精品解析：四川省内江市威远中学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

威远中学校2027届高一下期半期考试 数学 2025.3.21 命题人：游蕊艳 做题人：王章涛 游蕊艳 审题人：李魏 王章涛 游蕊艳 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 已知向量，.若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的充要条件，利用数量积的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 故选：C 2. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则计算即可求得结果. 【详解】， 故选：C 3. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦切互化可得，即可利用二倍角公式求解. 【详解】由可得，故， 所以， 故选：A 4. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解. 【详解】由题意知. 故选：C. 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，结合两角和与差的正、余弦公式以及切弦互化计算即可求解. 【详解】因为是方程的两个实根， 所以， 则. 故选：B 6. 如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（ ） A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min 【答案】B 【解析】 【分析】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，设时点距离底面的高度为，由题意得，，周期，求出函数解析式，令，解不等式继而可求解. 【详解】 如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴， 与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离底面的高度为， 由题意得，，周期， 所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，解得， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故选：. 7. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值. 【详解】因为，所以，即，， 又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后， 所得函数， 因为函数的图象关于y轴对称， 所以，，即，， 当时，，所以的最小值为. 故选:A. 8. 在平行四边形中，为中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列式子化简后等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C：切化弦结合倍角公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：ABC. 10. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据向量线性运算求解判断；对B，根据向量的数量积及运算律和模的计算判断；对C，由向量数量积及运算律求解判断；对D，由向量投影的定义求解判断. 【详解】如图： 对于A，，故A错误； 对于B，， 所以，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图是某地一天从6点到14点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，其中：.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数解析式 C. 函数在区间上单调递增 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象计算最小正周期可得选项A错误；根据函数图象逐步计算的值可得选项B正确；利用函数的周期性可知函数在区间上的单调性与函数在区间上的单调性相同，结合图象可得选项C正确；利用函数中心对称的性质可得选项D错误. 【详解】A.由函数图象得，函数的最小正周期为，A错误. B. 由题意得，，解得. 设函数的最小正周期为，则，故， 由得，， ∴， 由得，，故，选项B正确. C.∵， ∴函数在区间上的单调性与函数在区间上的单调性相同， 由图象可得，函数在区间上单调递增，C正确. D.等价于， 由图可知，函数的图象不关于点中心对称，D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式计算即可． 【详解】． 故答案为：． 13. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 分析】利用且与不共线求解. 【详解】，，则， 因与的夹角为锐角，则，得， 当时，，得，此时与同向， 则实数的取值范围是. 故答案为： 14. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得， 再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得， 因为，且，则， 由题意可得：，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知，，与的夹角. （1）求； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等式及向量的运算律求解即可； （2）根据共线向量定理列等式求解即可 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 与共线， ∴存在唯一实数，使得 即， 又与不共线，∴， 解得. 16. 已知锐角，且满足. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解； （2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，利用两角和的余弦公式及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解. 【小问1详解】 因为为锐角，， 所以. 因为，是锐角，即，， 所以，， 又因为， 所以. . 【小问2详解】 由（1）知，， 因为是锐角，， 所以， 由，， 所以， ， 因为， 所以. 17. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求的解析式及对称中心； （2）若，求的值； （3）若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1），对称中心： （2）或 （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数的图像得到和周期，然后求得，通过点坐标，得到，即求得函数解析式，由余弦函数的对称中心得到函数的对称中心； （2）由（1）得到方程，结合题目给到的区间求得对应的的值； （3）整体题中方程得，由取值范围求得的范围，由题意得到最大值的不等式，解得的取值范围. 【小问1详解】 由函数图像，可得，周期， 则，∴． 将点代入函数解析式可得， 解得，∵，∴， ∴； 令，解得， 的对称中心为 【小问2详解】 由（1）知：，又， ∴，， ∴或 解得：或 又∵， ∴或. 【小问3详解】 由（1）知，则， 由函数在上恰有5个零点， 即在上恰有5个解， 即在上恰有5个解， ∵，∴， 即函数与在区间有5个交点， 由图像知，只需即可，解得， 故. 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. 【小问3详解】 由图可得， ， ， 由，则. 19. 已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将其化成正弦型函数，依题求出即得； （2）先求出函数在R上的单调递增区间，再与给定区间求交即得； （3）将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立问题，通过设元，将函数化成，，判断其单调性即得，从而求得参数范围. 【小问1详解】 依题， 由题知，，. 【小问2详解】 由可得 ，， 时，的单调递增区间为，． 【小问3详解】 因在恒成立， 则 化简得， 即在恒成立 记， ，，， 又 设，则根据对勾函数性质知在上单调递增， ， ，即. 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于难题.解决此类题的关键是，根据解析式特点进行三角恒等变换，将其化成正弦型函数，结合正弦函数的图象解决问题；对于恒成立问题，常常寻求参变分离法，将不等式恒成立问题转化为求对应函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 威远中学校2027届高一下期半期考试 数学 2025.3.21 命题人：游蕊艳 做题人：王章涛 游蕊艳 审题人：李魏 王章涛 游蕊艳 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 已知向量，.若，则（    ） A. B. C. D. 2. 向量，化简后等于（ ） A. B. 0 C. D. 3. 已知为锐角，且，则（ ） A B. C. D. 4. 如图，在中，为的中点，则（ ） A B. C. D. 5. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（ ） A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min 7. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 下列式子化简后等于是（ ） A. B. C. D. 10. 是边长为3等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 11. 如图是某地一天从6点到14点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，其中：.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数解析式为 C. 函数在区间上单调递增 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. __________. 13. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_____. 14. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知，，与的夹角. （1）求； （2）若与共线，求的值. 16 已知锐角，且满足. （1）求； （2）求. 17. 已知函数的部分图像如图所示. （1）求的解析式及对称中心； （2）若，求的值； （3）若方程在上恰有个不相等的实数根，求的取值范围. 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 19. 已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$