精品解析：宁夏西宁市第十四中学2025-2026学年高三下学期第一次模拟数学试卷

2025-2026学年高三年级一模数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递减数列 D. 的前项和 10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 图象有对称轴 B. 是偶函数 C. 有最大值3 D. 有最小值2 11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左､右焦点，，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C. D. 过双曲线左支上点作双曲线的切线交轴于，则 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且与平行，则______. 13. 已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比___________． 14. 已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知 （1）最小正周期及对称轴方程； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且 ,，求边上的高的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 17. 某车企为了调查新能源汽车的款式与买车的客户性别的关联性，调查了200名客户的购买情况，得到如下列联表： 性别 车型款式 合计 A款新能源汽车 B款新能源汽车 男性客户 90 120 女性客户 10 合计 200 （1）求出，的值． （2）将上面列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为选购新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购新能源汽车的款式情况相互独立．若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了A款新能源汽车的人数为X，求X的数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）证明：当时，； （3）求函数的最小值. 19. 已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. （1）求的方程； （2）设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值； （ii）若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三年级一模数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则求出，再结合复数模的公式求解即可. 【详解】因为，所以 ，则，故C正确. 故选：C 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解集合A，然后利用交集运算求解即可. 【详解】集合， 又集合，所以. 故选：B. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛掷两枚质地均匀的骰子的不同结果数，再列举出向上的点数之和为4的倍数的结果数，应用古典概率的求法求概率. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果， 向上的点数之和为4的倍数， 共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况， 所以概率为． 故选：B． 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由余弦定理求出，再由同角的三角函数关系可得. 【详解】由余弦定理可得， 因为为三角形内角，所以， 所以. 故选：C 6. 若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据椭圆方程得出焦点坐标，进而得出抛物线的准线方程. 【详解】∵椭圆的上焦点坐标为，根据抛物线方程可知， 抛物线的焦点坐标为， 抛物线的准线方程为． 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可. 方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可. 【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知： 在等差数列中，，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列，即， 又，，所以， 解得. 方法2：设等差数列首项为，公差为， 由等差数列前项和公式可知： ，， 联立解得，， 所以. 故选：B. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，可得，则， 又由，所以， 所以 ． 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递减数列 D. 的前项和 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，取倒数，得到，得到是以4为首项，2为公比的等比数列，进而逐项判断即可. 【详解】∵，∴， ∴，又， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，则， ∴，故B正确； 因为，所以为递减数列， 故C正确； 数列的前n项和 ，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 图象有对称轴 B. 是偶函数 C. 有最大值3 D. 有最小值2 【答案】AC 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，由判断A，由判断B，再求出函数的值域，即可判断C、D. 【详解】函数的定义域为， 对于A ：因为，， 所以，则关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以不是偶函数，故B错误； 对于C、D：因为，所以，所以，即， 所以有最大值，无最小值，当且仅当时取得最大值，故C正确，D错误. 故选：AC 11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左､右焦点，，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C. D. 过双曲线左支上点作双曲线的切线交轴于，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据题意求离心率即可；对于B，由题意知反射光所在直线为直线，斜率介于两条渐近线斜率之间；对于C，可得，，直线的斜率不存在，进而得到，然后可得；对于D，可设切线方程，联立得到点坐标即可求解． 【详解】对于A，双曲线，焦点在轴， 则， 所以双曲线的离心率，故A错误； 对于B，如图：反射光所在直线为直线， 根据双曲线的性质可知斜率介于两条渐近线斜率之间， 又渐近线斜率， 所以反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B正确； 对于C，由题意得，又，， 则，，直线的斜率不存在， 所以， ，又, 所以，故C正确； 对于D，由题意知，切线斜率不为零，可设方程为， 联立得：， ，解得， 即切点的纵坐标， ，解得， 又点在左支上，所以， ，故D错误； 故选：BC． 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且与平行，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量平行的坐标关系可得结果. 【详解】由与平行，可得，所以. 故答案为：. 13. 已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式得出半径等于圆柱的高，再根据体积公式化简即可. 【详解】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为， 则由题意得，，则， 则. 故答案为： 14. 已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】设过点的直线与的图象相切于点， 则切线斜率，由切线过点，得， 因此，整理得. 令，则， 原问题等价于有三个不同零点. 当时，单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极大值为，极小值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，极大值为， 要使有三个零点，需满足且，即，解得； 综上，的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知 （1）最小正周期及对称轴方程； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且 ,，求边上的高的最大值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）先利用辅助角公式把化成形式,再求周期及增区间；（2）先利用已知条件得,再利用余弦定理及基本不等式得 ,最后由面积公式求得边上的高的最大值 试题解析：（1）, 由 所以单调增区间是 6分 （2）由得 由余弦定理得 设边上的高为,由三角形等面积法知 ,即的最大值为． 12分 考点：1.三角变换；2.余弦定理及面积公式；3.基本不等式. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【小问1详解】 取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面． 【小问2详解】 底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积， 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. 【小问3详解】 因为平面平面，且其交线为， 又平面，， 所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角， 在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为． 17. 某车企为了调查新能源汽车的款式与买车的客户性别的关联性，调查了200名客户的购买情况，得到如下列联表： 性别 车型款式 合计 A款新能源汽车 B款新能源汽车 男性客户 90 120 女性客户 10 合计 200 （1）求出，的值． （2）将上面列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为选购新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购新能源汽车的款式情况相互独立．若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了A款新能源汽车的人数为X，求X的数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2） 性别 车型款式 合计 A款新能源汽车 B款新能源汽车 男性客户 30 90 120 女性客户 10 70 80 合计 40 160 200 可以认为选购新能源汽车的款式与性别有关联 （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给数据完善列联表得解； （2）计算，根据所给临界值表得出结论； （3）由题意得出的可能取值，求对应概率得解，也可直接由二项分布得解. 【小问1详解】 由已知得， 样本中选购B款新能源汽车的女性客户人数为， 所以． 【小问2详解】 得到完整数据的列联表如下： 性别 车型款式 合计 A款新能源汽车 B款新能源汽车 男性客户 30 90 120 女性客户 10 70 80 合计 40 160 200 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联． 根据列联表中的数据， 可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为选购新能源汽车的款式与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于． 【小问3详解】 随机抽取1人购买A款新能源汽车的概率为． 解法一：的所有可能取值为， 则，， ，， 所以． 解法二：写成，所以． 18. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）证明：当时，； （3）求函数的最小值. 【答案】（1） （2）设，， ， 因为，恒成立， 在上单调递减； ，即，即， 所以当时，； （3）1 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求出在点处的导函数值，写出切线方程即可. （2）根据函数单调性与导函数的关系，通过单调性，说明不等式恒成立. （3）根据导数说明函数单调性，进而根据函数奇偶性，以及函数单调性，说明函数的最小值，求出结果. 【小问1详解】 ， 在点处的切线的斜率， 在点处的切线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的定义域是，对于，都有， 且，为偶函数； ，由，得 由（2）知，当时，， 在上单调递增； 因为为偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增 当时，. 19. 已知椭圆的左顶点为，离心率为为坐标原点，且. （1）求的方程； （2）设为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. （i）证明：为定值； （ii）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（i）; （ii）. 【解析】 【分析】（1）由长半轴及离心率可计算得，进而得到椭圆方程； （2）（i）运用点差法可以得到弦所在直线的斜率与弦中点与坐标原点连线所在直线的斜率之积为定值，进而发现弦的中点在定直线上，再运用正弦定理得到两边之比不变； （ii）已知的大小，角的一边的斜率，可运用斜率夹角公式得到另一条边的斜率，再将直线与联立得到点坐标，代入椭圆方程确定参数，再联立弦所在直线与椭圆方程，根据韦达定理，求出点纵坐标，即可得到三角形面积. 【小问1详解】 由题可知，,因此,因此椭圆. 【小问2详解】 （i）设,则过点且斜率为1的直线可设为,设,且. 点都在椭圆上，因此有,两式相减，得, 两边同除,得： ,因此, 即点在定直线上，因此的大小为定值，且. 在中，由正弦定理可知,变形可得 故为定值. （ii） 由利用斜率夹角公式：设的斜率为,的斜率,则 ,因在第三象限，,解得,即,故. 又因为,联立得将其代入椭圆方程,得：,解得, 因为故. 联立直线与椭圆方程,得 由韦达定理可知，,因此. 故的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $