精品解析：上海市吴淞中学2025-2026学年高二下学期第一次学科调研数学试题

上海市吴淞中学2025-2026学年高二下学期第一次学科调研数学试题 一、填空题（共12题，1-6每小题4分，7-12题每小题5分，共54分） 1. 抛物线的准线方程是______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得p=4,所以准线方程为,填 2. 已知向量，向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 即，解得. 3. 函数的图象在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】∵，∴，，∴函数在处的切线方程为. 故答案为：. 4. 直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】直线可化为：，则. 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【答案】0.8## 【解析】 【详解】， 则， 即， 则. 6. 若的二项展开式中含有常数项，则正整数的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，对其进行整理，令的指数为0，建立方程求出的最小值． 【详解】该二项式展开式的通项为， 令，则，则的最小值为5. 7. 空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为为的中点，根据向量加法的平行四边形法则， 所以. 则根据向量减法的三角形法则可知， 得到. 8. 已知数列是等差数列，若点与点在直线上，且A、B两点关于对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】应用等差数列公式计算得出公差，再应用点对称得出，即可得出通项公式. 【详解】数列是等差数列，若点与点在直线上， 所以， 设等差数列公差为，所以， 因为A、B两点关于对称，则， 又因为，所以， 故. 9. 已知椭圆，点A是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再根据椭圆的定义可得的关系式，从而求解. 【详解】连接，为等边三角形，且，又因为， 在中，由余弦定理可得， 则，故， 解得. 10. 已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意线线角的最小值为相关的线面角，从而求出答案. 【详解】异面直线与AP所成角的最小值为直线与平面所成的角， 由平面，故斜线在平面上的投影为， 故即为斜线与平面所成的角，， 故异面直线与AP所成角的最小值为. 11. 将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种. 【答案】36 【解析】 【详解】显然7，8，9，10，11，12不可能是集合中的较小元素，故1，2，3，4，5，6为较小元素，7，8，9，10，11，12为较大元素，且一定有一个集合为，第一步先选5，5有10，11两种选择，第二步再选4，4有8，9，10，11四种选择但去除第一步所选的数字，共三种选择，剩下1，2，3，如何选取均可，故种. 12. 如图，在上海某公园中有一块边长为2百米的菱形空地，其中．现计划在该空地种植一片观景区：①地块是以为圆心，1百米为半径的扇形地块，在扇形地块内种植郁金香；②地块内种植樱花；③地块内规划建造人工湖；④计划建设观光走道，其中点为上任意一点，；⑤各地块前的空隙以及走道的宽度忽略不计.当观光走道与的长度之和最小时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，求得直线表达式，进而利用坐标运算求，而的长度可通过弧长公式计算，得与的长度之和的表达式，构造函数求导可得与的长度之和最小时的大小. 【详解】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，则， ，直线的方程为. 因，则，代入上式得：，即， 于是，而的长度为. 因此与的长度之和为. 记， 求导得 因此的单调情况如下： 单调递减 最小值 单调递增 因此当取最小值时，. 二、选择题（共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题5分，共18分） 13. 通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（ ）． A. 若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B. 若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】B 【解析】 【详解】改变变量的单位，线性相关系数不变，C、D错； 去除A点后，线性相关程度变高， 因为是负相关，所以线性相关系数变小，故A错误、B正确. 14. 若函数的定义域为，则“是函数的驻点”是“是函数的极值点”的条件（ ） A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分也非必要 【答案】D 【解析】 【分析】根据驻点、极值点的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】驻点：函数在处可导，且的点. 极值点：函数在处的函数值比附近的函数值都大（极大值）或都小（极小值）的点. 充分性：如，，，是驻点但不是极值点（在上单调递增），故充分性不成立. 必要性：，是极小值点但函数在处不可导，不是驻点，故必要性不成立. 15. 太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为2的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线，若直线l与黑色阴影区域有公共点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与阴影部分的边界在轴上下两部分分别有公共点分类讨论，即可得的取值范围. 【详解】直线恒过点. 当直线与上半阴影圆相切时，即位于时， 上半阴影圆的圆心，半径，则，整理得， 解得或. 当直线过阴影部分下定点时，即位于时， 此时直线斜率为. 所以直线l与黑色阴影区域有公共点时，实数a的取值范围为. 16. 在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（ ）. A. 若点总满足，则动点的轨迹是圆 B. 若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C. 若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：由题意可得动点的轨迹是直线，即可判断；建立空间坐标系，利用空间向量逐一判断B，C，D. 【详解】选项A：空间中满足的点的轨迹是一个平面， 该平面与侧面的交集为一条直线, 所以动点的轨迹是直线，故A错误； 选项B：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 易知平面的一个法向量， 设，则， 设平面的一个法向量， 则 不妨令，则，则， 因为的二面角的大小为 则，即，解得， 所以，即动点的轨迹是一条直线，故B错误； 选项C：因为， 且直线与直线所成的角的大小为， 所以， 即， 整理得：， 此方程不表示抛物线，故C错误； 选项D：设点到直线的距离为，到直线的距离为， 则有，即， 所以， 所以动点的轨迹为双曲线，故D正确. 三、解答题（共5题，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分） 17. 如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，，E、F、G分别是AB、PD、CD的中点. （1）求直线EF与平面PAD所成的角的大小； （2）求证：平面CEP，并求三棱锥的体积. 【答案】（1）； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦公式进行求解； （2）由线线平行得到线面平行，并利用等体积法求体积. 【小问1详解】 因为PA垂直于矩形ABCD所在的平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥， 故以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系， 易知平面PAD的一个法向量为， 又，， 设直线EF与平面PAD所成的角的大小为， 则， 故直线EF与平面PAD所成的角的大小为 【小问2详解】 和分别为DP和DC中点， ， 平面CEP，平面CEP， 平面CEP， ∵，∴， ∵到平面的距离， . 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数． 【答案】（1）证明见解析，； （2）2025. 【解析】 【分析】（1）应用等比数列定义结合已知证明，再应用等比数列通项公式计算求解； （2）应用分组求和结合等比数列通项公式计算，再结合数列单调性计算判断最大整数. 【小问1详解】 对任意， 且，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即 【小问2详解】 记 ， 对任意恒成立， 故数列是严格增数列， 且， 故. 19. 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下： 宣传天数 1 2 3 4 5 不了解的人数 108 100 92 80 70 （1）若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程； （2）从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表： 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 老年 40 10 50 青年 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？ （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）； （2）（i）是否了解中国民间传统文化与年龄有关； （ii） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）结合题干和最小二乘法求解回归方程即可； （2）（i）计算独立性检验的统计量，对比题干显著水平做出判断； （ii）根据分层抽样确定来自青年调查表的份数，列举随机变量的可能取值，求解对应概率，进而列出分布列并求解期望. 【小问1详解】 根据题干可知， ，，， ， ， ， ， 所以关于的回归方程为： 【小问2详解】 （i）假设：是否了解中国民间传统文化与年龄无关； 由题知显著性水平：，即； 统计量： ， 因为，故拒绝原假设，即是否了解中国民间传统文化与年龄有关； （ii）按分层抽样抽取老年调查表4份，青年调查表3份， , . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望： 20. 陶老师为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示. （1）求该班男生每周平均手机使用时长的第30百分位数； （2）陶老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享.设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”.试判断事件和事件是否独立，并说明理由； （3）陶老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这位学生的数据平均数为23小时.当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，求这位学生每周平均手机使用时长的方差（精确到0.1）. 【答案】（1）13； （2）事件和事件不独立；理由见解析 （3）2.5 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图判断出男生人数，然后由第30百分位数的计算公式求得结果. （2）分别求解出，，，然后根据与的关系作出判断. （3）先求出的值及男生数据，再根据平均数公式以及等差数列的性质求解出女生数据，最后计算出方差即可. 【小问1详解】 由茎叶图可知男生总人数为，所以， 将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，其中第，位的数据分别是，， 所以第百分位数为. 【小问2详解】 事件和事件不相互独立，理由如下： 由，解得， 所以女生中每周平均手机使用时长小于小时的人数为， 且女生中每周平均手机使用时长位于区间的有人，位于区间的有人. 由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于小时的有人， 且男生中每周平均手机使用时长位于区间的有人. 因此总共抽取人，每周平均手机使用时长位于区间的共有人， 所以，， 若抽取的是名女生且恰好有人的每周平均手机使用时长位于区间的概率为， 所以， 因为， 所以事件和事件不相互独立. 【小问3详解】 由茎叶图和频率分布直方图可知， 个数据中，男生数据为，， 设女生的数据为，，，且， 由题意可知，解得，， 因为，，，成等差数列， 所以，， 因此这个数据分别为：，，，，，， 所以方差为， 所以这位学生每周平均手机使用时长的方差为. 21. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于、两点. （1）若，且直线垂直于轴，求； （2）若，设在第一象限，双曲线的左顶点为，若为等腰三角形，求点的横坐标； （3）若分别为双曲线的左右焦点，点是点关于轴对称的点，若存在直线使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）4或； （3） 【解析】 【分析】（1）求出坐标即可； （2）设，分、、三种情况讨论，利用两点间距离公式求解； （3）分斜率是否为0讨论，若直线斜率不为0，设直线，与双曲线方程联立，根据韦达定理化简，得出的关系式，再结合且求出范围即可. 【小问1详解】 令，则，得，故； 【小问2详解】 设满足，， ①当时，， 解得（舍去）或， ②当时，， 得（舍去）或， ③若，则，不符合题意； 综上所述，点的横坐标为4或； 【小问3详解】 ①当直线斜率为0时，，则为双曲线的两个顶点，且重合， 则，舍去； ②若直线斜率不为0，设， 设直线， 联立，得， 则且，得且， 由韦达定理得， 因为，所以 因为， 所以， 则， 则， 即， 则， 即， 得， 即，得， 由，，，得， 若，对称轴为，则； 若，对称轴为，则， 因为，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市吴淞中学2025-2026学年高二下学期第一次学科调研数学试题 一、填空题（共12题，1-6每小题4分，7-12题每小题5分，共54分） 1. 抛物线的准线方程是______． 2. 已知向量，向量，若，则__________. 3. 函数的图象在处的切线方程为______. 4. 直线与直线间的距离为__________. 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 6. 若的二项展开式中含有常数项，则正整数的最小值为__________. 7. 空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 8. 已知数列是等差数列，若点与点在直线上，且A、B两点关于对称，则______． 9. 已知椭圆，点A是椭圆上位于第一象限的一点，为椭圆的右焦点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________． 10. 已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 11. 将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种. 12. 如图，在上海某公园中有一块边长为2百米的菱形空地，其中．现计划在该空地种植一片观景区：①地块是以为圆心，1百米为半径的扇形地块，在扇形地块内种植郁金香；②地块内种植樱花；③地块内规划建造人工湖；④计划建设观光走道，其中点为上任意一点，；⑤各地块前的空隙以及走道的宽度忽略不计.当观光走道与的长度之和最小时，__________． 二、选择题（共4题，13-14题每小题4分，15-16题每小题5分，共18分） 13. 通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（ ）． A. 若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B. 若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D. 将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 14. 若函数的定义域为，则“是函数的驻点”是“是函数的极值点”的条件（ ） A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分也非必要 15. 太极图的形状如中心对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放置在平面直角坐标系中简略的“阴阳鱼太极图”，其外边界是一个半径为2的圆，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线，若直线l与黑色阴影区域有公共点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 16. 在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在平面上运动，则下列命题中正确的为（ ）. A. 若点总满足，则动点的轨迹是圆 B. 若二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹是椭圆 C. 若直线与直线所成的角的大小为，则动点的轨迹是抛物线 D. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 三、解答题（共5题，第17-18题每题14分，第19-20题每题16分，第21题18分） 17. 如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，，E、F、G分别是AB、PD、CD的中点. （1）求直线EF与平面PAD所成的角的大小； （2）求证：平面CEP，并求三棱锥的体积. 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，求满足条件的最大整数． 19. 中国民间传统文化丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术、传统技艺到宗教信仰和民间文学等.某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解程度，前5天调查情况数据如下： 宣传天数 1 2 3 4 5 不了解的人数 108 100 92 80 70 （1）若对中国民间传统文化不了解的人数与宣传天数之间满足线性回归关系，求变量关于变量的回归方程； （2）从前5天的调查表中随机抽取100份调查表，整理得如下列联表： 性别 对中国民间传统文化了解的程度 合计 了解 不了解 老年 40 10 50 青年 30 20 50 合计 70 30 100 （i）依据显著性水平进行独立性检验，能否认为是否了解中国民间传统文化与年龄有关？ （ii）按分层随机抽样的方式，在上述“了解”的调查表中，随机抽取7份调查表，再从这7份调查表中任意抽取3份，记为抽到的调查表来自青年调查表的份数，求的分布及期望． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为，， 独立性检验常用小概率值和相应的临界值：， 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 20. 陶老师为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示. （1）求该班男生每周平均手机使用时长的第30百分位数； （2）陶老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享.设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”.试判断事件和事件是否独立，并说明理由； （3）陶老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这位学生的数据平均数为23小时.当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，求这位学生每周平均手机使用时长的方差（精确到0.1）. 21. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于、两点. （1）若，且直线垂直于轴，求； （2）若，设在第一象限，双曲线的左顶点为，若为等腰三角形，求点的横坐标； （3）若分别为双曲线的左右焦点，点是点关于轴对称的点，若存在直线使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $