宁夏六盘山高级中学2026届高三下学期第一次模拟数学试题

宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高三第一次模拟测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 3．在中，若，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 4．清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．72种 5．在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，，则（   ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减 C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 7．若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，过该抛物线的顶点作直线的垂线，垂足为点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．为常数 D．为等比数列 10．已知为双曲线的右焦点，经过点的直线交的两条渐近线于两点，为坐标原.若，则以下说法正确的是（   ） A．是的角平分线 B． C．两条渐近线夹角的余弦值为 D．双曲线的离心率为 11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ） A．若为线段的中点，则直线平面 B．三棱锥的体积为 C．在线段上存在点，使得 D．若，则点的轨迹长为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．圆台的上底面半径为，下底面半径和母线长均为，则它的体积为________. 13．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数的解析式为________． 14．有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分） 已知数列满足，数列是以2为首项2为公差的等差数列． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 16． （15分） 如图，直三棱柱中，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17． （15分） 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由. 18． （17分） 已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若为函数的极值点，求实数a的值； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 19． （17分） 设椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，离心率为， (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆是以点为圆心，为半径的圆，过椭圆C的下顶点作圆的两条切线，这两条切线分别与椭圆相交于点，（异于点）．设直线交轴于G点． （ⅰ）设，直线的斜率分别为，，求的值及点的坐标． （ⅱ）设点（与G点不同）满足：，， 求证：在定直线上运动，并求出定直线方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年高三第二学期一模测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A C B A A D D ACD ABD ABD 部分答案详解： 7．D 【分析】先由利用倍角公式得，再由同角平方关系得， 又，利用两角和的正弦公式可得. 【详解】， 因为，，又，所以， 故，故， ， 故选：D 8．D 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可得到、的坐标，设点P的坐标为，由及点在直线上，求出的坐标. 【详解】由题意得，抛物线的焦点，准线方程为， 从而由抛物线的定义得，解得，所以抛物线方程为，则． 又点在抛物线上，即，所以或（舍去）， 所以，则， 设点P的坐标为，则，即，所以，又点在直线上， 所以，解得，所以，所以点的坐标为． 故选：D． 9．ACD 【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】设公比为，则，解得，故， 则，. 对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，为常数，故C正确； 对D，，，故为等比数列，故D正确； 故选：ACD 10．ABD 【分析】根据双曲线渐近线的性质、角平分线定理、余弦定理、二倍角公式以及离心率等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】根据双曲线渐近线的对称性可知A选项正确. B选项中，因为在中，OF为的平分线， 所以，所以，所以B选项正确. C中，设，则， 由余弦定理得， 所以C选项错误. D中，因为， 所以，即，所以， 所以D选项正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】根据题目条件，以为原点，方向为轴建立空间坐标系，结合选项条件代入计算判断选项是否正确． 【详解】以为原点，方向为轴建立空间坐标系，棱长为， ， ，分别是，的中点，， 点在正方形上，设，其中， 对于A选项，为线段的中点，则， 又是正方体，则是平面的法向量， ，即， 又平面，所以直线平行平面，A选项正确； 对于B，三棱锥体积与相同， 的顶点， ，， 点到的距离恒为， 于是，B选项正确 对于C，在线段上：，设， ，， 垂直条件即， ， 但，所以不存在这样的点，C选项错误； 对于D，即，， ，，即， 点限制在，且平面上，因此在这个范围内对应一条线段：当时，得；当时，得， 线段长度：，所以轨迹长为，D选项正确． 故选：ABD 12． 13．（答案不唯一） 14． ； 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（）， 则，， 所以； 当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是. 15．(1)， (2) 【详解】（1）由①， 当时，， ................................................1分 当时，②， ...........................................2分 由①②得，所以，当时，上式也成立，所以，......................4分 因为是以2为首项2为公差的等差数列， 所以； ...............................6分 （2） ，...........................................7分 则，，...........................................9分 两式相减得...........................................11分 ，所以 ............................................13分 16．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）不妨设，则，，...........................................1分 所以，所以， ..........................................2分 因为棱柱为直三棱柱，所以平面，平面，所以 又，所以平面， .........................................3分 因为，所以， .........................................4分 因为四边形为正方形，所以， ...........................................5分 又，所以平面， ...........................................6分 因为平面，所以 ............................................7分 （2）设为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， ..........................................9分 所以，， 设分别为面的法向量，则，即， 取，则，所以， ..........................................11分 设分别为平面的法向量，则， 即，取，则，则，...........................................13分 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为...................................15分 17． 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. ...........................................4分 （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ，， ，， ............................................9分 的分布列为： 0 1 2 3 ，， ...........................................11分 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. ..............................15分 18． 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且， 当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；...................2分 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 综上可得： 当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 ....................5分 （2）解：因为是函数的极值点，可得，解得， ...................7分 若时，，则， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意，所以 ..............................10分 （3）方法一：设， 则， 因为，因为，， 所以存在唯一，使，且， 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，所以当时，， 又由，所以当时，. ..............................17分 （3） 方法二：对数“单身狗”构造法 19．【详解】（1）由题意，设椭圆的标准方程为， 已知椭圆右焦点，故，离心率， 得，又， 因此椭圆的标准方程为：； ..............................3分 （2）（ⅰ）椭圆的下顶点，圆：， 设过的切线方程为， 由切线性质，圆心到切线的距离等于半径， 所以， ..............................5分 整理得， 由根与系数关系得：， ..............................6分 将代入椭圆方程得，同理，...................8分 所以直线的斜率， ，所以，...................10分 令可得， 因此点坐标为； ................................................11分 （ⅱ）设， 因为，所以， 由，可得， 所以， 结合， 化简得：， 所以，代入， 可得 所以， 因此恒在定直线上. .................................................17分 9 学科网（北京）股份有限公司 $