精品解析：广东深圳市南方科技大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

南科大附中2026年春季学期高二年级期中考试 数学 命题人：裴大新 审题人：谷任昕 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】求导，再令即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：A. 2. 已知是等差数列，且，，则首项等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可． 【详解】设等差数列的公差为， 由，即， 解得. 3. 若展开式中的常数项为90，则常数的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，则，故常数项为，则. 4. 某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，利用组合知识即可求解， 【详解】由于表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，所以 5. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A. 600 B. 264 C. 207 D. 114 【答案】D 【解析】 【分析】先将5人分成3组，再求出小李和小赵不同组的情况，然后再排列. 【详解】先将5位同学分成三组有“2人组+2人组+1人组”和“3人组+1人组+1人组”两种情况，共有种方法， 其中小李和小赵同一组的情况有种方法，所以小李和小赵不同组的情况有种； 再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型，有种排列方式， 所以共有种方法. 6. 下列说法中错误的有几个（ ） ①数据1，2，3，5，7，8，9的60%分位数是6； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01； ③回归分析时，可用决定系数刻画模型的拟合效果，越大，则拟合效果越好； ④若随机变量服从正态分布，若，则实数. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数定义可判断①；利用独立性检验可判断②；利用决定系数与模型拟合效果的关系可判断③；利用正态分布对称性和性质可判断④. 【详解】对于①，将数据按从小到大排列：1，2，3，5，7，8，9共有7个数据， 故60%分位数是第5个数，即7不是6.故①错误； 对于②，根据列联表中的数据计算得出，而， 则有99%的把握认为两个分类变量有关系， 则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01，故②正确； 对于③，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果， 若越大，则说明模型拟合的效果越好，故③正确； 对于④，由随机变量，其正态曲线关于直线对称， 由，若， 则，即得，所以，故④正确. 7. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用概率的性质结合对立事件的概率公式得到，，最后结合条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 而， 由条件概率公式得，故C正确. 8. 方程有两实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形构造函数，利用该函数的单调性和值域，将原方程的根的问题转化为函数值相等的问题，所以结合构造函数的性质，分析参数需满足的条件，确定其取值范围. 【详解】由题可知：， 原方程可化为： 令，，故在单调递增， 即每个不同对应唯一不同的，易得的值域为R， 原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解， 变形得：，令，求导得：， 令， 当且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值，作出的图象如下： 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 故，则，因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为， 当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根， 因此的取值范围是. 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导函数的图象，根据导函数值的正负判断函数的单调性，从而得出极值点，逐项判断即可. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，单调递增；当时，，单调递减.故A错误B正确； 所以，函数在处取得极大值，不是极大值点，故C正确D错误. 故选：BC. 10. 已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲､乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则下列说法正确的有（） A. 若抽取后放回，则 B. 若抽取后不放回，则 C. 若抽取后放回，则 D. 若抽取后不放回，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别分析有放回和无放回两种抽取方式，计算了事件（甲中奖）与（乙中奖）的概率及条件概率.在有放回时，每次独立，且；在无放回时，，但，从而判断出选项A、B、C正确，D错误. 【详解】选项A：因每次抽取后放回，故抽取条件相同，，故A正确； 选项B：不放回时，，下面计算：事件发生有两种情况： ①甲中且乙中（）；②甲不中且乙中（）， 故，所以成立，故B正确. 选项C：放回时，；因事件相互独立， 则，即成立，故C正确. 选项D：不放回时，；求：已知甲中奖，剩2张奖券中有1张有奖， 所以，，故D错误. 11. 已知数列满足，，，是的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的前项和小于1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据递推关系可得是首项为，公比为的等比数列，再结合等比数列的定义以及前项和公式依次判断选项即可. 【详解】 对于A，由题可得，且， 故是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由A易得，于是， 又因为，所以，所以不是等比数列，故B错误； 对于C，由B可知，所以，显然不是等比数列，故C错误； 对于D，易知当时，，所以， 设，则，故D正确. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若根据样本数据得到的回归直线方程为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 则， 则样本中心点为，将其代入到， 即，解得. 13. 甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布概率公式来分两类计算即可. 【详解】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 故答案为： 14. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】通过切线斜率即可直接求得的值，再设函数的图象的切点为，由切线斜率得到，结合函数单调性求得，得到，即可求解. 【详解】设直线与函数的图象的切点为， 由求导得，由，得， 所以直线与函数的图象的切点为， 将点代入，解得. 设直线与函数的图象的切点为， 又，则（*）. 由，代入上式得， 因为函数单调递增，且， 所以，代入（*），解得， 所以. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求出角的大小；（2）根据面积公式求出，由余弦定理求出，进而得到三角形的周长. 【小问1详解】 由及正弦定理，得. 因为， 所以， 整理得. 因为，所以，即. 又，所以. 【小问2详解】 由，且，得. 由余弦定理，及， 得. 所以（负值舍去）.故的周长为. 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【小问1详解】 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 我们以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得  三棱锥​，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， ​ 令，得，，即； 平面​的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）易知随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值. 【小问1详解】 设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . 【小问2详解】 随机变量的可能取值为2，3，4. ，，， 随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为. 18. 已知数列的前项和为，且，. （1）求； （2）求的通项公式； （3）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）2 （2） （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 方法一:由， 得； 方法二:由，得， 得； 【小问2详解】 因为，所以， 则，得， 又，所以， 所以； 【小问3详解】 设，则时，， 当时，， 所以， 故. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在区间上单调递减，求的取值范围. （3）若，且存在两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可； （3）设，则.，将所证不等式转化为.，令，利用导数可求得，由此可证得结论. 【小问1详解】 由题意得，， 而，则， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 又在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 证明：， 因为存在两个极值点，所以 满足，即， 不妨设，则. 又 则要证， 即证， 又，则， 即证，即证. 设函数， 则， 所以在上单调递减，又，则， 所以， 即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南科大附中2026年春季学期高二年级期中考试 数学 命题人：裴大新 审题人：谷任昕 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上.将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回. 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 2. 已知是等差数列，且，，则首项等于（ ） A. 0 B. C. D. 3. 若展开式中的常数项为90，则常数的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 4. 某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则（ ） A. B. C. D. 5. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A. 600 B. 264 C. 207 D. 114 6. 下列说法中错误的有几个（ ） ①数据1，2，3，5，7，8，9的60%分位数是6； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01； ③回归分析时，可用决定系数刻画模型的拟合效果，越大，则拟合效果越好； ④若随机变量服从正态分布，若，则实数. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 方程有两实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 10. 已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲､乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则下列说法正确的有（） A. 若抽取后放回，则 B. 若抽取后不放回，则 C. 若抽取后放回，则 D. 若抽取后不放回，则 11. 已知数列满足，，，是的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 的前项和小于1 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若根据样本数据得到的回归直线方程为，且，，则______． 13. 甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 14. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， （1）求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； （2）设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 18. 已知数列的前项和为，且，. （1）求； （2）求的通项公式； （3）设数列的前项和为，证明：. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在区间上单调递减，求的取值范围. （3）若，且存在两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $