精品解析：宁夏开元学校2026届高三年级第一次模拟考试数学试卷

2026届高三年级第一次模拟考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．将答案填涂在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，已知，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由余弦定理得：. 2. 已知平面向量，且，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得， 因为， 所以，即，解得. 3. 已知集合，集合，则下列各选项中属于 的元素是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由可得：，则， 所以， 则，，，. 4. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接用几何法判断直线与圆的位置关系可得结果. 【详解】由题意知圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离，所以直线和圆相交. 故选：A. 5. 设 ，表示两条不同的直线，表示平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由题设线面、线线关系，结合平面的基本性质判断条件间的推出关系，根据充分、必要性定义得到答案. 【详解】由，当时则或，充分性不成立； 当时则异面或平行，必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由图知，， ，， 又的图象过点， ， ，， ， ， ， . 7. 已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点 ，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的左焦点为，连接，过作于，根据已知及双曲线性质有为线段的中垂线，结合双曲线定义及关系得到关系，即可得离心率. 【详解】设的左焦点为，连接，过作于， 易知，所以为的中位线， 又图中双曲线的渐近线方程为， 则，， 则为线段的中点，所以为等腰三角形，即， 又， 即， ，即，， 解得. 故选：B. 8. 设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，易知在上单调递增，由是定义在上的偶函数可推出是定义在上的奇函数，故在上也单调递增，且.而不等式的解可等价于即的解，从而得解. 【详解】解：设，，则， ∵当时，有恒成立，∴当时，，在上单调递增， ∵是定义在上的偶函数， ∴，即是定义在上的奇函数， ∴在上也单调递增. 又，∴，∴. 不等式的解可等价于即的解， ∴或， ∴不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 【答案】CD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】因为的展开式共有6项，所以A不正确； 通项公式为，令可得第三项为，B不正确； 令可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为，D正确. 故选：CD 10. 已知复数，，则下列命题成立的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用复数的三角形式计算判断B；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD. 【详解】对于A，当时，，而，A错误； 对于B，令，则， 于是，而，即有，因此成立，B正确； 设复数，， 对于C，由，得， 则，，因此，C正确； 对于D，，则， ，因此，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 存在点P，使得平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量运算（点积求夹角、法向量）和体积公式，逐一分析判断命题的正确性. 【详解】以点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，； ，设（其中，）； 选项A：因为，以为底面，点到平面的距离为高， 因为，所以， 点在上底面内，到平面的距离恒为， 则， 故为定值，A正确； 选项B：，取其方向向量为，； ， 若，则，代入得：， 由于，，故，， 则，方程无解，B错误； 选项C：平面的一个法向量为， 由线面角的正弦值公式得：； 令（），则： 当时，，， 令，则， 因，故，即在上严格单调递增， ；，故； 当时，，则：， 因此：，同时 恒成立； 综上，，C正确； 选项D：，， 设平面的法向量为，则：， 即：，令，则，，可得平面的一个法向量为：， 若直线与平面平行，则，即， 由于点在上底面内（不含边界），即，，方程 在此区域内有解（例如取，则）， 此时，且不在平面内，故平面，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则的值为____________. 【答案】0.4## 【解析】 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即. 13. 已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是____________. 【答案】9 【解析】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为，， 如图，作准线，准线， 联立，得， 设，则， 又， ，等号成立时， 故的最小值是. 14. 一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为__________ . 【答案】 【解析】 【分析】分析正方体的结构特征，结合几何体的体积的求法求解 【详解】如图，正方体，此时若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面，且低于平面．而当平面平行于水平面放置时， 若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形． 所以液体体积＞三棱锥的体积，三棱锥的体积等于， 并且液体体积＜正方体体积减去三棱锥体积， 正方体体积减去三棱锥体积等于 所以液体体积的取值范围为， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. （1）（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. （2）社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】（1）（I） 0.78；（II）或0.8077 （2）选择方案二. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式和贝叶斯公式计算结果； （2）根据题中两个方案计算随机变量的期望，判断哪个方案好. 【小问1详解】 设事件：学生提前认真准备，事件：学生未提前准备；事件 ：线上初审通过. 由题意可得： （I） 根据全概率公式： 所以一名学生线上初审通过的概率为0.78. （II）根据贝叶斯公式： 所以已知线上初审通过，该生是提前认真准备的概率为或0.8077. 【小问2详解】 设方案一的期望面试次数为，方案二的期望面试次数为. ① 方案一：所有学生均参加2次面试，因此期望面试次数. ② 方案二： 设随机变量表示方案二的面试次数，的可能取值为1，2. 所以分布列为： 1 2 0.22 0.78 所以. 因为 所以方案二期望面试次数更少，组织成本更低，因此选择方案二. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，确定为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 在数列中，， 可得，即数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）已知侧面为正方形，所以， 又因为平面 平面，且两平面的交线为， 平面， 所以 平面，平面，即有， 已知，，所以，满足，所以， 又因为 ，且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明一条直线垂直于一个平面，只需证明该直线垂直于平面内的两条相交直线； （2）利用空间向量法，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后计算法向量夹角的余弦值，即得到二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以 为原点，分别以、、的方向为 轴正方向，则各点坐标为： ， ， ，， ， 则 ， ， ， ， 设平面 的法向量为，则 令，则 ， ，即 ， 设平面 的法向量为，则 令 ，则 ，，即 ， 设二面角的大小为 ，易知 为锐角， 则有. 18. 已知函数. （1）求曲线在 处的切线方程. （2）若在恒成立，求 的取值范围. （3）当时，证明：对，有. 【答案】（1） （2） （3）当时，原不等式等价于，即. 令，求导得，因为 ，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以由，得， 只需证，即. 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，且在 处取最小值；而在恒成立， 故，所以， 原不等式对所有成立. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，即可求出切线方程. （2）先化简不等式，根据指数函数的性质求出结果. （3）构造新函数，求导，判断单调性，求出最值. 【小问1详解】 当 时，，而， ，由点斜式得切线方程：， 即. 【小问2详解】 由题意化简得， ，，又，， 故​. 【小问3详解】 略 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，且AB、CD中点分别为M、N． （1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率； （2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦AB、CD的斜率均存在，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2） 若直线 的斜率存在且不为，则设，， 则 联立，得， 则， 则，则， 同理可得， 则直线 的斜率倒数为， 则直线 的方程为，即， 令得，所以此时直线MN也过定点， 当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时， 不妨设 斜率不存在，斜率为0，此时， 则直线 的方程为，过点， 综上，动直线MN过定点； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据椭圆方程写出右焦点的坐标及离心率； （2）分斜率均存在和一条直线斜率不存在一条斜率为0两种情况讨论，斜率均存在，设，联立方程利用韦达定理求得点的坐标，从而可求得直线 的方程，即可得证； （3）由（2）可知直线MN过定点，则，化简整理结合函数的单调性即可得出答案. 【小问1详解】 由椭圆方程可知：，，所以 则右焦点坐标，该椭圆的离心率； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知直线MN过定点，则， ， 令，则， 因为在上单调递增，所以， 故面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级第一次模拟考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．将答案填涂在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，已知，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知平面向量，且，则的值为（ ）. A. B. C. D. 3. 已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（ ）. A. B. C. D. 4. 已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 5. 设，表示两条不同的直线，表示平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ）. A. B. C. D. 7. 已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 一共有5项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 10. 已知复数，，则下列命题成立的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 存在点P，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则的值为____________. 13. 已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是____________. 14. 一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为__________ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. （1）（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. （2）社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知函数. （1）求曲线在 处的切线方程. （2）若在恒成立，求的取值范围. （3）当时，证明：对，有. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，且AB、CD中点分别为M、N． （1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率； （2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦AB、CD的斜率均存在，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $