2026年河北省承德市宽城满族自治县宽城镇黄崖子中学等校中考数学模拟卷一

**基本信息** 这份九年级数学二模试卷以生活情境（微信账单、台灯调节）和文化传承（抖空竹、马拉松奖牌）为载体，通过基础题（实数运算）、中档题（统计概率）、综合题（函数与几何）的梯度设计，全面考查核心知识，体现数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数运算（第1题收支计算）、平行线性质（第2题抖空竹）、科学记数法（第4题奖牌数量）|结合传统文化与生活，如第4题以郑州马拉松奖牌考查科学记数法| |填空题|4/12|三角形三边关系（第14题）、矩形面积（第15题阴影面积）、解直角三角形（第16题电线杆影长）|注重空间观念与运算能力，如第15题通过图形分割考查面积计算| |解答题|8/72|函数探究（第22题直线交点）、圆与平行四边形（第21题）、二次函数综合（第24题）|突出推理与模型意识，如第20题以研学调查考查统计与概率，第23题旋转综合考查几何推理|

九年级数学试题 一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确的选项前面的字母代号填在题目后面的括号内） 1．手机移动支付给生活带来便捷．如图是小李微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小李当天微信收支的最终结果是（　　） A．支出17.00元 B．收入14.00元 C．收入3.00元 D．支出3.00元 2．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示．已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是（　　） A．38° B．44° C．46° D．48° 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4． 2025郑州马拉松奖牌采用“姓氏徽章+完赛奖牌”的组合形式，奖牌融入“杜岭方鼎”“莲鹤方壶”等中原文物意象，并刻有可转动的“百家之源”姓氏铭盘，强调文化与奔跑的联结．若赛事组委会共制作了20000枚磁吸姓氏徽章，将数据20000用科学记数法表示为（　　） A．2×105 B．2×104 C．20×103 D．0.2×105 5．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 7．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　） A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90 8．已知，则的值是（　　） A． B． C． D． 9．如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　） A．∠A＝∠A B．∠ADE＝∠AED C． D． 10．图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．当电阻R为25Ω时，该台灯的电流I是（　　） A．8.8A B．5.5A C．4.4A D．4A 11．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（　　） A．6 B．7 C．6.5 D．10 12．如图，长方形纸片ABCD的边BC在x轴上，且过原点，连结OD．将纸片沿OD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处．若C′（﹣4，3），则点D的纵坐标为（　　） A．9 B．12 C．14 D．15 二、（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．计算：　 　 ． 14．已知三角形三边长分别为2，9，x，则x的取值范围　 　 ． 15．在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，BC＝11cm，则阴影部分图形的总面积为 　 　 cm2． 16．如图所示，电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为 　 　 ．（取1.732，结果保留3个有效数字） 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（7分）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（8分）计算： （1）4cos30°+（1）0|﹣2|； （2）4sin60°﹣（）﹣1； （3）﹣12017﹣|1tan60°|（）﹣2+（2017﹣π）0． 19．（8分）如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G，且EF＝EG． （1）求证：CE是∠ACD的平分线； （2）求证：AC＝AF+CG． 20．（8分）“感受大海滨城的魅力，首选烟台”，为宣传烟台海洋文化，激发爱大烟台的情感，某校组织八年级学生开展“亲近海洋生态，畅享烟台靓丽海景”为主题的研学之旅，策划了五个研学景点，分别为A：蓬莱阁，B：烟台山，C：养马岛，D：渔人码头，E：月亮湾．为了解学生的报名情况，现随机抽取八年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上图文信息回答下列问题： （1）此次调查共抽取了多少名学生？ （2）请将此条形统计图补充完整； （3）在此扇形统计图中，景点B所对应的扇形圆心角的大小为　 　 ； （4）学生小凡和小红各自从以上五个研学景点中任选一个参加研学活动，请利用画树状图或列表的方法求他俩恰好选择不同景点的概率． 21．（9分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）求证：AF与⊙O相切； （3）若tan∠BAC，BC＝12，求⊙O的半径． 22．（9分）从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的探究推理，步步递进，环环相扣，钻研其中，其乐无穷．已知直线y＝kx+b（k＜0，b＞0）分别交x轴、y轴于点A、B，交直线y＝x于点P．点P到x轴的距离记为h． （1）【特例探究】当k＝﹣2，b＝4时，求与h的值； （2）【猜想验证】探究线段OA、OB的长度与h之间的数量关系； （3）【类比推广】将“直线y＝x”更改为“直线y＝ax''，其余条件不变，（2）中的结论会怎么改变？直接写出你探究后的结果． 23．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2，∠C＝60°，点P沿折线AB﹣BC向终点C运动（点P不与点A、C重合），把线段AP绕点P逆时针旋转60°得线段DP，连结AD． （1）求证：△APD是等边三角形； （2）当点D落在边BC上时，求线段AP的长； （3）当时，直接写出△ADP与△ABC重叠部分的面积； （4）当点P在边BC上运动时，在不添加辅助线的情况下，当图中线段围成的三角形中，存在两个相似三角形的相似比为时，直接写出线段CP的长． 24．（12分）已知抛物线y＝x2+bx﹣2经过点（1，3），与y轴交于点A，其顶点为B．设k是抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交点的横坐标，． （1）求b的值； （2）求△OAB的面积； （3）求代数式T﹣2的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A A B C C D B C A A 题号 12 答案 D 13． 5 14． 7＜x＜11 15． 27 16． ． 17．﹣2＜x≤2． 解： 解不等式①，得﹣4x＜9﹣1． ﹣4x＜8， x＞﹣2， 解不等式②，得x≤2， ∴﹣2＜x≤2． 数轴上表示如下： 18．（1）3； （2）﹣2； （3）8． 解：（1）原式＝41﹣22 ＝21﹣22 ＝3； （2）原式＝42﹣2 ＝22﹣2 ＝﹣2； （3）原式＝﹣1﹣|1|+2×4+1 ＝﹣1﹣|1﹣1|+8+1 ＝﹣1﹣0+8+1 ＝8． 19．证明：（1）过点E作EM⊥AC于点M，如图所示： ∵点E在∠BAC的平分线上，EF⊥AB， ∴EF＝EM， ∵EF＝EG， ∴EM＝EG， ∵EM⊥AC，EG⊥CD， ∴点E在∠ACD的平分线上， ∴CE是∠ACD的平分线； （2）在Rt△EAF和Rt△EAM中， ， ∴Rt△EAF≌Rt△EAM（HL）， ∴AF＝AM， 同理证明：Rt△ECG≌Rt△EGM（HL）， ∴CG＝CM， ∴AC＝AM+CM＝AF+CG． 20．（1）此次调查共抽取了100名学生． （2）见解答． （3）108°． （4）． 解：（1）10÷10%＝100（名）． 答：此次调查共抽取了100名学生． （2）C景点的人数为100﹣20﹣30﹣15﹣10＝25（人）． 补全条形统计图如图所示． （3）在此扇形统计图中，景点B所对应的扇形圆心角的大小为360°108°． 故答案为：108°． （4）列表如下： A B C D E A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） （A，E） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （B，E） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （C，E） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） （D，E） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） （E，E） 共有25种等可能的结果，其中他俩恰好选择不同景点的结果有20种， ∴他俩恰好选择不同景点的概率为． 21．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点， ∴BD＝DC，AE＝EC， 在△EDC和△EFA中， ， ∴△EDC≌△EFA（SAS）， ∴DC＝AF，∠EDC＝∠F， ∴BC∥AF，BD＝AF， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）证明：连接AD，如图， ∵AB＝AC，BD＝DC ∴AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AD经过圆心O， 由（1）知：AF∥BC， ∴DA⊥AF， ∵OA为⊙O半径， ∴AF与⊙O相切； （3）解：连接OB，OC，OD，如图， ∵OB＝OC，BD＝CDBC＝6， ∴OD⊥BC，∠BOD∠BOC， ∵∠BAC∠BOC， ∴∠BOD＝∠BAC． ∵tan∠BAC， ∴tan∠BOD， ∵tan∠BOD， ∴， ∴OD＝8， ∴OB10， 解法二：连接CO并延长交⊙O于点G，连接BG，如图， ∵CG为圆的直径， ∴∠GBC＝90°， ∴tan∠BGC． ∵∠BGC＝∠BAC，tan∠BAC， ∴tan∠BGC＝tan∠BAC． ∵BC＝12， ∴BG＝16， ∴CG20． ∴⊙O的半径为10． 22．（1），h； （2）； （3）． 解：（1）当k＝﹣2，b＝4时，y＝﹣2x+4， ∴A（2，0），B（0，4）， ∴AO＝2，BO＝4， 当﹣2x+4＝x时，x， ∴P（，）， ∴，h； （2）y＝kx+b与x轴的交点A（，0），B（0，b）， ∵k＜0，b＞0， ∴AO，BO＝b， ∴， 当kx+b＝x时，解得x， ∴P（，）， ∴h， ∴； （3）由（2）可知， 当ax＝kx+b时，解得x， ∴P（，）， ∴h＝||， ∴． 23．（1）证明见解答； （2）； （3）或； （4）1． （1）证明：由旋转可得AP＝DP，∠APD＝60°， ∴△APD是等边三角形； （2）解：如图， ∵△APD是等边三角形， ∴∠PAD＝60°，AP＝AD， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣60°＝30°， ∵∠C＝60°， ∴∠ADC＝90°， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵∠BAC＝90°，AC＝2，∠C＝60°， ∴， ∴， 设△APD的边长为a，则， ∵S△APDS△ABC， ∴， 解得， ∴， 当点P在AB上运动时，由（2）可得点D恰好落在边BC上，此时△ADP与△ABC重叠部分的面积即为△ADP的面积，面积为； 当点P在BC上运动时，如图，点P此时落在（2）D的位置处， ∵∠PAG＝∠DAG＝30°， ∴AG⊥DP，PG＝DG， ∴此时； 综上，△ADP与△ABC重叠部分的面积为； （4）解：如图，当点P落在（2）中的点D位置时， 由（2）可知∠APB＝90°，， ∴∠APB＝∠CAB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△APB∽△CAB， ∴， ∴， ∵， ∴CP＝AC﹣BP＝4﹣3＝1． 24．（1）4； （2）2； （3）． 解：（1）将点（1，3）代入y＝x2+bx﹣2中， 得3＝12+b﹣2， 解得b＝4． （2）如图， 由（1）知抛物线的表达式为y＝x2+4x﹣2， 将x＝0代入y＝x2+4x﹣2中，得y＝﹣2， ∴点A（0，﹣2）， ∴OA＝2． ∵顶点B的横坐标为， ∴|xB|＝2， ∴． （3）k是抛物线y＝x2+4x﹣2与x轴交点的横坐标， ∴k2+4k﹣2＝0， ∴k2﹣2＝﹣4k， ∴（k2﹣2）2＝（﹣4k）2， ∴k4﹣4k2+4＝16k2 ∴k4﹣20k2+4＝0， ∴k6﹣20k4+4k2＝0． ∴ ． ∵k6﹣20k4+4k2＝0， ∴． ∵k2+4k﹣2＝0， ∴k2+4k＝2， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/24 19:44:59；用户：taianliu20；邮箱：taianliu2009@163.com；学号：4 第15页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $