精品解析：2026年广东东莞市八校联考二模数学试题

2025-2026学年第二学期第二次模拟考试 九年级数学试卷 说明： 1．全卷共8页，考试时间共120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名、试室号和学号按要求填写或涂好． 3．用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应区域作答，否则无效．有答题卡科目，需用2B铅笔，在正确答案上填涂． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 5. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 10. 如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 12. 请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 13. 苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形中心与“太极图”圆心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为____________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，若，则__． 15. 如图，正方形的边长为3，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的面积是________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 18. 项目化学习 请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务． 关于“对称数”的研究报告 追梦小组 研究对象：对称数 研究思路：按“定义—例题—应用”由—般到特殊进行研究． 研究方法：观察分析—猜想—验证 研究内容： 1．定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 2．观察： ； ； ； … 任务： （1）①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被______整除； ②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 20. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡毫升和牛奶毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案毫升；方案毫升；方案毫升），并从位品尝嘉宾中随机抽取位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以至的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 【数据处理】根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 甜度、整体口感评分统计表 方案 甜度 整体口感 平均数 中位数 平均数 中位数 【数据应用】（1）在表中，___________，___________；根据整体口感评分，说明方案___________最受欢迎． （2）结合图，估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数． （3）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 21. 【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． （1）求抛物线的解析式； （2）【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ （3）在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． （1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 （2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长． （3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°． ①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”； ②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值． 23. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次模拟考试 九年级数学试卷 说明： 1．全卷共8页，考试时间共120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名、试室号和学号按要求填写或涂好． 3．用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应区域作答，否则无效．有答题卡科目，需用2B铅笔，在正确答案上填涂． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算结果错误，不符合题意； B、，原运算结果正确，符合题意； C、，原运算结果错误，不符合题意； D、，原运算结果错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 5. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及对顶角相等解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定法则得到两个解集的公共部分，即可选出正确答案． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： ∵两个解集的公共部分为 ∴不等式组的解集为． 7. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， ∵每个球队需要与除自身外的个球队各比赛一场，且甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知计划安排28场比赛， 因此可列方程． 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次方程得到两个根，计算两根之和与两根之积，再根据点的横纵坐标符号判断所在象限． 【详解】解：对一元二次方程， ， 解得方程两根为：，， ∵两根之和， 两根之积， ∴点即为， ∵点的横坐标小于，纵坐标小于， ∴该点位于第三象限． 9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，作于，于，则四边形是矩形，由角平分线的性质定理得出，，从而得出四边形是正方形，证明，得出，同理可得：，推出，设，则，，求出，得到，，再由相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，作于，于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵平分，平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 12. 请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 【答案】（答案不唯一，小于0即可） 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出的取值范围，写出符合范围的任意一个的值即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，， ， 可以取（答案不唯一）． 13. 苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形中心与“太极图”圆心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由对称性可知黑色部分与白色部分面积相等，进而求概率即可． 【详解】解：“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称， 黑色部分与白色部分面积相等， 故恰好落在黑色部分的概率为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，若，则__． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键，根据题意得到，由位似得到，结合题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与位似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12 ． 15. 如图，正方形的边长为3，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】长交于点,证明，根据相似三角形的性质可知，进而根据面积公式即可求解． 【详解】解：延长交于点, ∵四边形和四边形是正方形， ∴, ∴, ∴ ∴四边形是矩形， ∴, ∵, ∴, ∴， ∴, ∴ 解得：, ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的运算法则，结合进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物6吨，普通机器人比智能机器人多用20分钟，求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？ 【答案】智能机器人每小时可以装载货物9吨 【解析】 【分析】建立分式方程，求解后得到智能机器人每小时可以装载多少吨货物． 【详解】解：设普通机器人每小时可以装载货物吨，则智能机器人每小时可以装载货物吨，得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：智能机器人每小时可以装载货物9吨． 18. 项目化学习 请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务． 关于“对称数”的研究报告 追梦小组 研究对象：对称数 研究思路：按“定义—例题—应用”由—般到特殊进行研究． 研究方法：观察分析—猜想—验证 研究内容： 1．定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 2．观察： ； ； ； … 任务： （1）①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被______整除； ②验证：若这个“对称数”是868，请通过计算验证猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过推理说明猜想是正确的． 【答案】（1）①9；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了推理与论证，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算． （1）①观察题干的式子特征，得出结论即可作答．②模仿式子算法，得，即可作答． （2）依题意，列式，化简得，即可作答． 【小问1详解】 解：①∵； ； …… ∴将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除， 故答案为：9； ②依题意，， ∴猜想正确； 【小问2详解】 解：依题意， ， ∵结果能被9整除， ∴猜想是正确的． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； 【小问2详解】 解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 20. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡毫升和牛奶毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案毫升；方案毫升；方案毫升），并从位品尝嘉宾中随机抽取位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以至的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 【数据处理】根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 甜度、整体口感评分统计表 方案 甜度 整体口感 平均数 中位数 平均数 中位数 【数据应用】（1）在表中，___________，___________；根据整体口感评分，说明方案___________最受欢迎． （2）结合图，估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数． （3）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 【答案】，，方案B； 人； 方案． 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图、条形统计图、平均数、中位数、用样本估计总体． 根据平均数的计算公式和方案的得分即可计算出方案的平均分；把方案的整体口感得分从小到大排列，中间的两个数据的平均数即为方案的中位数； 由折线统计图可知抽查的位嘉宾中最喜欢方案的有位，占抽查总人数的，利用样本估计总体求出位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数； 分别计算出三个方案的综合得分，根据综合得分判断推出哪一个方案． 【详解】解：方案的整体口感平均数是， 方案的整体口感得分从小到大排列为：、、、、、、、、、， 第五个和第六个数据都是， 方案的整体口感中位数； 由统计表可知：方案的平均数和中位数最高， 方案最受欢迎； 故答案为：，，B； 由图可知，号、号、号嘉宾给方案打分最高， 抽查的位嘉宾中最喜欢方案的有位， 占抽查总人数的， 估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数大约有：人； 解：方案综合得分：， 方案综合得分：， 方案综合得分：， 该店将会推出方案． 21. 【活动主题】 如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究． 【建立模型】 如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30． （1）求抛物线的解析式； （2）【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？ （3）在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）能 （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线过点，设抛物线的解析式为：，再用待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线的解析式，然后把，解得，比较得，即可求解； （3）分别求出射线过和、和的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线过且顶点的横坐标为30， ∴，即，解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线最低点到轴的水平距离为30， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． 当时，， ， ∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上； 【小问3详解】 解：∵：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵：， ∴抛物线经过点， ∴将和代入中得：，解得：； 将和代入中得：，解得：， ∵射线与抛物线和抛物线都有交点， ∴的取值范围为：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”． （1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号） ①矩形；②菱形；③正方形 （2）如图1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长． （3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°． ①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”； ②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值． 【答案】（1）③；（2）3；（3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得∠ABC=∠ADC=90°，从而可证明四边形ABCD为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断； （2）根据垂径定理和圆周角定理可得AD=DE，∠DEB=∠DEC=90°，设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△DEC中解直角三角形即可； （3）①根据圆周角定理即可得出，从而可得∠CED=90°，继而证明结论；②作OM，ON分别垂直与AD，BC，证明△OAM≌△BON，设，则，，，在Rt△BON中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值． 【详解】解：（1）如下图， ∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴平行四边形ABCD为矩形， ∵四边形ABCD是“婆氏四边形”， ∴AC⊥BD， ∴矩形ABCD为正方形， 故答案为：③； （2）∵∠BAC=90°，AB=6，， ∴，,BD为直径， ∴∠BED=∠DEC=90°， ∵四边形ABED是“婆氏四边形”， ∴AE⊥BD， ∴AD=DE，AB=BE=6， 设AD=DE=m，则DC=8-m，EC=10-6=4， 在Rt△EDC中，根据勾股定理, ,即，解得，即DE=3； （3）①设AC，BD相交于点E如图所示 ∵，，∠BOC+∠AOD=180°， ∴， ∴∠CED=90°， 即AC⊥BD， 又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴四边形ABCD是“婆氏四边形”； ②如下图，作OM，ON分别垂直与AD，BC， ∴，，∠AMO=∠BNO=90°， ∴∠AOM+∠OAM=90°， ∵OA=OB=OC=OD， ∴,， ∵∠BOC+∠AOD=180°， ∴， ∴， 在△OAM和△BON中 ∵ ∴△OAM≌△BON（AAS）， ∴， ∵AD+BC=4 设，则，，， 在Rt△BON中， ， 当时，取得最小值，即⊙O半径的最小值为． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函数的性质等．（1）中能正确证明出四边形的一个角是90°是解题关键；（2）中能正确表示出Rt△EDC的三个边是解题关键；（3）中①正确利用圆周角定理是解题关键；②正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 23. 如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $