专题11.3 二次根式的加减（知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共46题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦二次根式的加减核心知识点，系统梳理同类二次根式的定义与合并方法，以及二次根式加减运算的步骤与混合运算规则，构建从最简二次根式到同类二次根式判断再到加减运算的递进式学习支架。 资料通过知识梳理中的易错点拨强化抽象能力，考点讲练结合典例与变式提升运算能力，真题演练与分层训练（基础夯实、创新拓展）渗透应用意识，如座钟周期计算等实例。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.3 二次根式的加减『第十一章 二次根式』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共46题） 解析版 1 知识点一 同类二次根式 1 知识点二 二次根式加减法 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 同类二次根式 2 考点讲练二 二次根式的加减运算 3 考点讲练三 二次根式的混合运算 5 考点讲练四 已知字母的值，化简求值 6 考点讲练五 已知条件式，化简求值 8 考点讲练六 比较二次根式的大小 9 考点讲练七 二次根式的应用 10 中考真题 实战演练 13 难度分层 闯关训练 21 【基础夯实 能力提升】 21 【创新拓展 拔尖冲刺】 27 知识点一 同类二次根式 1.同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 【易错点拨】 (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。 2.合并同类二次根式：合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变。 【易错点拨】（1）根号外面的因式就是这个根式的系数。 （2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式。 （3）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，不是同类二次根式不能合并。 知识点二 二次根式加减法 1.二次根式的加减：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 【易错点拨】（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： ①将每个二次根式都化简成为最简二次根式； ②判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； ③合并同类二次根式. 2.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用。 【易错点拨】 (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式。 考点讲练一 同类二次根式 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式（可合并二次根式）的定义，先化简，再根据同类二次根式的定义求的最小正整数值即可． 【详解】解：∵，与可以合并， ∴正整数的最小值是． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东聊城·月考）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，则____． 【答案】3 【分析】根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式是同类二次根式时，被开方数相等，据此列方程求解，结合二次根式有意义的条件验证结果即可． 【详解】解：根据题意得：， 移项得：， 系数化为得：， 当时，，，两个根式和均为最简二次根式，符合题意． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式可以合并， 二者是同类二次根式，化简后被开方数相等， 得 ， 解得 ． 考点讲练二 二次根式的加减运算 【典例分析】（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可； （2）分子分母同时乘以即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练1】（25-26八年级下·山西阳泉·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各二次根式，再根据二次根式的加减乘除运算法则计算各选项，判断运算是否正确． 【详解】解：选项A：，而，故A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，等式成立，C正确； 选项D：，D错误． 【变式训练2】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点讲练三 二次根式的混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）解方程与计算： (1)解分式方程： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可； （2）先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： ． 【变式训练2】（25-26八年级下·河南开封·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算的运算法则进行计算即可求解； （2）先计算平方差和完全平方，再进行加减即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 考点讲练四 已知字母的值，化简求值 【典例分析】（25-26八年级下·山西阳泉·月考）已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式除法法则，并通分，再整体代入求值即可． 【详解】解：． 当，时， 原式． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据题意求出和的值，再根据计算求解即可； （2）根据正方形的面积公式求出阴影正方形的边长，进而求出阴影长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ， ∴ ； （2）解：由题意可得阴影正方形的边长为， ∴阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的面积为． 【变式训练2】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，则______． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴， 当时，， ∴． 考点讲练五 已知条件式，化简求值 【典例分析】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，求下列代数式的值； (1)； (2)． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）先求得，再利用完全平方公式求解即可； （2）先求得，，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①; ② 【分析】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知，，则的值为______． 【答案】3 【详解】解：根据题意，， ∴，整理得，， ∴，化简得， ∴． 考点讲练六 比较二次根式的大小 【典例分析】（2026九年级下·吉林长春·专题练习）比较大小：______．（用“”“”“”填空） 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，灵活运用平方法比较两个正实数的大小是解题的关键．根据两个正实数比较大小时，平方后数值大的原数更大的性质，分别计算与的平方，进而比较出与的大小． 【详解】解： ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】通过比较平方的大小来判断平方根的大小，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴； 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 考点讲练七 二次根式的应用 【典例分析】（25-26八年级下·山西阳泉·月考）座钟的摆针摆动一个来回所需要的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T（单位：）表示周期，（单位：）表示摆长，π取3，现有一台迷你座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次“嘀嗒”声．求内该座钟大约发出多少次“嘀嗒”声． 【答案】内该座钟大约发出100次“嘀嗒”声 【分析】先根据公式求出一个周期的时间，再将1分钟化为秒，并除以一个周期可得答案． 【详解】解：由题意． 因为，所以（次）， 答：内该座钟大约发出100次“嘀嗒”声． 【变式训练1】（25-26八年级下·四川南充·月考）阅读材料：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ，，即， 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则________． (2)若，且、均为正整数，求的值； (3)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2) (3)时， 有最大值为5． 【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征求解即可； （2）将等式平方得到，再结合、均为正整数得到方程，求解即可； （3）仿照题干，将代数式配方，得到，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 、均为正整数， ，， ，， ； （3）解：， ， ， ，即， 当，即时，有最大值为，此时有最大值为5． 【变式训练2】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)求图①中阴影部分的周长； (2)小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁出，见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，即可计算正方形纸片A、B的边长，再得出阴影部分的长，宽，即可作答； （2）先求出原长方形纸片的长为，然后计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为；正方形纸片B的边长为， 则阴影部分的宽为，长为， ∴图①中阴影部分的周长为：； （2）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为，原长方形纸片的长为 则， ∴不能在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片． 【真题演练1】（2025·江苏南通·中考真题）如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、二次根式的应用、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．作于点，交于点，利用等腰直角三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，结合推出，利用等腰三角形的判定得到，设，表示出，列出方程求出的值，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作于点，交于点， 等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， 又， ，， ， ， 设，则， ，， ，， ， ， 解得：， ，， ， ， 的长为． 故答案为：． 【真题演练2】（2025·安徽淮南·中考真题）如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为__________； （2）的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质和勾股定理等． （）利用正方形的性质可得，利用折叠的性质可证，即得，进而得到，即可求解； （）设，则，得到，进而可得，即得，代入计算即可求解． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【真题演练3】（2025·重庆铜梁·中考真题）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时， 故该选项①正确； ②， 当，则 当则． 故选项②正确； ③， 当时， ，所以不存在， 故该选项③正确； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故该选项④错误． 故选：C． 【真题演练4】（2025·浙江杭州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E．下列结论中错误的是（    ） A． B．点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是 C．将等边沿x轴对称，则点B的对称点落在上 D．当点C的坐标为时，四边形的面积S与m的函数关系式为： 【答案】D 【分析】易证，即可证明；根据，根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半可以得到，从而得到点E的坐标是固定的；点会落在直线上，通过证明所以即可；根据，可得四边形的面积即可解题． 【详解】∵是等边三角形， ∴，． 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即． 在和中， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴点的位置不会发生变化，的坐标为，故B正确； ∵， ∴， 从而得，所以． ∴， ∴点会落在直线上，故C正确； ∵点C的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， 如图，过点B作轴于点，过点D作轴于点H， ∴， ， ∴四边形的面积 ，故D错误． 故选：D． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，根据题干信息，得到（，且n为整数），是解题的关键： （1）仿照题干给出的特例，作答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可； （3）利用规律先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明：∵，且n为整数， ∴ ， ； （3）解： ， ∵的小数部分是0.1 ∴， ∴， ∴的整数部分为． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 2．（2026·河北石家庄·一模）计算等于（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解： ． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题直接利用题目给出的海伦公式计算三角形面积，先求出半周长，再代入公式化简即可得到结果。 【详解】解：∵三边长分别为 ， ∴半周长 代入海伦公式计算得： ． 4．（25-26八年级下·安徽六安·月考）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______． 【答案】或 【分析】根据题中公式，将，，得到，分类求解即可． 【详解】解：将，代入得 ， 将方程两边平方并整理得， 开方得， 即， 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 当时，，解得或（边长为负值，舍去）； 综上所述，的值为或． 5．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 6．（25-26八年级下·贵州黔东南·月考）若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 【答案】 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴． 8．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： (1)化简：________； (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）先化简，再变形 ，最后代入求值即可； （3）先得出 （n为正整数），再将式子变形为 ，最后进行加减，并化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵ ， 代入， 得； （3）解：由题意可得 （n为正整数）， ∴ ． 9．（25-26八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先计算二次根式的除法和化简二次根式，再合并即可； （2）原式根据平方差公式将括号展开，化简二次根式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，已知点A，画一个，使它的三边长分别为，，； (2)请判断的形状并说明理由； (3)在（1）的条件下，求点A到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理结合网格画出，使得，，即可； （2）根据勾股定理逆定理即可解答； （3）过点作，交于点，则即为点到直线的距离，利用等面积法计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， （3）解：过点作，交于点，则即为点到直线的距离． ， 由（1）可得：是直角三角形，， ∵， ∴，即点到直线的距离为． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（23-24九年级下·湖北十堰·自主招生）已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据图形可知大长方形的长既是小长方形宽的3倍，又是小长方形长的2倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断． 【详解】解：由题意，小长方形的长为， 大长方形的长为， 小长方形的宽为， 大长方形的宽为， 即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为， 大长方形的周长为， 大长方形的面积为， 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）小明用如图1所示的喷壶浇花，图2为其截面图，截面图中长方形的面积为，，壶中水面与交于点F，当喷壶与水平面的夹角时，的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质．先根据矩形的面积求出，再求出，得出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵矩形的面积为，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 故选：A． 4．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）如图，在中，，，，点D是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接．若，则的长为________． 【答案】 【分析】作于点，利用勾股定理求得，证明和，求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则=______． 【答案】 【分析】根据，可知a、b均为负数，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴a、b均为负数， ∴ ． 6．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，直线：与x轴交于点A，与经过点的直线m交于第一象限内点C，点E为直线上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接、、，若，，则的值为_____． 【答案】或 【分析】过点D作于点F，延长交y轴于点G，求出的解析式，联立方程组，求出点F的坐标，分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可． 【详解】解：过点D作于点F，延长交y轴于点G， ∵点，且点D为点B关于y轴的对称点， ∴， ∴； 又， ∴， 设直线l：交轴于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴， 取的中点，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴； 设直线所在直线解析式为 ， 把，代入得 解得； ∴直线所在直线解析式为； 联立， 解得， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； ①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ∴， 在中，， ∴； ②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 7．（25-26八年级下·全国·周测）已知，当分别取1，2，3，…，2025时，所对应的值的总和是____________． 【答案】2027 【分析】本题考查了二次根式的化简、绝对值的分段化简与分段函数的求和，掌握将二次根式化为绝对值形式后，根据字母取值范围分段计算是解题的关键． 先将根号内的式子化为完全平方式，转化为绝对值形式，再根据与的大小关系分情况化简函数，最后分别计算不同取值对应的值，求和得到结果． 【详解】解：由 ，因 ，故 当 时，， ； 当 时，， ； 取时：；；总和为． 取到时，共个值，每个，总和为． 故所有值的总和为． 故答案为 ：． 8．（25-26八年级下·上海·月考）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为1． (1)直接写出四边形的周长与面积； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并画出密铺之后新正方形的示意图． 【答案】(1)周长为，面积为 (2)新正方形的面积为；周长为；示意图见解析 【分析】（1）先求出等腰直角三角形④的腰长，可得正方形⑥的边长，进而得到等腰直角三角形①的腰长，再分别求出等腰直角三角形①和④的底边长，即可求出，进而求出，即可求出四边形的周长与面积； （2）根据③，④，⑤，⑥，⑦五块板的面积和为，可得用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为，即可解答． 【详解】（1）解：∵编号为④的等腰直角三角形的面积为1， ∴等腰直角三角形④的腰长为， ∴正方形⑥的边长为， ∴等腰直角三角形①的腰长为， ∴等腰直角三角形①的底边长为， ∵等腰直角三角形④的底边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为，面积为； （2）解：∵③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出的正方形的面积刚好是的面积， ∴新正方形的面积为； ∴用③，④，⑤，⑥，⑦五块板密铺出一个新正方形的边长为， ∴新正方形的周长为； 示意图如下： ． 9．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【方法应用】 (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， ． 10．（25-26八年级下·山东日照·月考）已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的最长边的长度是______________（请直接写出答案）． (2)请求出（用含的代数式表示，结果要求化简）． (3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为，，，三角形的面积为．若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）依据三条边的长度分别是，，，即可得到当时，的最长边的长度； （2）依据根式有意义可得，进而化简得到的周长； （3）依据（2）可得，且，由于x为整数，且要使取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积． 【详解】（1）解：当时，，， ∴的最长边的长度是3； （2）解：由题知：， 解得：， ∴，， ∴ ． （3）解：∵，且， 又∵x为整数，且有最大值， ∴， 即当取最大值时，才能使有最大值， ∴当时，则，，， 即三边长度分别为1，4，， ∵ ∴，不满足三角形三边关系 ∴ 当时，同理得出三边长度分别为2，2，3， ∵， ∴满足三角形三边关系． 此时的最大值为， 依题意，令，，， ∴ ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.3 二次根式的加减『第十一章 二次根式』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共46题） 原卷版 1 知识点一 同类二次根式 1 知识点二 二次根式加减法 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 同类二次根式 2 考点讲练二 二次根式的加减运算 3 考点讲练三 二次根式的混合运算 3 考点讲练四 已知字母的值，化简求值 4 考点讲练五 已知条件式，化简求值 4 考点讲练六 比较二次根式的大小 5 考点讲练七 二次根式的应用 5 中考真题 实战演练 7 难度分层 闯关训练 9 【基础夯实 能力提升】 9 【创新拓展 拔尖冲刺】 11 知识点一 同类二次根式 1.同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 【易错点拨】 (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。 2.合并同类二次根式：合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变。 【易错点拨】（1）根号外面的因式就是这个根式的系数。 （2）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式。 （3）合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似，不是同类二次根式不能合并。 知识点二 二次根式加减法 1.二次根式的加减：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式. 【易错点拨】（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： ①将每个二次根式都化简成为最简二次根式； ②判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； ③合并同类二次根式. 2.二次根式的混合运算：二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用。 【易错点拨】 (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式。 考点讲练一 同类二次根式 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）如果与可以合并，那么正整数的最小值是（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式训练1】（25-26八年级下·山东聊城·月考）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，则____． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 考点讲练二 二次根式的加减运算 【典例分析】（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算： (1)； (2) 【变式训练1】（25-26八年级下·山西阳泉·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1) (2)； 考点讲练三 二次根式的混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·湖北十堰·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练1】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）解方程与计算： (1)解分式方程： (2)计算： 【变式训练2】（25-26八年级下·河南开封·期中）计算： (1) (2) 考点讲练四 已知字母的值，化简求值 【典例分析】（25-26八年级下·山西阳泉·月考）已知，，求的值． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 【变式训练2】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，则______． 考点讲练五 已知条件式，化简求值 【典例分析】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，求下列代数式的值； (1)； (2)． 【变式训练1】（25-26八年级下·浙江金华·月考）小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)计算：． (2)若． ①求的值； ②求的值． 【变式训练2】（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知，，则的值为______． 考点讲练六 比较二次根式的大小 【典例分析】（2026九年级下·吉林长春·专题练习）比较大小：______．（用“”“”“”填空） 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）比较大小：_________（填“”“ ”或“”）． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练七 二次根式的应用 【典例分析】（25-26八年级下·山西阳泉·月考）座钟的摆针摆动一个来回所需要的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T（单位：）表示周期，（单位：）表示摆长，π取3，现有一台迷你座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次“嘀嗒”声．求内该座钟大约发出多少次“嘀嗒”声． 【变式训练1】（25-26八年级下·四川南充·月考）阅读材料：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ，，即， 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)式子是完全平方式，则________． (2)若，且、均为正整数，求的值； (3)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． 【变式训练2】（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)求图①中阴影部分的周长； (2)小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【真题演练1】（2025·江苏南通·中考真题）如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为______． 【真题演练2】（2025·安徽淮南·中考真题）如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为__________； （2）的值为__________． 【真题演练3】（2025·重庆铜梁·中考真题）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【真题演练4】（2025·浙江杭州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点C为x轴正半轴上一动点（），连接，以线段为边在第四象限内作等边，直线交y轴于点E．下列结论中错误的是（    ） A． B．点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是 C．将等边沿x轴对称，则点B的对称点落在上 D．当点C的坐标为时，四边形的面积S与m的函数关系式为： 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 2．（2026·河北石家庄·一模）计算等于（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由古希腊数学家海伦和南宋数学家秦九韶分别提出的三角形面积公式：，（其中为三角形三边长，）也可求出三角形面积．已知三边长分别为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽六安·月考）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，，则的值为______． 5．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 6．（25-26八年级下·贵州黔东南·月考）若，，则代数式的值等于____． 7．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 8．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）对于分母中含有根号的式子可以进行如下化简，例如：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”．根据以上方法，解答下列问题： (1)化简：________； (2)若，求的值； (3)计算：． 9．（25-26八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，已知点A，画一个，使它的三边长分别为，，； (2)请判断的形状并说明理由； (3)在（1）的条件下，求点A到直线的距离． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（23-24九年级下·湖北十堰·自主招生）已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 3．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）小明用如图1所示的喷壶浇花，图2为其截面图，截面图中长方形的面积为，，壶中水面与交于点F，当喷壶与水平面的夹角时，的长为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）如图，在中，，，，点D是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接．若，则的长为________． 5．（24-25八年级下·山东烟台·期末）已知，则=______． 6．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，直线：与x轴交于点A，与经过点的直线m交于第一象限内点C，点E为直线上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接、、，若，，则的值为_____． 7．（25-26八年级下·全国·周测）已知，当分别取1，2，3，…，2025时，所对应的值的总和是____________． 8．（25-26八年级下·上海·月考）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形组成，用七巧板可以拼出2600多种图形．如图，图中的正方形就是由七巧板无缝隙、无重叠地拼接而成（简称密铺）．如果设编号为④的三角形的面积为1． (1)直接写出四边形的周长与面积； (2)小明说：他可以用编号分别为③，④，⑤，⑥，⑦的五块板密铺出一个新的正方形，试求这个密铺出的新正方形的边长与面积，并画出密铺之后新正方形的示意图． 9．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【方法应用】 (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 10．（25-26八年级下·山东日照·月考）已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的最长边的长度是______________（请直接写出答案）． (2)请求出（用含的代数式表示，结果要求化简）． (3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为，，，三角形的面积为．若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $