专题11.2 二次根式的乘除（知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦二次根式的乘除核心知识点，系统梳理乘除法法则、积与商的算术平方根性质及最简二次根式概念，构建从基础法则到混合运算、从化简判断到参数求解的递进式学习支架。 资料以知识梳理夯实基础，考点讲练通过典例与变式训练提升运算能力和推理意识，真题演练贴近中考培养应用意识，分层训练满足不同学生需求。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.2 二次根式的乘除『第十一章 二次根式』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题） 原卷版 1 知识点一 二次根式的乘除法 1 知识点二 最简二次根式 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 二次根式的乘法 3 考点讲练二 二次根式的除法 3 考点讲练三 二次根式的乘除混合运算 3 考点讲练四 分母有理化 4 考点讲练五 最简二次根式的判断 4 考点讲练六 化为最简二次根式 4 考点讲练七 已知最简二次根式求参数 5 考点讲练八 复合二次根式的化简 5 中考真题 实战演练 6 难度分层 闯关训练 8 【基础夯实 能力提升】 8 【创新拓展 拔尖冲刺】 11 知识点一 二次根式的乘除法 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【易错点拨】 (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数。 (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 。 (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简。 2.积的算术平方根: 　,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 【易错点拨】 (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)与都是的算术平方根； (3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面。 3.除法法则：,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。 【易错点拨】 (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0； (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。 4.商的算术平方根: 　，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 【易错点拨】 与都是的算术平方根。 知识点二 最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号。 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式。 【易错点拨】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式。 考点讲练一 二次根式的乘法 【典例分析】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算：_________． 【变式训练1】（2025·广西河池·中考真题）计算：______． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简二次根式的结果为（   ） A． B． C． D．6 考点讲练二 二次根式的除法 【典例分析】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）对于，关于、的取值正确的说法是（   ） A． ， B．， C．， D．， 【变式训练1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为和2cm，则斜边上的高为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：_____________． 考点讲练三 二次根式的乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·广东汕头·月考）计算：． 【变式训练1】（25-26八年级下·广东汕头·月考）计算： 【变式训练2】（25-26八年级下·北京·月考）计算：． 考点讲练四 分母有理化 【典例分析】（2026·河南洛阳·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【变式训练2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练五 最简二次根式的判断 【典例分析】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·天津滨海新区·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·月考）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 考点讲练六 化为最简二次根式 【典例分析】（25-26八年级下·福建福州·期中）下列各式为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练七 已知最简二次根式求参数 【典例分析】（25-26八年级下·福建福州·月考）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 考点讲练八 复合二次根式的化简 【典例分析】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______（填，或）． 【变式训练1】（25-26八年级下·吉林四平·月考）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，． 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)请运用小明的方法化简； (3)将式子化成另一个式子的平方的形式为______（，）． 【变式训练2】（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【真题演练1】（2025·江苏南京·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，此时点E落在上，，下列关于与描述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【真题演练2】（2025·浙江台州·中考真题）如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：）随时间（单位：）变化而变化的函数图象，则的值为______，的面积为______． 【真题演练3】（2025·河南郑州·中考真题）在长方形中，，，点在边上，，将沿折叠，点的对应点为点，若点恰好落在长方形的对称轴上，则____． 【真题演练4】（2025·湖南长沙·中考真题）已知，其中分别为的中点，将两个三角形按图①方式摆放，三角形从点开始沿方向平移至点与点重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【真题演练5】（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）定义：不大于数a的最大整数称为它的整数部分．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D． 2．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·上海松江·期中）平行四边形中，边上的高是，则平行四边形的周长是____________． 5．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知平行四边形中，，，将三角形沿着翻折，点落在点处，若，那么的长为__________． 6．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， ，点是的中点，若，则的长为________． 7．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在平行四边形中，，相交于点，，，，则_____．    8．（24-25八年级下·甘肃白银·月考）如图，在中，对角线、交于点于点若，求的长． 9．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）按要求解题 (1)已知，，求代数式的值． (2)已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 10．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，点M为正方形内一点，且满足，连接，过点A作交的延长线于点N，连接，若，，则的长为（） A． B． C．2 D． 2．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（25-26八年级下·河北邢台·月考）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，，点、分别是、上一点，且，若菱形的边长为8，是的中点，则的最小值是________． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，平分，交、于点P、M，连接，当，时，点C到的距离为 _________ ． 6．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在菱形中，，为的中点．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则______；菱形的边长为______． 7．（25-26八年级下·陕西西安·月考）在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．当取最小值时的面积为______． 8．（25-26八年级下·四川自贡·月考）综合与实践：如图，在四边形中，，，． 【初步感知】 (1)求证：为等边三角形； (2)如图1，连接，求的长； (3)【深入探究】如图2，点F是上一点，连接，若平分，求的长． 9．（25-26八年级下·河北保定·月考）如图1，在中，为线段上的一点，且满足，连接，过点作于点E，与交于点． (1)如图1，若，则_________． (2)如图1，在（1）的条件下，若． ①求的长． ②求的面积． (3)如图2，若点在的延长线上，且，设直线与直线交于点，在线段的延长线上取一点，使得，连接，交直线于点．若，请直接写出线段和之间的数量关系． 10．（25-26八年级下·陕西西安·月考）【阅读材料】 在平面几何中，求两条线段和的最小值时可运用转化思想，通过平移将分散的线段转化到同一条直线上，再结合两点之间线段最短及勾股定理等基本性质求解． 【方法应用】 (1)如图①，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则______． (2)如图②，在（1）的条件下，连接和，求的最小值． (3)如图③，在中，，点D、E分别在边和上，连接．若，，则的最小值是______． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学八年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题11.2 二次根式的乘除『第十一章 二次根式』 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共49题） 解析版 1 知识点一 二次根式的乘除法 1 知识点二 最简二次根式 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 二次根式的乘法 3 考点讲练二 二次根式的除法 3 考点讲练三 二次根式的乘除混合运算 4 考点讲练四 分母有理化 5 考点讲练五 最简二次根式的判断 6 考点讲练六 化为最简二次根式 8 考点讲练七 已知最简二次根式求参数 9 考点讲练八 复合二次根式的化简 10 中考真题 实战演练 13 难度分层 闯关训练 22 【基础夯实 能力提升】 22 【创新拓展 拔尖冲刺】 30 知识点一 二次根式的乘除法 1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【易错点拨】 (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数。 (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 。 (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简。 2.积的算术平方根: 　,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 【易错点拨】 (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)与都是的算术平方根； (3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面。 3.除法法则：,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。 【易错点拨】 (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0； (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。 4.商的算术平方根: 　，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 【易错点拨】 与都是的算术平方根。 知识点二 最简二次根式 （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号。 满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式。 【易错点拨】二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式。 考点讲练一 二次根式的乘法 【典例分析】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算：_________． 【答案】3 【详解】解: ． 【变式训练1】（2025·广西河池·中考真题）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简二次根式的结果为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】解：原式 考点讲练二 二次根式的除法 【典例分析】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）对于，关于、的取值正确的说法是（   ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法法则，当，时，． 【详解】解：当，时，才成立． 【变式训练1】（24-25八年级下·河南周口·期中）如果一个直角三角形的两条直角边长分别为和2cm，则斜边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边长度，再通过直角三角形面积的两种不同表示方法建立等式，求解斜边上的高． 【详解】解：设直角三角形两条直角边分别为，，斜边为，斜边上的高为. 由勾股定理得， ， ， ， 直角三角形面积可表示为，也可表示为， ，即， ． 【变式训练2】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：_____________． 【答案】8 【详解】解： ． 考点讲练三 二次根式的乘除混合运算 【典例分析】（25-26八年级下·广东汕头·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算及二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式乘除法的运算法则．将系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后将结果化为最简二次根式． 【详解】解：原式， ， ， ， ． 【变式训练1】（25-26八年级下·广东汕头·月考）计算： 【答案】 【详解】解： 原式 ． 【变式训练2】（25-26八年级下·北京·月考）计算：． 【答案】24 【分析】根据二次根式的乘法和除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 考点讲练四 分母有理化 【典例分析】（2026·河南洛阳·一模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式将分母有理化，化简后即可得到结果． 【详解】解：原式． 【变式训练1】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ． 【变式训练2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质以及分母有理化规则逐项判断即可． 【详解】解： A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C．该选项化简时仅给分母乘2，分子未同乘2，改变了原分数大小，变形错误，不符合题意； D．该式隐含，初中此类题型默认，则，故选项D正确，符合题意． 考点讲练五 最简二次根式的判断 【典例分析】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐个判断即可. 【详解】解：最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母（或分母中不含根号）. 对于A选项， ∵的被开方数满足上述两个条件， ∴是最简二次根式. 对于B选项， ∵， ∴不是最简二次根式. 对于C选项， ∵， ∴不是最简二次根式. 对于D选项， ∵，被开方数含分母， ∴不是最简二次根式. 综上，故答案选：A. 【变式训练1】（25-26八年级下·天津滨海新区·月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故不符合题意； B．，不是最简二次根式，故不符合题意； C．是最简二次根式，符合题意； D．，不是最简二次根式，故不符合题意． 【变式训练2】（25-26八年级下·辽宁盘锦·月考）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式是否符合条件即可． 【详解】①：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，为最简二次根式； ②，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； ⑤：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式，故为最简二次根式． 综上，最简二次根式有个． 考点讲练六 化为最简二次根式 【典例分析】（25-26八年级下·福建福州·期中）下列各式为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】根据最简二次根式的定义逐一判断： 解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式；先将各选项二次根式化为最简二次根式后，比较被开方数，被开方数与相同的即为所求. 【详解】解：同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式. A、，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式； D、，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式． 考点讲练七 已知最简二次根式求参数 【典例分析】（25-26八年级下·福建福州·月考）若是最简二次根式，则正整数n的值可以是_____（写出一个符合条件的即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义，得到被开方数不含能开得尽方的因数，由此确定正整数的取值，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：已知是最简二次根式，为正整数， 分解得， 因此不能含有能开得尽方的因数，即不含因数和，且本身不含平方因数． 取符合条件的正整数， 此时，是最简二次根式，符合要求． 【变式训练1】（24-25八年级下·全国·单元测试）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 考点讲练八 复合二次根式的化简 【典例分析】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______（填，或）． 【答案】 【分析】通过作差法，将两个数通分后比较分子的大小，从而判断两个数的大小关系． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 【变式训练1】（25-26八年级下·吉林四平·月考）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：，． 【类比归纳】 (1)请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方的形式； (2)请运用小明的方法化简； (3)将式子化成另一个式子的平方的形式为______（，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照小明的方法即可求解； （2）仿照小明的方法得到，再利用二次根式的性质化简即可； （3）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ； （3）解： ． 【变式训练2】（23-24八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 【真题演练1】（2025·江苏南京·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，此时点E落在上，，下列关于与描述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】如图，过点A作于M，过点E作于N，则，证明四边形是矩形，可得，结合旋转可得，可得，，设，则，可得，结合，可得，再进一步分两种情况解答即可. 【详解】解：如图，过点A作于M，过点E作于N，则 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 而 ∴四边形是矩形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，即，， ∴，故A，B错误； 当时， ∴，即，， ∴，故C正确，D错误； 故选：C． 【真题演练2】（2025·浙江台州·中考真题）如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：）随时间（单位：）变化而变化的函数图象，则的值为______，的面积为______． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，勾股定理，三线合一定理，过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时点P运动到点E，连接，可求出，则可求出，根据垂线段最短可得a的值；利用勾股定理求出的长，利用等面积法用的长表示出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时点P运动到点E，连接， 由图2可知，和时的函数值都为4，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当点P运动到点H时，有最小值，即y有最小值， ∴； 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【真题演练3】（2025·河南郑州·中考真题）在长方形中，，，点在边上，，将沿折叠，点的对应点为点，若点恰好落在长方形的对称轴上，则____． 【答案】或 【分析】本题考查折叠的性质以及勾股定理，确定折叠后点的位置以及准确添加辅助线是解题的关键． 长方形的对称轴有两条，故分类讨论：①当点落在竖向的对称轴上时，取中点为，中点为，先求出的值，得出的值，令，则，由勾股定理得出方程，求解即可；②当点落在横向的对称轴上时，取中点为，中点为，过点作交于点，求出的值，由得出的长度，令，则，且，由勾股定理得，得出方程，求解即可． 【详解】解：∵长方形的对称轴有两条，故分类讨论， 当点落在竖向的对称轴上时，取中点为，中点为，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 令，则， 由, 得方程， 解得； 当点落在横向的对称轴上时，取中点为，中点为，过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 令，则，且， 由， 得方程， 解得， 综上，的长度为或． 故答案为：或 【真题演练4】（2025·湖南长沙·中考真题）已知，其中分别为的中点，将两个三角形按图①方式摆放，三角形从点开始沿方向平移至点与点重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K，根据勾股定理和全等三角形性质推出，判定四边形是矩形， ， ，得到，的最小值为1；当点A、F重合时，判定是等腰直角三角形，得到；当点C、E重合时，判定是等腰直角三角形，得到； 得到最大为，即得的取值范围． 【详解】解：分别过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K， 则， ∵，，， ∴， ∵， ∴，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 当时， ，最小； 当点A、F重合时， ∵， ∴， ∵，， ∴； 当点C、E重合时，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点A、F重合或点C、E重合时，最大，为， ∴的取值范围是． 故选：D． 【真题演练5】（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点，直线分别与轴正半轴，轴相交于两点，与直线相交于点． (1)求点的坐标及的度数； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将线段进行平移得到线段，其中点的对应点分别为点，且点在的内部，连接，当时，求的周长的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)的周长最小值为． 【分析】（1）把代入，可得，再分别求解的坐标可得，进一步可得答案； （2）如图，由，为等腰三角形且，可得，可得，可得直线为：，再进一步求解即可，当轴时，不符合题意；从而可得答案； （3）如图， 求解，，，设线段向上平移个单位，向右平移个单位，可得，，过作轴于，可得，证明，结合，可得，可得，在直线上运动，且在的内部，作关于直线的对称点，连接，则，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴正半轴，轴相交于两点， ∴当，， ∴， ∵直线分别与轴，轴相交于两点， ∴当，，当，则， ∴，， ∴，而， ∴； （2）解：如图， ∵，为等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 直线为：， ∴， 解得：， ∴； 当轴时，不符合题意； 综上：． （3）解：如图，∵，，， ∴，，， ∵在的内部， ∴设线段向上平移个单位，向右平移个单位， ∴，， 过作轴于， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴在直线上运动，且在的内部， 作关于直线的对称点，连接， 则， ∴的周长为， 当共线时，的周长最小， 而， ∴的周长最小值为． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）定义：不大于数a的最大整数称为它的整数部分．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】先根据无理数的估算得出，再根据定义得出，，最后再代入利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ 2．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）下列各式：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，除法法则逐一进行判断即可． 【详解】解：没有意义，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误； 综上：正确的是②③． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的除法运算法则，分别对系数和被开方数计算，再化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 4．（25-26八年级下·上海松江·期中）平行四边形中，边上的高是，则平行四边形的周长是____________． 【答案】或 【分析】需分两种情况讨论，边上高的垂足位置分垂足在边上和垂足在延长线上两种，利用勾股定理求出的长，再根据平行四边形周长公式计算即可． 【详解】解：设边上的高为，，，为垂足． 在中，由勾股定理得： ， 在中，， 分两种情况讨论： 情况1：垂足在的延长线上时，如图    此时． 平行四边形周长为． 情况2：垂足在边上时，如图 此时． 平行四边形周长为． ∴平行四边形周长为或． 5．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知平行四边形中，，，将三角形沿着翻折，点落在点处，若，那么的长为__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，，由折叠可得，，设与相交于点O，证明，，根据勾股定理求出，进而求出，，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， 由折叠可得，， 设与相交于点O， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴在中，． 6．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点， ，点是的中点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理可求出的长，利用直角三角形的性质得到，则可证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在平行四边形中，，相交于点，，，，则_____．    【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·甘肃白银·月考）如图，在中，对角线、交于点于点若，求的长． 【答案】 【分析】在和中，分别利用勾股定理可求出和的长，又，可利用等面积法求出的长． 【详解】解：， ， ∵四边形在是平行四边形， ，， 在中，， 又， ， 即， 解得， 故的长为． 9．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）按要求解题 (1)已知，，求代数式的值． (2)已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据进行计算即可； （2）从数轴可知：，，得到， ，代入化简即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：从数轴可知：，， ∴，， ∴，， ∴． 10．（25-26八年级下·山西阳泉·月考）综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)或 【分析】（1）①利用折叠的性质和勾股定理求解即可． ②先求出，由折叠的性质得出，设，，然后根据勾股定理建立方程求解即可进一步得出答案． （2）分两种情况，当和当，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在中，， ∴． ②∵，． ∴， 由折叠的性质可知， 设，， 在中，， 即， 解得， 故，． （2）解：分两种情况： 当时，如下图： 在中，， 由折叠的性质可知， 设， 在中，． 当时，如下图： 则， 由折叠的性质可知， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 综上：的值为或． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，点M为正方形内一点，且满足，连接，过点A作交的延长线于点N，连接，若，，则的长为（） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】作于点E，作于点F，证明得，．由三线合一得，，求出，可证，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，作于点F， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 2．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在直线上运动，延长至点，使得，交直线于点，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2， ∴点在直线（直线l在直线下方，，且直线l到直线的距离为2）上运动， 如图所示，延长至点，交直线于点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 3．（25-26八年级下·河北邢台·月考）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 【答案】B 【分析】将二次根式分母有理化并找到规律进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，，点、分别是、上一点，且，若菱形的边长为8，是的中点，则的最小值是________． 【答案】4 【分析】如图，连接，取的中点，作关于的对称点，连接，证明，可得，，当三点共线时，取得最小值，设直线与交于点，与交于点，结合对称可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，取的中点，作关于的对称点，连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值， 设直线与交于点，与交于点，结合对称可得， ∴， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴. 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，平分，交、于点P、M，连接，当，时，点C到的距离为 _________ ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，再根据菱形的性质得到为直角三角形，再根据，得到，根据含角的直角三角形的性质得出，得出为等边三角形，过点C作，过点D作，交延长线于F，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，利用面积法得出CE的长即可得答案． 【详解】解：四边形为菱形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴为中点，． 过点C作，过点D作，交延长线于F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵． ∴． 6．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在菱形中，，为的中点．点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若最小值为，则______；菱形的边长为______． 【答案】 /度 【分析】连接，延长，交于，连接，根据菱形的性质得出，都是等边三角形，根据为的中点可得，，即可证明是等边三角形，得出为的中位线，根据中位线的性质得出，根据垂线段最短得出当时，取最小值，此时取最小值，可得，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， 当时，取最小值，此时取最小值， ∵最小值为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 7．（25-26八年级下·陕西西安·月考）在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．当取最小值时的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转构造全等和三角形面积的最值，解题的关键是将绕旋转，使的长度转化为定点到直线的距离．先旋转构造全等，确定的轨迹为垂直于的直线，再求到该直线的距离即为最小值，利用得，最后用割补法求． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，使点与点重合，点的对应点为，连接， ， ， ， ，是等边三角形， ， ， 在过点且垂直于的直线上运动， 当时，取最小值， 中，， ， ，即，， ， ， 中，， ， 是等边三角形，， 过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一的性质，，， ， ， ， ． 8．（25-26八年级下·四川自贡·月考）综合与实践：如图，在四边形中，，，． 【初步感知】 (1)求证：为等边三角形； (2)如图1，连接，求的长； (3)【深入探究】如图2，点F是上一点，连接，若平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）先根据勾股定理求出，结合，得出，即可证明为等边三角形； （2）如图1，连接，与相交于点，证明为的垂直平分线，得出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理求出，即可解答． （3）如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质定理得出，证明，得出，则，从而得，根据等腰三角形的性质得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）如图1，连接，与相交于点， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， 在中，， 在中，， ∴； （3）如图2，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·河北保定·月考）如图1，在中，为线段上的一点，且满足，连接，过点作于点E，与交于点． (1)如图1，若，则_________． (2)如图1，在（1）的条件下，若． ①求的长． ②求的面积． (3)如图2，若点在的延长线上，且，设直线与直线交于点，在线段的延长线上取一点，使得，连接，交直线于点．若，请直接写出线段和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①12；② (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理得到，求出的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案； （2）①由含30度角的直角三角形的性质得到，则由等角对等边可得；②过点P作于点F，则，则是等腰直角三角形，；求出，得到，则，求出，得到，据此可得答案； （3）过点D作交的延长线于点K，证明，得到；证明，得到，，则可证明，可推出，则；延长交于点M，过点A作交于点N，证明是等边三角形，得到，，证明，得到，则；在中，，，则，由勾股定理可得，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：①∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； ②如图1所示，过点P作于点F，则， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下； 如图所示，过点D作交的延长线于点K， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点M，过点A作交于点N， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·陕西西安·月考）【阅读材料】 在平面几何中，求两条线段和的最小值时可运用转化思想，通过平移将分散的线段转化到同一条直线上，再结合两点之间线段最短及勾股定理等基本性质求解． 【方法应用】 (1)如图①，在边长为6的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于F，则______． (2)如图②，在（1）的条件下，连接和，求的最小值． (3)如图③，在中，，点D、E分别在边和上，连接．若，，则的最小值是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过P作于H，根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到； （2）将正方形沿翻折，得到正方形，过点作于点，连接，则，过点Q作交于点M，则四边形为平行四边形，则，，推出当Q，M，E三点共线时， 的值最小，得到，根据勾股定理即可得到结论． （3）将沿对折，D的对应点为，将沿对折，E的对应点为，连接，再将沿方向平移，使A与重合，得，得出，当三点共线时，最短，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴； （2）解：将正方形沿翻折，得到正方形，过点作于点，连接，则，过点Q作交于点M，则四边形为平行四边形，则，， ∴， ∴当Q，M，E三点共线时，的值最小， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． （3）解：如图，将沿对折，D的对应点为，将沿对折，E的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使A与重合，如图，得四边形是矩形， ∴， ∴当，，三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $