专题03 二次根式的加减重难点题型专训（3个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题03 二次根式的加减重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 已知字母的值，化简求值 题型五 已知条件式，化简求值 题型六 比较二次根式的大小 题型七 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式的整数部分与小数部分 拓展训练二 二次根式的新定义运算 知识点一：同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数是2，与是同类二次根式，能合并，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、已是最简，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：A． 2．（2026·河南信阳·一模）写出一个能与合并的二次根式_______（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：能与合并的二次根式可以是．（答案不唯一） 知识点二：二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖北·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的合并法则，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对A选项，，与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误． 对B选项，，∴B错误． 对C选项，，∴C正确． 对D选项，与不是同类二次根式，不能合并，∴D错误． 2．（25-26八年级下·广西百色·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 知识点三：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（2026·河北·一模）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，本题可运用平方差公式进行简便计算，直接代入公式运算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（25-26八年级下·福建厦门·月考）计算： （1） ____ （2） ________ 【答案】 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（25-26八年级下·广东汕头·月考）下列式子中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A、，最简后被开方数为，与被开方数不同，A错误； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，B错误； C、，化简后为整数，不是二次根式，C错误； D、，最简后被开方数为，与被开方数相同，D正确． 【例2】（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____，_____ 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键． 根据二次根式的定义得到，求出a与b的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：；． 1．（24-25九年级上·四川乐山·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出方程组是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义，可得关于、的二元一次方程组，根据解方程组，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式得： ， 解得：． 故选：D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即，解得：． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级上·浙江金华·自主招生）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算（加减、乘除），解题的关键是掌握二次根式的运算法则，逐一验证选项的正确性． 分别对每个选项按照二次根式的运算法则计算： 选项A：计算左右两边的值，判断是否相等； 选项B：判断同类二次根式才能合并的规则是否被遵守； 选项C：计算二次根式乘法的结果，判断是否正确； 选项D：计算二次根式除法的结果，判断是否正确． 【详解】解：选项A：，，，等式不成立； 选项B：3是有理数，是无理数，二者不是同类二次根式，不能合并，，等式不成立； 选项C：，，等式不成立； 选项D：，等式成立． 故选D． 【例2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）计算：______． 【答案】 【分析】先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 1．（24-25八年级上·广东深圳·月考）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算： （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______． 【答案】 5 / 【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握运算法则是解题的关键， （1）根据二次根式性质直接解答； （2）化简即可解答； （3）先利用二次根式的性质化简，再计算即可． （4）依据 ，得到 ，再根据与的大小关系，去绝对值得出． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：5，，，． 3．（24-25九年级上·海南儋州·月考）阅读下面问题： ； ； ． 试求： (1)（n为正整数）的值． (2)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化； （2）先进行分母有理化，再观察抵消规律． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A： ，∴ A错误； B： ，∴ B正确； C：，∴ C错误； D：，∴ D错误． 【例2】（25-26八年级下·四川内江·期中）已知非零实数、满足等式，则的值为_________． 【答案】 【分析】先通分，再化简，然后由完全平方公式恒等变形，根据非负数和为零的条件求出、，最后代入代数式，由二次根式混合运算计算即可得到答案． 【详解】解：非零实数、满足等式， ， 则， ， 即， ， ， 则． 1．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．将原表达式化简为，再根据，即可求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴ ∴， ∴ 故选：B． 2．（25-26八年级上·北京海淀·月考）因式分解：___________；计算：___________；计算：___________． 【答案】 / 【分析】此题考查了因式分解，同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 提取公因式后应用完全平方公式因式分解即可；将小数化为分数，利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算求解即可；先分母有理化，再简化平方根表达式通过假设形式并平方比较得出结果． 【详解】 ； ； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：，，． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【答案】(1)①；② (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）①将分子分母同乘以化简即可；②将分子分母同乘以化简即可； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法； （3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题四 已知字母的值，化简求值】 【例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【例2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】先求出的值，再代入，最后化成最简二次根式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】先求出、的值，再根据，整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查运用完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 2．（24-25八年级下·山东济宁·月考）已知，，则________． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，把变形为，把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为： 3．（25-26八年级下·云南玉溪·月考）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据材料中的方法一、方法二求解即可； （2）先利用方法一化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简a，然后将化为，然后将a的值代入求值即可． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：． （2）解： ． （3）解：， 所以， ． 【经典例题五 已知条件式，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据可得，然后将多项式转化为，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 多项式 ， 故选：D． 【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想． 【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于________ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴=-或=， ∵， ∴＜0， ∴= -，=不符合题意，舍去， 故选B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于_____． 【答案】 【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示． 3．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再解方程即可； （3）将整理可得，再将整理，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：方程左边， 由题意得：， ∴， ， ； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， 代入得：． 【经典例题六 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·月考）比较大小： （1）________； （2）________．   【答案】 【分析】（1）将与分别平方后比较大小即可． （2）将根式外的数移到根号内，再比较被开方数的大小． 本题主要考查了实数大小的比较，特别是含有根式的实数大小比较．熟练掌握将含有根式的数进行平方或移到根号内进行比较的方法是解题的关键． 【详解】解：（1） ， ， ∵，且，， ∴． 故答案为：； （2）， ， ∵， ∴． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1）_________8； （2）_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】解：（1）， ， ∴，∴，故答案为：； （2）， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）根据给出的例题方法进行分母有理化，可得到化简结果和规律． （3）先利用规律对各项化简，通过抵消中间项得到最简结果，再用平方差公式计算． （4）利用得到的规律将两个差转化为分子为1的分式，再通过比较分母大小判断原式大小． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：根据规律可得 ． 【经典例题七 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，计算相邻两项的比值，发现斐波那契数列相邻两项的比值逐渐趋近于黄金分割比例．黄金分割比例的具体值为，即可得出结果． 【详解】解：计算相邻两项的比值：，，，，，，，，． 观察可知，比值逐渐趋近于一个固定值， ∵， ∴相邻两数的比值趋近于， 故选：D． 【例2】 （24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，．则图中两块阴影部分的面积和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，依据题意，先由三个正方形的面积分别是，，，求出三个正方形的边长分别是，从而可得长方形的长为，宽为，进而可得长方形的面积为：，最后可得两块阴影部分的面积和，进而可以得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积分别是，，， ∴三个正方形的边长分别是， ∴长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积为：． ∴两块阴影部分的面积和． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长依次分别为2，2，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】的三边长分别为2，2，，将其代入题目中的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，且的三边长分别为2，2， ∴的面积， 2．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，将一个半径为的圆环铁丝展开，重新围成一个长方形．若长方形的长为，则长方形的宽是______． 【答案】 【分析】根据题意得出圆的周长，再根据长方形公式进而求得长方形的宽． 【详解】解：根据题意得：长方形的周长等于圆的周长， ∴长方形的周长为， ∵长方形的长为， ∴长方形的宽是． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正方形的面积公式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 【详解】（1）解：∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为； ∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为． （2）， 根据题意可得，阴影部分是一个长为，宽为的矩形， 故阴影部分的面积为（）． 【拓展训练一 二次根式的整数部分与小数部分】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·重庆开州·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，…，．如的整数部分为2，小数部分为．所．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据定义总结的规律，再利用无理数的估算和二次根式的混合运算进行判断即可． 【详解】解：由题意得，，整数部分为6，小数部分为， ，整数部分为10，小数部分为， ，整数部分为14，小数部分为， ，整数部分为18，小数部分为， ，整数部分为22，小数部分为， ，整数部分为26，小数部分为， ∴，小数部分是， ∴①，正确； ②的小数部分为，正确； ③，错误； ④ ，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查数字规律型、估算无理数的大小、二次根式的混合运算，根据定义总结的规律是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）， （1）图2中正方形的边长为________； （2）图2中正方形边长的整数部分是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用、无理数的估算， （1）根据题意得出正方形的边长为， （2）估算出即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，拼成的正方形的面积等于原长方形的面积，即， 正方形的边长为， 故答案为：． （2）， ，即， ，， ∴， 该正方形的边长最接近的整数为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．于是小明用来表示的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)设的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则，是解题的关键： （1）夹逼法求出的整数部分和小数部分即可； （2）夹逼法求出整数部分和小数部分，再利用二次根式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【拓展训练二 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·四川德阳·月考）对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 利用新定义得到，，然后利用乘法公式展开后合并即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）对于任意正数，，定义运算“”如下：，计算结果为______． 【答案】/ 【分析】根据题目已知的定义结合二次根式的加减法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，正确理解新定义运算法则是解题的关键． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：关于的“美好数”， ∴ ． A基础训练 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算法则，掌握二次根式加减乘除的运算法则是本题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式可以合并， 二者是同类二次根式，化简后被开方数相等， 得 ， 解得 ． 3．（24-25八年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级下·浙江金华·月考）七巧板被西方人称为“东方魔术”．下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1）边长为．若图2的“小兔子”图案中的阴影部分面积为，那么a的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设阴影小正方形的边长为，根据阴影部分面积为梯形的面积列方程即可求出x值，然后求边长即可． 【详解】解：设小正方形边长为，依题意可得， ， 解得：， ． B 提高训练 6．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【答案】③④ 【分析】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：① 化简得：，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ② 化简得：为最简二次根式，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ③ 化简得：为最简二次根式，二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； ④ 由二次根式有意义可知，得， 化简得：， 二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； 故化简后其中是同类二次根式的是③④． 7．（24-25九年级上·河南南阳·月考）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（2026九年级·全国·专题练习）若n为正整数，且满足估算，则n的值为_______． 【答案】20 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算二次根式的混合运算，再估算该运算结果的范围，从而确定n的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：20． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）观察下列各式，然后解答下列的问题： （1）观察以上规律，请写出_____ （2）计算的结果为______． 【答案】 【分析】先观察已知等式，归纳得到一般规律，根据规律直接写出（1）的结果，根据规律展开原式，再利用裂项相消法对（2）计算求和即可. 【详解】根据已知式子可归纳得到规律： （1）当时，代入规律得：； （2）根据规律展开原式，得： 原式 ． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________． 【答案】/平方米 【分析】根据正方形的面积公式分别求出两个正方形的边长，结合图形确定原长方形的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，两个花圃均为正方形， 大正方形花圃的面积为， 大正方形的边长为， 小正方形花圃的面积为， 小正方形的边长为， 由图可知，原长方形花园的宽等于大正方形的边长，长等于大正方形的边长与小正方形的边长之和， 原长方形花园的长为，宽为， 原长方形花园的面积为． C 培优训练 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 先计算二次根式的乘法，再计算加减即可． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （3）先根据二次根式的性质化简，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． （4）先结合完全平方公式，平方差公式展开，然后去括号，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）（）填空：______；______； （）当时，______（用“”填空）； （）当时，求证：． 【答案】（）； （） （）证明见解析 【分析】（）根据二次根式的性质解答即可求解； （）根据二次根式的性质解答即可； （）根据二次根式的性质证明即可； 本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（）解：；， 故答案为：；； （）解：当时，， ∴， 故答案为：； （）证明：∵， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 15．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）为进一步研究高空抛物的危害，小晨请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，） (1)已知小晨家所住楼层的高度是，若一个物品从小晨家坠落，该物品落地时的速度________；（结果保留根号） (2)小轩说他家所住楼层的高度是小晨家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小晨家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小晨家坠落的物品速度的2倍．小轩的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 小轩的说法不正确，见解析 【分析】（1）根据小晨家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果； （2）先根据小轩家高度是小晨家2倍，算出小轩家高度，再代入速度公式，然后与小晨家物品落地速度相比，即可得出结论． 【详解】（1）解：把，， 代入得：， ∴该楼层落地时的速度为； （2）解：不正确，理由如下： ∵小轩家高度是小晨家2倍， ∴， 将的值代入公式中得：v小轩， ∴， 即小轩家坠落的物品落地时的速度是小晨家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小轩的说法不正确． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式的加减重难点题型专训 （3个知识点+7大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 已知字母的值，化简求值 题型五 已知条件式，化简求值 题型六 比较二次根式的大小 题型七 二次根式的应用 拓展训练一 二次根式的整数部分与小数部分 拓展训练二 二次根式的新定义运算 知识点一：同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南信阳·一模）写出一个能与合并的二次根式_______（答案不唯一）． 知识点二：二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖北·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西百色·期中）计算：________． 知识点三：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（2026·河北·一模）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．（25-26八年级下·福建厦门·月考）计算： （1） ____ （2） ________ 【经典例题一 同类二次根式】 【例1】（25-26八年级下·广东汕头·月考）下列式子中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川甘孜·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____，_____ 1．（24-25九年级上·四川乐山·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，那么（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是__________． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【经典例题二 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级上·浙江金华·自主招生）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）计算：______． 1．（24-25八年级上·广东深圳·月考）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算： （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______． 3．（24-25九年级上·海南儋州·月考）阅读下面问题： ； ； ． 试求： (1)（n为正整数）的值． (2)利用上面所揭示的规律计算：． 【经典例题三 二次根式的混合运算】 【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·四川内江·期中）已知非零实数、满足等式，则的值为_________． 1．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（25-26八年级上·北京海淀·月考）因式分解：___________；计算：___________；计算：___________． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【经典例题四 已知字母的值，化简求值】 【例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则的值为______． 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 2．（24-25八年级下·山东济宁·月考）已知，，则________． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·月考）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【经典例题五 已知条件式，化简求值】 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）当时，多项式的值为（    ） A．3 B． C．1 D． 【例2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于________ 1．（24-25七年级上·江西景德镇·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于_____． 3．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 【经典例题六 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·月考）比较大小： （1）________； （2）________．   1．（24-25八年级下·江西上饶·期中）已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）比较大小： （1）_________8； （2）_________． 3．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 【经典例题七 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，该数列相邻前后两数，后一项与前一项的比值逐渐接近于（    ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，长方形内放置了三个正方形，三个正方形的面积分别是，，．则图中两块阴影部分的面积和为______． 1．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长依次分别为2，2，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，将一个半径为的圆环铁丝展开，重新围成一个长方形．若长方形的长为，则长方形的宽是______． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 【拓展训练一 二次根式的整数部分与小数部分】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东湛江·期末）对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为______． 1．（24-25八年级下·重庆开州·期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，…，．如的整数部分为2，小数部分为．所．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①；②的小数部分为；③； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）， （1）图2中正方形的边长为________； （2）图2中正方形边长的整数部分是________． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．于是小明用来表示的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)设的整数部分为，小数部分为，求的值． 【拓展训练二 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·四川德阳·月考）对于任意两个正数a，b，定义运算※为：，计算的结果为______． 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南洛阳·期中）对于任意正数，，定义运算“”如下：，计算结果为______． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于的“美好数”，请直接写出的值． A基础训练 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 3．（24-25八年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江金华·月考）七巧板被西方人称为“东方魔术”．下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1）边长为．若图2的“小兔子”图案中的阴影部分面积为，那么a的值（   ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 7．（24-25九年级上·河南南阳·月考）已知，则__________． 8．（2026九年级·全国·专题练习）若n为正整数，且满足估算，则n的值为_______． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）观察下列各式，然后解答下列的问题： （1）观察以上规律，请写出_____ （2）计算的结果为______． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________． C 培优训练 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算：． 12．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）（）填空：______；______； （）当时，______（用“”填空）； （）当时，求证：． 14．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 15．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）为进一步研究高空抛物的危害，小晨请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，） (1)已知小晨家所住楼层的高度是，若一个物品从小晨家坠落，该物品落地时的速度________；（结果保留根号） (2)小轩说他家所住楼层的高度是小晨家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小晨家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度是从小晨家坠落的物品速度的2倍．小轩的说法对吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $