18.1.2 第1课时 矩形的判定 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦矩形的判定定理，通过矩形性质逆命题探究、动手作图（如作三个角为直角的四边形）导入，衔接矩形性质，搭建从性质到判定的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其特色是结合动手操作与严谨证明，发展几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），规范几何语言表达（数学语言）。如木匠制作矩形踏板实例，联系生活培养应用意识。学生提升探究与逻辑能力，教师获得清晰教学流程与多样化例题。

18.1.2 第1课时 矩形的判定 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 1 1.理解并掌握矩形的判定定理，能初步应用其解决证明和计算问题. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 矩形的相关概念及性质 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形具有平行四边形的一切性质 矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理 2：矩形的对角线相等. 轴对称图形 对称轴为通过对边中点的直线 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 我们知道矩形的四个角都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立 有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) × × 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 那有三个角是直角的四边形是矩形吗？ 试一试：作一个三个角都是直角的四边形. 1. 任意作两条互相垂直的线段 AB、AD； 2. 过点 B 作垂直于 AB 的直线 l； 3. 过点 D 作垂直于AD 的直线 m， 与直线l相交于点C. 四边形 ABCD 即为所要求作的四边形. A B D C l m 观察你所作的图形，它是一个矩形吗？ 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 怎么证明？ 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 例 2 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4， BE ⊥ AC，垂足为点 E . 求 BE 的长. A B D C E 说一说你的解题思路. △ABC 为直角三角形 它的面积既可以用底和高来求. 也可以用两条直角边来求. 列出等式，从而求出 BE 的长. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 A B D C E 解 在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°， AC = = 5. 又∵S△ABC = AB·BC = AC·BE ， ∴BE = = = 2.4. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 探究一：矩形的判定 活动：请写出矩形两条性质的逆命题并尝试判断它的真假. 逆命题1：如果一个四边形的四个角都是直角，那么它是矩形.” 成立 矩形 1.角： 2.对角线： 四个角都是直角 对角线相等 逆命题2：“如果一个四边形的对角线相等,那么它是矩形.” 不一定，等腰梯形的对角线也相等. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 思考交流：（1）条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？试一试：作一个三个角都是直角的四边形. 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 如何证明？ 作法：1. 任意作两条互相垂直的线段 AB、AD； 2. 过点 B 作垂直于 AB 的直线 l； 3. 过点 D 作垂直于AD 的直线 m，与直线l相交于点C. 四边形 ABCD 即为所要求作的四边形. A B D C l m 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠D=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°. ∴ AD∥BC，AB∥CD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ 四边形 ABCD 是矩形. A B C D 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 几何语言： 矩形的判定定理 1： 有三个角是直角的四边形是矩形. ∵在四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 90°， ∴四边形ABCD 是矩形. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 例 3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分线段 BO，垂足为点 E，BD = 15 cm. 求 AC、AB 的长. 解 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD = 15 (矩形的对角线相等）. ∴AO = AC = 7.5. ∵AE 垂直平分 BO， ∴AB = AO = 7.5 . 即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm . A B C D O E 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 若 AB ＝ 3，AC＝ 6，则 ∠AOD 的度数为( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 3 3 3 3 D 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 证一证 证明:∵ ∠A=∠B=∠D=90°, ∴∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. D A B C 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠D=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 画一画，你发现有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) 所以至少有三个角是直角的四边形才是矩形 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 思考：一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 1.如图，∠AOB 是一个直角，任意一点 P 到这个角的两边的距离之和为 6，则图中四边形的周长为______． 12 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， CD ＝ 1．若 AE 垂直且平分 OB，垂足为点 E，则 BD 的长是 ( ) A. 3 B. C. 2 D. 4 1 1 1 1 C 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 3. 如图，P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF∥BC，分别交 AB、CD 于点 E、F，连结 PB、PD . 若 AE＝2，PF＝5，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 A B C D E F P N M S△ADC = S△ABC S△AMP = S△AEP S△PBE = S△PBN S△PFD = S△PDM S△PFC = S△PCN S△DFP = S△PBE A 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 矩形的判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 思考交流：（2）需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 试一试：作一个对角线相等的平行四边形. 作法： 1.任意作两条相交的直线，交点记为 O； O A B C D 2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD； 3.顺次连结所得的四点. 四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形. 如何证明呢？ 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 思 考：对角线相等的四边形是矩形吗？ 不一定，等腰梯形的对角线也相等. 需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 试一试：作一个对角线相等的平行四边形. 作法： 1.任意作两条相交的直线，交点记为 O； O A B C D 2.以点 O 为圆心、适当长为半径画弧， 在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD； 3.顺次连结所得的四点. 四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形. 如何证明呢？ 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 【选自教材第115页 练习 第1题】 如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AD 上的一点. 试说明△BCE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系. A B C D E 解: ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ AD∥BC，AB ⊥ BC， ∴ △BCE 的边 BC 上的高长等于 AB 的长， ∴ S△BCE ＝ BC·AB. ∵ S矩形ABCD ＝AB·BC，∴ S△BCE ＝ S矩形ABCD ， 即△BCE 的面积等于矩形 ABCD 面积的一半. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 【选自教材第115页 练习 第2题】 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠AOB = 60°，AB = 3.6. 求 AC、AD 的长.（精确到 0.1） 解: ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC ＝BD，OA ＝OC ＝ AC，OB ＝OD ＝ BD，∠BAD = 90°. ∴ OA ＝OB. ∵ ∠AOB ＝60°， ∴ △AOB为等边三角形. ∴ OA ＝AB = 3.6. ∴ AC ＝ BD = 2OA＝7.2. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AB2 + AD2 = BD2， 即 3.62 + AD2 = 7.22，∴ AD ≈ 6.2. A B D C O 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 例1 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等)， AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH， 即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. 探究二：矩形判定定理的应用 思路：根据已知条件，我们可以先证明四边形 EFGH 是平行四边形，再证明对角线 EG 和 FH相等，即可得证. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 例2 如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的，M、N 分别为 BC、AD的中点. 求证：四边形 BMDN 是矩形. A B C D M N 分析：由已知条件，可知 BN ⊥ AD，DM ⊥ BC， 因此，在四边形 BMDN 中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形. 证明：∵△ABD 和△BCD 是全等的正三角形， ∴∠ADB = ∠CDB = 60°. 又∵M、N分别为BC、AD的中点， ∴ BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM=∠BDC=30°. ∴∠DNB = ∠DMB = 90°, ∠MDN = ∠ADB + ∠BDM = 90°. ∴四边形 BMDN 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 要获取足够证明一个四边形为矩形的条件,往往需要结合图形中的其他条件,进行相关的推理.应根据已知条件,猜测最可能获取到的条件,从而选择合适的判定方法. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 矩形的判定 矩形的判定定理 1： 有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形的判定定理 2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 单击此处编辑母版标题样式 单击以编辑母版副标题样式 $