第15讲 二次根式的加减（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第15讲 二次根式的加减（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】同类二次根式 1.同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式.如与，由于=2，因此与是同类二次根式. 2.判断同类二次根式的一般步骤： （1）“化”：把不是最简二次根式的化为最简二次根式. （2）“看”：看被开方数是否相同，若被开方数相同，则它们是同类二次根式；若被开方数不同，则它们不是同类二次根式. 【知识点02】二次根式的加减 1.法则：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 说明：合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，将化简后根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，如 . 2.步骤： 步骤 示例： （1）化：将每个二次根式都化成最简二次根式. = （2）找：找出被开方数相同的二次根式. = （3）合：类似于合并同类项，合并同类二次根式. =. 辨析：二次根式的乘除与二次根式的加减的区别 二次根式的乘除 二次根式的加减 根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化简每个二次根式，再合并同类二次根式 【知识点03】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算指二次根式的加、减、乘、除、乘方混合运算.其运算顺序为: 先乘方,再乘除,最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号). 注意：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序完全相同，其最终结果一定要化成最简形式. 示例 二次根式的混合运算 【题型一】同类二次根式 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，是整数，与不是同类二次根式； D、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 例2．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）最简根式与是同类根式，则___________． 【答案】2 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类根式， ∴． 变式1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义，即化为最简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 变式2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】1 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．由同类二次根式的定义可得：，解方程可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴． ∴． 故答案为：1． 变式3．（22-23八年级下·江苏·周测）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】同类二次根式、分母有理化、角平分线的性质定理 【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化因式； （2）利用有理化因式变形，再计算即可； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积求高即可；②将等式左边变形，得到，再根据有理系数和无理系数分别相等，可得方程，解之可得a，b值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴的有理化因式为； 故答案为：． （2） ； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，     中，与的角平分线相交于点， 线段， ， 的周长为，面积为3， ， 解得， 即点P到边的距离为； ② ∴，解得：． 【点睛】本题考查了因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质，知识点较多，能够灵活运用，熟练掌握题干中涉及的定义是解题的关键． 【题型二】二次根式的加减运算 例3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的加减运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的混合运算、代数式求值，先估算的取值范围，进而可求得、，然后代入求解即可，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则的整数部分，的小数部分， ∴原式， 故选：． 例4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）计算：______． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查二次根式的加减，先将二次根式化简再合并即可 【详解】解：， 故答案为： 例5．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】零指数幂、二次根式的加减运算 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行加减运算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 变式1．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键；直接合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：C． 变式2．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）读材料：我们规定，若，则称a与b是关于的平衡数，若与m是关于的平衡数，则_______． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的减法运算，根据新定义列出算式计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）化简或计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，分式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先把原式变形为，再根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型三】二次根式的混合运算 例6．（23-24八年级下·江苏南通·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，与2不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 例7．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算：的结果是______． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的计算，根据二次根式的乘法进行计算，然后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 例8．（25-26八年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（22-23八年级下·江苏南京·期末）下列二次根式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、与无意义，故此选项错误； D、，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是_______． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了二次根式的化简与求值，估算无理数的大小，利用算术平方根的意义求得值是解题的关键． 利用算术平方根的意义求得值，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴的整数部分为 1 ，小数部分为．即， 则． 故答案为：． 变式3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 (1)__________，__________； (2)请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； (3)求的值． 【答案】(1)6； (2)， (3) 【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形 【分析】（1）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （2）阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可； （3）先根据阅读材料代入，然后分母有理化，最后再整理即可解答． 【详解】（1）解：根据已知内容归纳总结可得： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 …， （是的面积）． （2）解：阅读新定义，根据已知内容归纳总结可得： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 …， （是的面积）． （3）解： ． 【题型四】已知字母的值，化简求值 例9．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）若，则代数式的值是______． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式，先将原式进行因式分解，然后将代入即可求出答案， 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：． 例10．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值． 【答案】97 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 变式1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 【答案】D 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】根据完全平方公式可得，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 变式2．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）若，则______． 【答案】3 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】根据完全平方公式得到，再把代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确利用完全平方公式得到是解题的关键． 变式3．（24-25八年级·江苏苏州·月考）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键． （1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可； （2）根据（1）所求，结合计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【题型五】已知条件式，化简求值 例11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知条件式，化简求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 例12．（22-23八年级下·江苏·期末）已知，求． 【答案】． 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据得，则，，将原式化为，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题关键． 变式1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据已知条件得出x、y同号，并且x、y都是负数，求出x=-1，y=-4或x=-4，y=-1，再求出答案即可． 【详解】解：，， 、同号，并且、都是负数， 解得：，或，， 当，时， ； 当，时， ， 则的值是， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 变式2．如果，，那么______． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后将式子的值代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 变式3．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求值． 【答案】（1）；（2）11 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案． （2）先由x与y的值计算出x﹣y和xy的值，再代入原式＝x2﹣2xy+y2+xy＝（x﹣y）2+xy计算可得． 【详解】解：（1）原式 ， 当时，原式． （2）∵，， ∴， ， 原式＝x2﹣2xy+y2+xy ＝（x﹣y）2+xy ＝（2）2﹣1 ＝12﹣1 ＝11． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式． 【题型六】比较二次根式的大小 例13．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 例14．（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：________．（填>，<，=） 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了实数大小比较，首先比较出和的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例15．（25-26八年级·江苏南京·月考）已知：，求证： 【答案】见解析 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 变式1．比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】把二次根式变形后比较被开方数即可. 【详解】解：=，=， ∵45<75， ∴<． 即<， 故选：B 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，掌握被开方数越大，算术平方根就越大是解决此题的关键. 变式2．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）比较下列实数的大小： ______． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 变式3．阅读下面的材料，解决问题 像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化． 例如：；； （1）计算：； （2）计算：； （3）比较和的大小，并说明理由； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）． 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】（1）分子分母同乘以即可得； （2）先将各式子进行分母有理化，再计算二次根式的加减法即可得； （3）计算与0的大小即可得； （4）先将分子分母同乘以，再同乘以即可得． 【详解】解：（1）， ， ； （2）原式， ， ； （3）， ， ， ， ， ，即， 又， ； （4）原式， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【题型七】二次根式的应用 例16．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的应用、数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，计算相邻两项的比值，发现斐波那契数列相邻两项的比值逐渐趋近于黄金分割比例．黄金分割比例的具体值为，即可得出结果． 【详解】解：计算相邻两项的比值：，，，，，，，，． 观察可知，比值逐渐趋近于一个固定值， ∵， ∴相邻两数的比值趋近于， 故选：D． 例17．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）长方形的一边的长是，面积为，则这个长方形的周长为______. 【答案】/厘米 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据长方形的面积公式求出另一边的长度，再利用周长公式计算周长． 【详解】解：∵长方形的一边的长是，面积为， ∴另一条边长为：， ∴周长为：， 故答案为：． 例18．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） (2)求矩形木板的面积； (3)木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 【答案】(1) (2) (3)4 【知识点】二次根式的应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查二次根式的应用，无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）正方形的边长等于面积的算术平方根； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，相乘即可； （3）比较矩形的长与木条的长之间的数量关系，矩形的宽与木条的宽之间的数量关系，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ， 即矩形木板的面积为； （3）解：，， 最多能截出的木条数量为：， 故答案为：4． 变式1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 变式2．（22-23八年级下·江苏·周测）如果一个长方形的面积为，它的一边长是，那么这个长方形的周长是_________． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】首先根据长方形的面积计算公式利用面积除以一边长得出另一边长，进一步利用长方形的周长计算公式求得周长即可． 【详解】解：由题意可得： 长方形的另一边长为：， ∴长方形的周长是， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的实际运用，掌握长方形的面积与周长计算方法以及二次根式的运算方法是解决问题的关键． 变式3．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】(1)该楼层落地时的速度为 (2)不正确，见解析 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简． （1）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果； （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式，然后与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论． 【详解】（1）解：把，， 代入得： ， ∴该楼层落地时的速度为； （2）不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的2倍， ∴， 将的值代入公式中得： v小明， ∴2， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小明的说法不正确． 一、单选题 1．有下列说法：（1）2的平方根是；（2）与是同类二次根式；（3）与互为倒数；（4）的绝对值是．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式，倒数，绝对值的含义判断即可解答． 【详解】解：对于（1），2的平方根是，2的算术平方根是，故（1）错误； 对于（2），与是同类二次根式，故（2）正确； 对于（3），，即与互为倒数，故（3）正确； 对于（4），由得的绝对值是，故（4）正确； 故错误的有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了同类二次根式、平方根、倒数以及绝对值，掌握平方根、同类二次根式、倒数以及绝对值的运算是解题的关键． 2．估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】A 【分析】根据二次根式的混合运算得出，根据，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 3．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、算术平方根等知识点，掌握二次根式加减运算法则成为解题的关键． 直接根据二次根式的加减运算法则和算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能进行加减运算，错误，不符合题意；     B． ，错误，不符合题意； C． 和不是同类二次根式，不能进行加减运算，不符合题意； D． ，正确，符合题意． 故选D． 4．已知两个二次根式：，，将这两个二次根式进行如下操作：第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为……；以此类推．则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，规律探索，观察每次操作后M和N的乘积规律，发现，，从而得出，进而得出结果． 【详解】解：第一次操作：，， 则； 第二次操作：，， 则， 第三次操作：，， 则； 第四次操作：，， 则； 第5次操作：， ， 则． 故选：C． 5．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 二、填空题 6．计算的结果是___________． 【答案】 【分析】根据合并同类二次根式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的加法运算，熟记合并同类二次根式的法则是解本题的关键． 7．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，以及平方差公式在题目中的应用. 根据同底数幂的乘法法则进行拆分，再利用积的乘方公式进行组合，然后用平方差公式计算括号内的部分，再最后得到结果. 【详解】解：原式 故答案为：． 8．计算的结果是___________． 【答案】5． 【分析】二次根式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号要先算小括号里面的． 【详解】解： = = =． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 9．∵，∴； ∵，∴； ∵，∴． 请你根据以上规律，结合你的经验化简___________． 【答案】/ 【分析】直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键． 三、解答题 10．计算：＋（4﹣8）÷2． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质和二次根式的除法法则计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式=4＋4÷2﹣8÷2 ＝4+2﹣4 ＝2． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． 11．比较大小. (1)与6 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实数的大小比较法则即可得； （2）将两个数作差，根据实数的运算法则、无理数的估算即可得． 【详解】（1）解：， ， 即． （2）解： ， ， ，即， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算、实数的运算，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 12．请阅读下面材料，并解决问题： 海伦——秦九韶公式 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积．这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202－1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式． 问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积． 【答案】 【分析】已知三角形ABC的三边为整数，直接将其带入海伦公式求面积即可. 【详解】解：根据材料，得，，， ， ． 【点睛】本题题型属于阅读理解型，解题的关键是通过阅读理解材料中所给的定义以及概念，再运用材料中的知识点解决对应的问题即可． 13．有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算； 【详解】（1）由题知，，， 正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ，， 长方形木板的面积． （2）若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， 则该长方形木料的长为． 14．在边长为1的正方形中放置5个大小相同的小正方形，现在有如下两个放置方案（这两个方案中小正方形的边长分别为，）： 图形 边长满足的条件 边长的值 方案一 方案二 ①______ ②______ (1)补全表格； (2)比较与的大小关系并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】（1）观察方案二图形可知小正方形对角线的2倍等于大正方形的边长，由此可解； （2）与作差，看结果与0的关系即可判断． 【详解】（1）解：∵小正方形的边长为， ∴ 小正方形的对角线长为， ∴ ， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查正方形的性质和二次根式，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 15．先阅读，再解答：由可以看出，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，请完成下列问题： (1)﹣1的有理化因式是 　　； (2)化去式子分母中的根号：　　．（直接写结果） (3)求证：＜； (4)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)2017 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的乘法和除法． （1）利用有理化因式的定义求解； （2）把分子分母都乘以 ，然后利用平方差公式计算； （3）利用分母有理化，通过比较它们的倒数的大小得到结论； （4）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）∵ 的有理化因式是； 故答案为； （2）； 故答案为； （3）证明：∵，， 而， ∴ ∴ （4）解：原式 16．如图1，从一个大正方形纸板中截去面积分别为8，32的两个小正方形． (1)求留下的部分（阴影部分）的面积； (2)如图2，用余下部分的长方形纸板A，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，高为a，求盒子的底面积； (3)用余下部分的长方形纸板B，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，而且长与宽的比是，求这个盒子的容积． 【答案】(1)32 (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式是解答关键． （1）先求得两个小正方形的边长，进而利用长方形的面积公式求解即可； （2）利用长方形纸板的面积减去四个小正方形的面积即可求得底面积； （3）设底面长方形的宽为x，长为3x，利用长方体的容积等于长×宽×高求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴留下的部分的面积为； （2）解：由题意， 盒子的底面积为； （3）解：设底面长方形的宽为x，长为3x， 由题意，得，∴， ∴无盖的长方体盒子的高为， ∴无盖的长方体盒子的容积为． 17．阅读材料： 小聪通过网络搜索，查到了三种平均数的定义，如下： 对于两个数， 称为这两个数的算术平均数， 称为这两个数的几何平均数， 称为这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，则___________，___________； (2)小聪发现当两数异号时，在实数范围内没有意义，所以只研究当都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式、二次根式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形，以及它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请在图2，图3中用阴影画出面积分别为的图形； ②借助图形可知：当都是正数时，的大小关系是：___________．（把从小到大排列，并用“<”或“”号连接） 【答案】(1)； (2)①见解析；② 【分析】（1）将分别代入的公式中求值即可； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、长方形和直角三角形的面积公式即可得到答案； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 二次根式的加减（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】同类二次根式 1.同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式.如与，由于=2，因此与是同类二次根式. 2.判断同类二次根式的一般步骤： （1）“化”：把不是最简二次根式的化为最简二次根式. （2）“看”：看被开方数是否相同，若被开方数相同，则它们是同类二次根式；若被开方数不同，则它们不是同类二次根式. 【知识点02】二次根式的加减 1.法则：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 说明：合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，将化简后根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律的逆向运用，如 . 2.步骤： 步骤 示例： （1）化：将每个二次根式都化成最简二次根式. = （2）找：找出被开方数相同的二次根式. = （3）合：类似于合并同类项，合并同类二次根式. =. 辨析：二次根式的乘除与二次根式的加减的区别 二次根式的乘除 二次根式的加减 根号外的因数（式） 根号外的因数（式）相乘除 根号外的因数（式）相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化简每个二次根式，再合并同类二次根式 【知识点03】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算指二次根式的加、减、乘、除、乘方混合运算.其运算顺序为: 先乘方,再乘除,最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号). 注意：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序完全相同，其最终结果一定要化成最简形式. 示例 二次根式的混合运算 【题型一】同类二次根式 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）最简根式与是同类根式，则___________． 变式1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（   ） A．1 B．3 C．6 D．7 变式2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则________． 变式3．（22-23八年级下·江苏·周测）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【题型二】二次根式的加减运算 例3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C．1 D．-1 例4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）计算：______． 例5．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 计算： (1)； (2) 变式1．（2024八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D．2 变式2．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）读材料：我们规定，若，则称a与b是关于的平衡数，若与m是关于的平衡数，则_______． 变式3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）化简或计算： (1) (2) 【题型三】二次根式的混合运算 例6．（23-24八年级下·江苏南通·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例7．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算：的结果是______． 例8．（25-26八年级下·江苏·期中）计算： (1) (2) 变式1．（22-23八年级下·江苏南京·期末）下列二次根式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是_______． 变式3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题： （是的面积）； （是的面积； （是的面积 (1)__________，__________； (2)请用含有（为正整数）的式子填空：__________，__________； (3)求的值． 【题型四】已知字母的值，化简求值 例9．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）若，则代数式的值是______． 例10．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值． 变式1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知，，则的值等于（　　） A．0 B．4 C． D．16 变式2．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）若，则______． 变式3．（24-25八年级·江苏苏州·月考）已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【题型五】已知条件式，化简求值 例11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为______． 例12．（22-23八年级下·江苏·期末）已知，求． 变式1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式2．如果，，那么______． 变式3．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求值． 【题型六】比较二次根式的大小 例13．比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 例14．（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：________．（填>，<，=） 例15．（25-26八年级·江苏南京·月考）已知：，求证： 变式1．比较：（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 变式2．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）比较下列实数的大小： ______． 变式3．阅读下面的材料，解决问题 像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化． 例如：；； （1）计算：； （2）计算：； （3）比较和的大小，并说明理由； （4）计算：． 【题型七】二次根式的应用 例16．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 例17．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）长方形的一边的长是，面积为，则这个长方形的周长为______. 例18．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为___________ ；（填最简二次根式） (2)求矩形木板的面积； (3)木工乙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出___________根这样的木条． 变式1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·江苏·周测）如果一个长方形的面积为，它的一边长是，那么这个长方形的周长是_________． 变式3．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． (1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； (2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 一、单选题 1．有下列说法：（1）2的平方根是；（2）与是同类二次根式；（3）与互为倒数；（4）的绝对值是．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 3．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知两个二次根式：，，将这两个二次根式进行如下操作：第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为……；以此类推．则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 5．已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算的结果是___________． 7．计算：________． 8．计算的结果是___________． 9．∵，∴； ∵，∴； ∵，∴． 请你根据以上规律，结合你的经验化简___________． 三、解答题 10．计算：＋（4﹣8）÷2． 11．比较大小. (1)与6 (2)与 12．请阅读下面材料，并解决问题： 海伦——秦九韶公式 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积．这个公式称为海伦公式．秦九韶（约1202－1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式． 问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积． 13．有一块长方形木板，采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)若从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，求该长方形木料的长． 14．在边长为1的正方形中放置5个大小相同的小正方形，现在有如下两个放置方案（这两个方案中小正方形的边长分别为，）： 图形 边长满足的条件 边长的值 方案一 方案二 ①______ ②______ (1)补全表格； (2)比较与的大小关系并说明理由． 15．先阅读，再解答：由可以看出，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，请完成下列问题： (1)﹣1的有理化因式是 　　； (2)化去式子分母中的根号：　　．（直接写结果） (3)求证：＜； (4)利用你发现的规律计算下列式子的值：． 16．如图1，从一个大正方形纸板中截去面积分别为8，32的两个小正方形． (1)求留下的部分（阴影部分）的面积； (2)如图2，用余下部分的长方形纸板A，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，高为a，求盒子的底面积； (3)用余下部分的长方形纸板B，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突起的部分折起，制成一个无盖的长方体盒子，如果这个盒子的底面是长方形，而且长与宽的比是，求这个盒子的容积． 17．阅读材料： 小聪通过网络搜索，查到了三种平均数的定义，如下： 对于两个数， 称为这两个数的算术平均数， 称为这两个数的几何平均数， 称为这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，则___________，___________； (2)小聪发现当两数异号时，在实数范围内没有意义，所以只研究当都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式、二次根式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形，以及它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请在图2，图3中用阴影画出面积分别为的图形； ②借助图形可知：当都是正数时，的大小关系是：___________．（把从小到大排列，并用“<”或“”号连接） 1 学科网（北京）股份有限公司 $