2025-2026学年浙教版数学八年级下册期末复习专题 ：平行四边形中角平分线问题

**基本信息** 以“角平分线+平行线构造等腰三角形”为核心方法，系统整合平行四边形性质与角平分线性质，通过边角转化实现解题突破，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例解析|1道|角平分线+平行线生成等腰三角形，角相等转化为边相等|以平行四边形对边平行为基础，结合角平分线性质，通过平行线性质推导等角关系，构建等腰三角形实现边角转化| |变式训练|13道|迁移核心方法，结合中点、对角线、垂直等条件深化应用|从基础计算到综合证明，覆盖角平分线在平行四边形中的不同位置（内角/外角）及与其他几何要素的组合，形成完整应用链|

2025学年八年级第二学期期末复习专题：平行四边形中角平分线问题 【例】如图，▱ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝5，则BC＝　10　 ． 【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力． 【分析】平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB＝AE，所以BC＝2AF，根据CF平分∠BCD，可证明AE＝AF，从而可求出结果． 【解答】解：▱ABCD中，CF平分∠BCD， ∴AD∥BC，∠BCE＝∠DCF， ∴∠BCE＝∠DFC， ∴∠BCE＝∠EFA， ∵BE∥CD， ∴∠E＝∠DCF， ∴∠E＝∠BCE， ∵AD∥BC，AB＝5， ∴∠BCE＝∠EFA， ∴∠E＝∠EFA， ∴AE＝AF＝AB＝5， ∵AB＝AE，AF∥BC， ∴△AEF∽△BEC， ∴， ∴BC＝2AF＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 【解法总结】 1. 角平分线+平行线等于等腰三角形 2. 角相等，边相等。 【变式练习】 1.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由AE为角平分线，得到∠DAE=∠BAE，由ABCD为平行四边形，得到DC//AB，推出AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由△ADF≌△ECF（AAS），得出AF=EF，即可求出AE的长． 【详解】解：∵AE为∠DAB的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC//AB， ∴∠BAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA， ∴AD=FD， 又F为DC的中点， ∴DF=CF， ∴AD=DF=DC=AB=2， 在Rt△ADG中，DG=1， ∴AG==， ∵DG⊥AE， ∴AF=2AG=2， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF， 在△ADF和△ECF中，， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF=EF， 则AE=2AF=4． 故选：B． 2.如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD， ∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE， ∵ ∴EC=AE， ∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠CAD=30°，故①正确； ∵∠BAD=120°，∠CAD=30°， ∴∠BAC=90°， ∴BO＞AB， ∴OD＞AB，故②错误； ∴S▱ABCD=AB•AC=AC•CD，故③正确； ∵∠BAC=90°，BC=2AB， ∴E是BC的中点， ∴S△BEO：S△BCD=1：4， ∴S四边形OECD：S△BCD=3：4， ∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8， ∵S△AOD：S▱ABCD=1：4， ∴故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键． 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30°   ② ③S平行四边形ABCD=AB•AC  ④ ，正确的个数是（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①先根据角平分线和平行四边形性质得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断； ②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长； ③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断； ④根据三角形中位线定理可作判断. 【详解】①∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°， ∴∠DAE=∠BEA， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE=1， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=BE=1， ∵BC=2， ∴EC=1， ∴AE=EC， ∴∠EAC=∠ACE， ∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°， ∴∠ACE=30°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACE=30°， 故①正确； ②∵BE=EC，OA=OC， ∴OE=AB=，OE∥AB， ∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==， ∵四边形ABCD平行四边形， ∴∠BCD=∠BAD=120°， ∴∠ACB=30°， ∴∠ACD=90°， Rt△OCD中，OD==， ∴BD=2OD=， 故②正确； ③由②知：∠BAC=90°， ∴S▱ABCD=AB•AC， 故③正确； ④由②知：OE是△ABC的中位线， ∴OE=AB， ∵AB=BC， ∴OE=BC=AD， 故④正确； 正确的有：①②③④， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键． 4. 如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD， ∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE， ∵ ∴EC=AE， ∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠CAD=30°，故①正确； ∵∠BAD=120°，∠CAD=30°， ∴∠BAC=90°， ∴BO＞AB， ∴OD＞AB，故②错误； ∴S▱ABCD=AB•AC=AC•CD，故③正确； ∵∠BAC=90°，BC=2AB， ∴E是BC的中点， ∴S△BEO：S△BCD=1：4， ∴S四边形OECD：S△BCD=3：4， ∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8， ∵S△AOD：S▱ABCD=1：4， ∴故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键． 5.在平行四边形ABCD中，的平分线将CD分成4cm和2cm两部分，则平行四边形ABCD的周长为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】设的平分线交于点，先画出图形（见解析），分和两种情况，再根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得，然后根据平行四边形的周长公式即可得． 【详解】解：设的平分线交于点， 由题意，分以下两种情况： （1）如图，当时，则， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 则平行四边形的周长为； （2）如图，当时，则， 同理可得：， 则平行四边形的周长为； 综上，平行四边形的周长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质，并分两种情况讨论是解题关键． 6.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠AEB＝32°，则∠C的度数是　116°　 ． 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠C＝∠A，AB＝CD， ∴∠CBE＝∠AEB＝32°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝32°， ∴∠ABE＝∠AEB＝32°， ∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝116°， ∴∠C＝116°， 故答案为：116°． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 7.在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点E，EC＝3，ED＝5，EB＝4．则AE的长是 　　 ． 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】根据条件得到∠DAE＝∠DEA，进而得到AD＝DE＝BC，根据勾股定理的逆定理得到△ECB为直角三角形，进而得到△AEB为直角三角形，于是根据勾股定理得到AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，DC//AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE＝5， ∴BC＝AD＝5， ∵EC2+EB2＝32+42＝25＝52＝BC2， ∴△ECB为直角三角形， ∴∠CEB＝90°， ∴∠EBA＝90°，AB＝CD＝DE+EC＝5+3＝8， 在Rt△ABE中，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，等边对等角，角平分线的性质，勾股定理，掌握相关定理以及性质是解题的关键． 8.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，且AE＝2DE，对角线AC平分∠BCE，若，，则AC的长为 　4　 ． 【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；运算能力． 【分析】利用勾股定理的逆定理证明∠CED＝90°，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝3 ∴∠EAC＝∠ACB， ∵AC平分∠BCE， ∴∠ACB＝∠ACE＝∠EAC， ∴AE＝EC， ∵AE＝2DE， ∴AE＝EC＝2，DE， ∵CD， ∴CD2＝DE2+CE2， ∴∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴ACAE＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 9.如图，在中，，的平分线BE，CF分别与AD交于点E，F．若点E与点F重合，且，则______．（用含m的代数式表示） 【答案】2m 10.如图，在中，是对角线，，E是的中点，平分，连接，．若，，，则的长为_______． 【答案】##3.5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长，交于点H，由“”可证，可得，，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴． 故答案为：． 11.如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长． 【专题】证明题；推理能力． 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据平行四边形的性质和角平分线定义可以证明CN＝CB＝DE． 【解答】（1）证明：∵∠A＝∠F， ∴DF∥AC， ∴∠C＝∠FEC， 又∵∠C＝∠D， ∴∠FEC＝∠D， ∴DB∥EC， ∴四边形BCED是平行四边形； （2）解：∵BN平分∠DBC， ∴∠DBN＝∠CBN， ∵BD∥EC， ∴∠DBN＝∠BNC， ∴∠CBN＝∠BNC， ∴CN＝BC， 又∵BC＝DE＝3， ∴CN＝3． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 12如图，在中，的平分线交BC边于点M，的平分线交AD于点N． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）证明： 在□ABCD中 AB＝CD，AD//BC，∠BAD＝∠BCD ∴∠DAM＝∠BMA ∵AM平分∠BAD，CN平分∠BCD ∴∠DAM＝∠BAD，∠BCN＝∠BCD ∴∠BMA＝∠BCN ∴AM//CN （2）方法一：利用三角形全等 方法二：（主要涉及根据定义判定，仅供参考） ∵AD//BC，AM//CN ∴四边形AMCN为平行四边形 ∴AM＝CN 13.如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上． （1）求证：． （2）若，求的长； （3）点F为的中点，连接，交于点G，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，据此可证明结论； （2）由平行四边形的性质得、，再说明可证得，同理，则，进而求出，再利用勾股定理求解即可； （3）取的中点H，连接，由三角形中位线定理得，且，再证得，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 由（1）得 ∴，即AE的长为． 【小问3详解】 证明：如图，取的中点H，连接，则， ∵点F为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年八年级第二学期期末复习专题：平行四边形中角平分线问题 【例】如图，▱ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝5，则BC＝　 　 ． 【解法总结】 1. 角平分线+平行线等于等腰三角形 2. 角相等，边相等。 【变式练习】 1.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 2.如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30°   ② ③S平行四边形ABCD=AB•AC  ④ ，正确的个数是（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.在平行四边形ABCD中，的平分线将CD分成4cm和2cm两部分，则平行四边形ABCD的周长为__________ 6.如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．若∠AEB＝32°，则∠C的度数是　　 ． 7.在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交CD于点E，EC＝3，ED＝5，EB＝4．则AE的长是 　 ． 8.如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，且AE＝2DE，对角线AC平分∠BCE，若，，则AC的长为 　 　 ． 9.如图，在中，，的平分线BE，CF分别与AD交于点E，F．若点E与点F重合，且，则______．（用含m的代数式表示） 10.如图，在中，是对角线，，E是的中点，平分，连接，．若，，，则的长为_______． 11.如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠C＝∠D． （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长． 12如图，在中，的平分线交BC边于点M，的平分线交AD于点N． （1）求证：． （2）求证：． 13.如图，在中，和的角平分线与交于点E，且点E恰好在边上． （1）求证：． （2）若，求的长； （3）点F为的中点，连接，交于点G，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $