16.1　变量与函数 同步练习 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 初中数学16.1变量与函数同步练，新授课使用。分层设计清晰，从概念认知到综合应用，通过基础填空、情境典例及变式训练，培养抽象能力与模型观念，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|常量与变量、函数概念等核心概念|填空直接考查定义，培养抽象能力| |技能巩固|自变量取值范围、函数关系式等考点应用|典例结合行程、刹车距离等情境，强化模型观念| |综合应用|跨情境问题解决及易错点辨析|母题变式关联实际问题，提升运算能力与应用意识|

16．1　变量与函数 1．在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量. 2．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数． 3．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 4．函数的表示方法有图象法、列表法、解析法． 5．根据函数关系式的形式可以确定函数自变量的取值范围，在实际问题中，自变量的取值还会受到实际意义的限制． 考点1　常量与变量 【典例1】甲以每小时20 km的速度行驶时，他所走的路程s(km)与时间t(h)之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是( C ) A.数20和s，t都是变量 B．s是常量，数20和t是变量 C．数20是常量，s和t是变量 D．t是常量，数20和s是变量 解析：在s＝20t中，数20是常量，s和t是变量． 此题主要考查了常量与变量，掌握常量和变量的定义是解决此类问题的关键． 【变式训练】 1．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是(D) A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 考点2　函数的概念及关系式 【典例2】汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离．根据有关资料显示，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系为s＝v. (1)写出上述关系中的自变量和因变量； (2)当v＝30 km/h时，求相应的刹车距离s的值； (3)若该车在限速40 km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12 m时，通过计算说明该车是否超速． 解：(1)v是自变量，s是因变量． (2)当v＝30 km/h时，s＝×30＝7.5 m. (3)由题意，知 当s＝12 m时，12＝v，解得v＝48 km/h. ∵48＞40，∴该车超速了． 判断某个问题中的两个变量是否为函数关系，必须具备两个基本条件：一、能用学过的数学知识来描述两个变量之间的关系；二、深刻理解函数的定义的三个要素：1.有两个变量；2.一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；3.自变量每确定一个值，函数都有唯一的值和它对应． 【变式训练】 2．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶 时间t(小时) 0 1 2 3 … 油箱剩余 油量Q(升) 100 94 88 82 … (1)如表反映的两个变量中，自变量是汽车行驶时间t，因变量是汽车油箱的剩余油量Q； (2)根据表格可知，汽车行驶3小时后，该车油箱的剩余油量为82升，汽车每小时耗油6升； (3)请直接写出两个变量之间的关系式(用t来表示Q). ( 1 )汽车行驶时间t　汽车油箱的剩余油量Q (2)82　6 (3)由表格，可知汽车一开始的油量为100升，每小时汽车耗油6升，则汽车油箱剩余油量和汽车行驶时间的关系为Q＝100－6t. 考点3　自变量的取值范围 【典例3】求下列函数自变量的取值范围： (1)y＝2 025x－1；(2)y＝； (3)y＝；(4). 解：(1)x为一切实数；(2)由分式有意义的条件，得3x－1≠0，得x≠；(3)由二次根式有意义的条件，得1－3x≥0，∴分式和二次根式有意义的条件，得x≤；(4)由得x≥3且x≠4. 函数自变量取值从表达式看有四种形式：①整式；②分式；③算术平方根；④分式与算术平方根的综合．其中①自变量取值为一切实数；②满足分母不等于0；③满足被开方数大于等于0；④既满足被开方数为非负数，又满足分母不为0.另外还要考虑与实际问题相符． 【变式训练】 3．求下列函数中自变量的取值范围． (1)y＝2x－1；(2)y＝＋； (3)y＝. (1)y＝2x－1中，自变量的取值范围是全体实数； (2)由题意，得x－3≥0，5－x≥0，解得3≤x≤5； (3)由题意，得4－2x＞0，解得x＜2. 考点4　函数值 【典例4】已知函数y＝2x－3.求当x＝－，x＝4时函数y的值． 解：当x＝－时，y＝2×(－)－3＝－4.当x＝4时，y＝2×4－3＝5. 本题考查了求函数值．注意：(1)当已知函数关系式时，求函数值就是求代数式的值；(2)一个自变量的值对应唯一的一个函数值；而一个函数值，可以对应多个自变量的值． 【变式训练】 4．根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入的x的值为4时，输出的y的值为5.当输入x的值为3时，输出的y的值为(A) A．－6 B．6 C．－3 D．3 知识点1　常量与变量 1．水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(C) A.2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 2．购买单价为3元的笔记本，总金额y(元)与笔记本数x(本)的关系为y＝3x，其中3是常量，x，y是变量． 3．分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S(cm2)与球的半径R (cm)的关系式是S＝4πR2； (2)以固定的速度v0(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h＝gt2(其中g取9.8 m/s2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w(千克)与所付款x(元)之间的关系式是x＝1.8w. (1)常量是4π，变量是S，R；(2)常量是v0，4.9，变量是h，t；(3)常量是，g，变量是h，t；(4)常量是1.8，变量是x，w. 知识点2　函数的概念 4．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是(A) A．y＝x2 B．y＝±x C．|y|＝x＋1 D．y2＝x 知识点3　函数关系式 5． 2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动．某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费(不足一天按一天计算)，则租金y(元)和租赁天数x(x≥3)之间的关系式为(C) A．y＝0.6x B．y＝0.8x C．y＝0.8x－0.6 D．y＝0.8x－4 6．长方形的周长为60 cm，其中一条边为x cm(其中x＞0)，面积为y cm2，则在这个长方形中，y与x的关系可以写为(B) A．y＝60x－2x2 B．y＝30x－x2 C．y＝0.5x2－60 D．y＝0.5x2－30 7．使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是(B) A．x≠1且x≠0 B．x≠1 C．x＞1 D．x＜1 8．中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长度为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为y＝5x＋1． 易错易混点　抽象模型不熟练导致错误 9．如图，用一根长8 cm的铁丝围成一个长方形，小北发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数；②S是a的函数；③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是(A) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 由题意，得2(a＋b)＝8，∴b＋a＝4，∴b＝4－a，∴b是a的函数，故①正确；∵S＝ab，∴S＝a(8－a)＝－a2＋8a，∴S是a的函数，故②正确；∵－a2＋8a＝S，∴a2－8a＝－S，∴a2－8a＋16＝16－S，∴(a－4)2＝16－S，∴a－4＝±，∴a＝4±，∴a不是S的函数，故③不正确；所以，所有正确的结论的序号是①②. 10．购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y＝kx，则这种国债的年利率为(D) A．k B． C．k－1 D． 11．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表： 纸环数x(个) 1 2 3 4 … 彩纸链长度y(cm) 19 36 53 70 … (1)猜想x、y之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)教室天花板对角线长10 m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则至少需要用多少个纸环？ (1)彩纸链的长度y(cm)与纸环数x(个)满足的函数关系式为y＝17x＋2. (2)10 m＝1 000 cm，根据题意，得17x＋2≥1 000. 解得x≥58，59×2＝118(个). 答：至少需要用118个纸环． 【母题P35T1】写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)三角形的一边长为5 cm，它的面积S(cm2)是这边上的高h(cm)的函数； (2)设直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β是α的函数； (3)某种报纸的单价为1.50元，购买这种报纸x份的总价y(元)是x的函数． (1)根据题意，得S＝×5h，即S＝h(h＞0)； (2)根据题意，得β＝90°－α(0°＜α＜90°)； (3)根据题意，得y＝1.5x(x≥0). 【变式】分别写出下列函数的关系式，并确定其中自变量的取值范围． (1)在时速为60 km的匀速运动中，运动路程s(km)是时间t(h)的函数； (2)某校要在校园中辟出一块面积为64 m2的长方形土地做花圃，这个花圃的长y(m)是宽x(m)的函数． (1)根据题意，得s＝60t，t≥0； (2)根据题意，得y＝，0＜x＜64. 12． (模型观念) 如图，已知线段AB的长为4 cm，点C是线段AB上一动点(点C不与A、B重合)，分别以AC、BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x(cm)，两正方形的面积和为变量S(cm2)，其中0＜x＜4. (1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为S＝2x2－8x＋16； (2)根据(1)中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律(写出一个结论即可).变化规律为：当2＜x＜4时，S随x的增大而增大(答案不唯一)． AC的长 x(cm) … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 两正方形面积和S(cm2) … 12.5 10 8.5 8 8.5 10 12.5 … (1)设线段AC的长为变量x(cm). ∵线段AB的长为4 cm， ∴BC＝(4－x)cm， ∴两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为S＝x2＋(4－x)2＝x2＋x2－8x＋16＝2x2－8x＋16； (2)当x＝1.5时，S＝2×1.52－8×1.5＋16＝8.5，当x＝3时，S＝2×32－8×3＋16＝10， 完成表如下， AC的长 x(cm) … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 两正方形面积和S(cm2) … 12.5 10 8.5 8 8.5 10 12.5 … ∴S随x变化的变化规律为：当2＜x＜4时，S随x的增大而增大．(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $ 16．1　变量与函数 1．在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做 ，取值始终保持不变的量叫做 . 2．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有 与之对应，我们就说x是 ，y是 ，此时也称y是x的 ． 3．对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 4．函数的表示方法有 、 、 ． 5．根据函数关系式的形式可以确定函数自变量的 ，在实际问题中，自变量的取值还会受到实际意义的限制． 考点1　常量与变量 【典例1】甲以每小时20 km的速度行驶时，他所走的路程s(km)与时间t(h)之间可用公式s＝20t来表示，则下列说法正确的是( C ) A.数20和s，t都是变量 B．s是常量，数20和t是变量 C．数20是常量，s和t是变量 D．t是常量，数20和s是变量 此题主要考查了常量与变量，掌握常量和变量的定义是解决此类问题的关键． 【变式训练】 1．如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是( ) A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 考点2　函数的概念及关系式 【典例2】汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离．根据有关资料显示，在湿滑路面行驶时，某车的刹车距离s(m)与车速v(km/h)之间的关系为s＝v. (1)写出上述关系中的自变量和因变量； (2)当v＝30 km/h时，求相应的刹车距离s的值； (3)若该车在限速40 km/h的公路上行驶时，当刹车距离为12 m时，通过计算说明该车是否超速． 判断某个问题中的两个变量是否为函数关系，必须具备两个基本条件：一、能用学过的数学知识来描述两个变量之间的关系；二、深刻理解函数的定义的三个要素：1.有两个变量；2.一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；3.自变量每确定一个值，函数都有唯一的值和它对应． 【变式训练】 2．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如下表格： 汽车行驶 时间t(小时) 0 1 2 3 … 油箱剩余 油量Q(升) 100 94 88 82 … (1)如表反映的两个变量中，自变量是 ，因变量是 ； (2)根据表格可知，汽车行驶3小时后，该车油箱的剩余油量为 升，汽车每小时耗油 升； (3)请直接写出两个变量之间的关系式(用t来表示Q). 考点3　自变量的取值范围 【典例3】求下列函数自变量的取值范围： (1)y＝2 025x－1； (2)y＝； (3)y＝； (4). 函数自变量取值从表达式看有四种形式：①整式；②分式；③算术平方根；④分式与算术平方根的综合．其中①自变量取值为一切实数；②满足分母不等于0；③满足被开方数大于等于0；④既满足被开方数为非负数，又满足分母不为0.另外还要考虑与实际问题相符． 【变式训练】 3．求下列函数中自变量的取值范围． (1)y＝2x－1；(2)y＝＋； (3)y＝. 考点4　函数值 【典例4】已知函数y＝2x－3.求当x＝－，x＝4时函数y的值． 本题考查了求函数值．注意：(1)当已知函数关系式时，求函数值就是求代数式的值；(2)一个自变量的值对应唯一的一个函数值；而一个函数值，可以对应多个自变量的值． 【变式训练】 4．根据如图所示的程序计算函数y的值，当输入的x的值为4时，输出的y的值为5.当输入x的值为3时，输出的y的值为( ) A．－6 B．6 C．－3 D．3 知识点1　常量与变量 1．水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是( ) A.2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量 2．购买单价为3元的笔记本，总金额y(元)与笔记本数x(本)的关系为y＝3x，其中 是常量， 是变量． 3．分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S(cm2)与球的半径R (cm)的关系式是S＝4πR2； (2)以固定的速度v0(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式是h＝gt2(其中g取9.8 m/s2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w(千克)与所付款x(元)之间的关系式是x＝1.8w. 知识点2　函数的概念 4．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是( ) A．y＝x2 B．y＝±x C．|y|＝x＋1 D．y2＝x 知识点3　函数关系式 5． 2025年4月23日为第30个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动．某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天0.6元收费，三天后按每天0.8元收费(不足一天按一天计算)，则租金y(元)和租赁天数x(x≥3)之间的关系式为( ) A．y＝0.6x B．y＝0.8x C．y＝0.8x－0.6 D．y＝0.8x－4 6．长方形的周长为60 cm，其中一条边为x cm(其中x＞0)，面积为y cm2，则在这个长方形中，y与x的关系可以写为( ) A．y＝60x－2x2 B．y＝30x－x2 C．y＝0.5x2－60 D．y＝0.5x2－30 7．使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是( ) A．x≠1且x≠0 B．x≠1 C．x＞1 D．x＜1 8．中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长度为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为 ． 易错易混点　抽象模型不熟练导致错误 9．如图，用一根长8 cm的铁丝围成一个长方形，小北发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数；②S是a的函数；③a是S的函数．其中所有正确的结论的序号是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y＝kx，则这种国债的年利率为( ) A．k B． C．k－1 D． 11．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表： 纸环数x(个) 1 2 3 4 … 彩纸链长度y(cm) 19 36 53 70 … (1)猜想x、y之间的函数关系，并求出函数关系式； (2)教室天花板对角线长10 m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则至少需要用多少个纸环？ 【母题P35T1】写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)三角形的一边长为5 cm，它的面积S(cm2)是这边上的高h(cm)的函数； (2)设直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β是α的函数； (3)某种报纸的单价为1.50元，购买这种报纸x份的总价y(元)是x的函数． 【变式】分别写出下列函数的关系式，并确定其中自变量的取值范围． (1)在时速为60 km的匀速运动中，运动路程s(km)是时间t(h)的函数； (2)某校要在校园中辟出一块面积为64 m2的长方形土地做花圃，这个花圃的长y(m)是宽x(m)的函数． 12． (模型观念)如图，已知线段AB的长为4 cm，点C是线段AB上一动点(点C不与A、B重合)，分别以AC、BC为边，在AB同侧作正方形．设线段AC的长为变量x(cm)，两正方形的面积和为变量S(cm2)，其中0＜x＜4. (1)两正方形的面积和S与线段AC的长x之间的关系式为 ； (2)根据(1)中的关系式完成下表，并分析S随x变化的规律(写出一个结论即可).变化规律为： ． AC的长 x(cm) … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 两正方形面积和S(cm2) … 12.5 10 8 8.5 12.5 … 学科网（北京）股份有限公司 $