （2）当私家车平均速度是地铁平均速度的，求买票等候上车时间a的值． 23. 如图是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，且G，E，D三点共线，连接．若滑雪杖长为，与水平面也平行，交于H，，，，求此时运动员头部G到坡面的铅垂高度．（精确到）（参考数据：，，） 24. 已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ； （2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 25. 如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为． （1）求的值及顶点的坐标； （2）点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 26. 某同学设计一个图案：在一张纸上，画一个，使，取的中点E，在上方作经过点E且与相切于点C的．其圆心为点O．连接，．发现随着的变化，所在圆的大小及其圆心O的位置也随之变化，设． 计算： （1）如图1．当时，__________； （2）如图2．点O在下方，．求的长； 尝试：若点O在内部（角的边为射线，不含边界），求的取值范围； 探究：若，点A在上，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年河北省初中毕业生升学文化课考试 数学模拟试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共38分） 注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号，科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的概念．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2. 若，则（ ） A. 25 B. 20 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的加法求解即可． 【详解】解：， 所以， 故选：B 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 4. 已知点P(a＋l，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点P（a＋1，2a－3）关于x轴的对称点在第一象限， ∴点P在第四象限． ∴ ． 解不等式①得，a＞－1， 解不等式②得，a＜， 所以不等式组的解集是－1＜a＜． 故选：B． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解不等式>1，得：x<−2， 解不等式3−x≥2，得：x≤1， ∴不等式组的解集为x<−2， 故选B． 【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则． 6. 定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故答案选：B. 【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 7. 对于反比例函数，下列说法不正确的是　　 A. 图象分布第二、四象限 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象经过点（1,-2） D. 若点，都在图象上，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确； B. k=−2<0，当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确； C.∵,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确； D. 若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，,若x1<0< x2,则y2<y1，故本选项错误. 故选:D. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键. 8. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，连接、，过作于点，根据正六边形的特点得到，，进而证明是等边三角形，则，据此可得答案． 【详解】解：连接、，过作于点，如图所示， ∵多边形是正六边形，正六边形周长是12， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是2， 故选：B． 9. 几名同学租一辆面包车去旅游，面包车的租价为240元，出发时又增加了2名同学，结果每个同学比原来少分摊了4元钱车费，设实际参加旅游的同学共x人，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x-2）人，根据每个同学比原来少分摊了4元钱车费，列方程． 【详解】解：设参加旅游的同学共x人，原有人数为（x-2）人， 由题意得， 故选B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可． 10. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据a，b，c对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：−3＜a＜−2＜−1＜b＜0＜3＜c＜4 ∴a＜b＜c，|b|<|c|，a+c＞0，ab<c， ∴A错误，B正确，C错误，D错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图，平面直角坐标系中有M，N、P，Q四个点，其中的三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个图象上的点是（ ） A. 点N B. 点M C. 点P D. 点Q 【答案】A 【解析】 【分析】分别设出点M、N、P、Q四点所在反比例函数的解析式，分别求出各点对应的k值，找出与其他三个不同的k值即可． 【详解】解：设点M、N、P、Q四点所在的反比例函数分别为、、、， ∴、、、分别代入反比例函数，可得： 、、、, 从上面的求值情况可明显看出：点M、P、Q在反比例函数的图象上，点N不在这个反比例函数图象上， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握所在反比例函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于比例系数是解题的关键． 12. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得，，， ∴， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 13. 如图，直线，直线分别交，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用作法得到，利用等腰三角形的性质得到，于是可以计算出，再根据平行线的性质得到，然后根据邻补角的定义得到的度数． 【详解】解：如图所示， ， 由作法得：， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了平行线的性质，等腰三角形的性质． 14. 如图．甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离与出发时间的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后（ ）小时第一次相遇． A. 1 B. C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息，一元一次方程的实际应用，设甲、乙两人在出发后t小时第一次相遇，根据函数图象求出甲、乙的速度，再根据路程速度时间列出方程求解即可． 【详解】解：设甲、乙两人在出发后t小时第一次相遇 由题意得，甲的速度为，乙的速度为， ∴， 解得， ∴甲、乙两人在出发后2小时第一次相遇， 故选：C． 15. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可． 【详解】设圆心为O，为纸条宽，连接，， 则，， ∴，， 设，则， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴半径， 即直径为， 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，，P为对角线上的一个动点，过点作的垂线，交或于点，交或于点，点从点出发以cm/s的速度向终点运动，设运动时间为，以为折线将菱形向右折叠，若重合部分面积为，求t的值，对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ） A. 只有甲答的对 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才充整 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质推出的度数，通过分类讨论的方法得到含有特殊角的直角三角形、、以及等边三角形、，利用面积公式进而列出有关时间的一元二次方程，通过解方程求出. 【详解】解 ：如图，连接交于点 四边形为菱形 ， 在中， 由题意可知， 如图所示，重合部分 在 中，， ， 为等边三角形 如图所示，重合部分 在中，， ， 为等边三角形 或，即甲、丙答案合在一起才完整. 故答案选 . 【点睛】本题考查的是菱形的性质和折叠问题，涉及到的知识点有利用特殊直角三角形求边长、求角度以及等边三角形的判定.是否能用分类讨论的方法解决本题折叠问题是这道题的难点.本题的综合能力较强. 卷Ⅱ（非选择题，共82分） 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式7，然后再使用平方差公式求解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的方法，先提公因式，再看能否套平方差公式或完全平方式． 18. 如图，准备在宽24米的迎宾大道路边安装路灯，设计要求：路灯的灯臂长4米，且与灯柱成角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直，灯柱与大道路面垂直，此时恰好为中点． （1）的度数为________． （2）现在由于道路两边都要装路灯，要求，且灯臂缩短为1米，其它的位置关系不变．则现在路灯的灯柱高度应该比原设计高度缩短了________米． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）利用四边形的内角和即可求出； （2）延长，交于，由直角三角形的性质求出，的长，即可求出的长，从而问题得解． 【详解】解：（1）， 。 ， ， 故答案为： （2）延长，交于点，在中，， 当米时，点为的中点，（米）， ，（米）， 在中，，（米）， 米 当米时， 在中，， （米）， 米，， （米），（米），（米）， 米 高度应该比原设计高度缩短了：米， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是延长，交于，构造直角三角形． 19. 小明用长为铁丝均分后围成如图所示的模型，该模型由四个形状、大小完全一样的扇环组成，为圆心． （1）若，A为的中点，则长为______ ； （2）若使得模型的面积最大，则的值为______ 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题为二次函数应用题，主要考查扇形的周长和面积的计算，正确记忆公式是解题关键． 由，即可求解； 每个扇环的圆心角为，面积为，由，即可求解． 【详解】解：（1）设每个扇环的周长为，则，设， 则， 解得：， 故答案为：； （2）每个扇环的圆心角为，面积为，设每个扇环的周长为，则，设，， 根据题意得：， 则， ，所以抛物线开口向下， 式中， 时，S取值最大，即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 如图，佳佳玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入五个小球，小球分别标有如图所示的数（x为正整数）；现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数． （1）若佳佳摸取到如下两个小球，请计算出结果； （2）佳佳摸出全部的五个球，若计算结果为3，求出x的值． 【答案】（1） （2）x的值为 【解析】 【分析】（1）由题意得，，计算求解即可； （2）由题意得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴结果为3； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴，解得， ∴x的值为． 【点睛】本题考查了根据二次根式的性质化简，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，解一元一次方程．解题的关键在于根据题意列方程并正确的计算求解． 21. 我校九年级为庆祝毕业典礼开展了文艺汇演活动，需要从九年级挑选出汇演活动的主持人． （1）若有三名候选人A，，竞选主持人，要求九年级的每名学生只能从这三人中选一人（候选人也参与投票），经统计，三名候选人A，，的得票数之比为6：3：1，若候选人所得票数为150票，问九年级共有多少人？ （2）若有2名男生，2名女生为候选人，从这4名学生中随机抽取2名学生作为主持人，请用列举法或树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）500 （2） 【解析】 【分析】（1）由候选人B所得票数除以所占比例即可； （2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：九年级共有500人； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 【点睛】本题考查了树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键． 22. 某地铁一号线全线共28个站点，地铁平均速度1.2千米/分．五一假期甲，乙两人去奥体中心练习游泳，两人住同一小区，甲从小区出发，先用公共自行车骑行5分钟到达地铁站口，已知公共自行车速度是地铁平均速度的，然后进站买票等候a分钟后乘坐地铁，再用时20分钟到达奥体中心，乙直接乘坐私家车去奥体中心，结果他们同时到达．图中折线和线段分别表示甲，乙离开小区的路程与离开时间x（分钟）的函数关系的图象． （1）求的函数解析式，并求s的值； （2）当私家车平均速度是地铁平均速度的，求买票等候上车时间a的值． 【答案】（1）， （2）买票等候上车时间 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是能够读懂函数图象，得出正确的信息． （1）根据已知条件求出公共自行车的速度，甲5分钟离开小区的路程，从而求出甲离开小区的总路程，求出，设解析式为，利用待定系数法求出即可； （2）根据已知条件求出私家车的速度，由甲离开小区的路程乙离开小区的路程，列出方程，求出即可． 【小问1详解】 ∵地铁的平均速度为1.2千米/分， 公共自行车速度是千米/分， 甲5分钟走的路程为：千米， ，甲离开小区的总路程为：千米， ， 设直线的解析式为，把代入得：， 的函数解析式为：； 【小问2详解】 ∵甲乙同时到达， 甲走的时间=乙走的时间=分， ∵私家车平均速度是地铁平均速度的， 私家车的速度是千米/分， ∵甲离开小区的路程=乙离开小区的路程， ， 解之得：， 买票等候上车时间． 23. 如图是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实景图与示意图，此时运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，且G，E，D三点共线，连接．若滑雪杖长为，与水平面也平行，交于H，，，，求此时运动员头部G到坡面的铅垂高度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】此时运动员头部G到坡面铅垂高度约为1.8米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据题意可得：，从而可得，再根据垂直定义可得，从而利用平行线的性质可得，进而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再根据平行线的性质可得，最后根据等角的补角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：延长交于点N， 由题意得：， ， ∵， ． ∵， ， ∵， ． 在中，，米， （米）， 在中，， （米）， （米）， ∵， ∵，，， ， 在中，（米）， 此时运动员头部G到坡面的铅垂高度约为1.8米． 24. 已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ； （2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）结论．证明，可得结论． （2）结论成立．证明方法类似（1）． （3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1中， ，，， ，， ， ， ，， ， ． （2）结论成立． 理由：如图2中， ，， ， ， ， ，， ， ． （3）如图3中， 由旋转的性质可知， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 25. 如图，抛物线：与轴相交于，两点（点在点的左侧），已知点的横坐标是2，抛物线的顶点为． （1）求的值及顶点的坐标； （2）点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（点在点的右侧）．当点与点重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从，，中任取一点，，，中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出的值； （2）连接，作轴于，作轴于，证明，可得，，故抛物线的顶点的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于，于，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点的坐标为，再分类讨论即可得出答案． 【小问1详解】 解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； 【小问2详解】 对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于， ∵， ∴， 根据题意，点，关于点成中心对称， ∴过点，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∵抛物线由绕点旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 ∵抛物线由绕轴上的点旋转后得到， ∴顶点，关于点成中心对称，由（2）知，点的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于，于， ∵旋转中心在轴上， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，和不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴，∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了图形的变换—中心对称变换、二次函数综合应用、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，根据旋转中心是对应点连线的中点确定点的坐标和分情况讨论是解答本题的关键． 26. 某同学设计一个图案：在一张纸上，画一个，使，取的中点E，在上方作经过点E且与相切于点C的．其圆心为点O．连接，．发现随着的变化，所在圆的大小及其圆心O的位置也随之变化，设． 计算： （1）如图1．当时，__________； （2）如图2．点O在下方，．求的长； 尝试：若点O在内部（角的边为射线，不含边界），求的取值范围； 探究：若，点A在上，直接写出的值． 【答案】（1）34 （2）；尝试：；探究 【解析】 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，可求得的度数，再根据切线的性质，可求得的度数，据此即可求解； （2）首先根据切线的性质及平行线的性质，可求得，根据勾股定理，可求得，根据弧长公式即可求得的长； 尝试：分两种情况，即可求得的取值范围； 探究：连接，并延长交于点，连接，可证得，，，再根据勾股定理及正切函数的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，， ， 与相切， ， ， ， ， 故答案为：34； 【小问2详解】 解：与相切于点， ，即． 又， ． ，为的中点， ， ，， ， 的长为． 尝试：，， ． 当点在上时，，即． 当点在射线上时，如图， ，即是直角三角形． 又为的中点， ． ， ， ， ，即， 的取值范围为． 探究：如图，连接，并延长交于点，连接． 若点A在上，则． 又，， ， ，即， ， 为中点． 为的中点，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，切线的性质，平行线的性质，勾股定理，弧长公式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正切函数的定义，作出辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$