精品解析：广东惠州市惠州中学2025-2026学年高二第二学期5月期中考试数学试题

惠州中学2025-2026学年高二年级第二学期期中考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知数列的前项和，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，所以． 故选：C. 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故，故. 3. 已知函数的导函数为，满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】应用导数的加减法则对函数求导得，代入求得，进而求. 【详解】由题设，可得，故， 所以，故. 故选：A 4. 已知双曲线：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可求出，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】由题意得，，， ∵， ∴，故双曲线的标准方程为. 故选：B. 5. 设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ） 0 A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质求出的值，再利用期望公式得到与的关系.然后，将所求式子进行变形，结合与的关系，运用基本不等式求出其最小值. 【详解】根据离散型随机变量分布列的性质：所有概率之和为，即.解得. 已知随机变量的期望为，可得. 化简可得：，进一步变形为. 将进行变形，给式子乘以得到. 展开式子： 根据基本不等式，有. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 6. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（ ） A. 1200 B. 1560 C. 2640 D. 4800 【答案】B 【解析】 【分析】先将将6名同学分为或的四组，再将四组分到书法、音乐、美术、体育社团，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】先将6名同学分为或的四组，共有种， 再将4组分到书法、音乐、美术、体育社团，共有种， 所以共有种. 故选：B. 7. 已知函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用导数判断单调性，根据单调性比较大小即可. 【详解】当时，， 所以是为偶函数． 又， 当时，令， 则， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， ， 又， ， 所以， 故选：A 8. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【详解】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示： 由图可得，解得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断. 【详解】根据二项式定理,的通项公式为, 对于A,常数项为,故A正确; 对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误; 对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确; 对于D,令,各项的系数之和为,故D错误. 故选:AC. 10. 有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】由题意可知，A正确，B错误； ，C正确； ，D正确； 故选：ACD. 11. 已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（ ） A. B. 中存在连续三项成等比数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，依次判断ABC选项，找出它们相同的项，从而可求的前10项的和可判断D选项. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即， 所以，故A正确； 由于，， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列，即， 假设中存在连续三项成等比数列，设为：， 则， 化简得：，即等式无解； 所以中不存在连续三项成等比数列，故B错误； 由于，所以，故C正确； 数列的项在数列中对应的位置满足：， 即，即中被去掉的项为： ，，即第一项， ，，即第三项， ，，即第七项， ，，即第十五项， 所以,故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法求得、，即可求值. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 13. 四个人排成一排，当相邻时，必须在的右边，那么不同的排法共有________种． 【答案】 【解析】 【分析】采用插空法和捆绑法直接求解即可. 【详解】当A，B不相邻时，采用插空法，先排其余两人再让A，B插空， 共有种排法； 当A，B相邻时，将看作一个整体，并且在的右边， 相当于个人排队，则不同的排法有种； 所以共有种. 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用导数确定单调性并求解不等式. 【详解】由题意得，令函数，而， 求导得， 则函数在上单调递增，， 不等式，因此， 所以x的范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公比大于1的等比数列，，是函数的两个零点． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求n的最小值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【小问1详解】 ，是函数 的两个零点， ，是方程的两根， 又公比大于1，故，则， 等比数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， ， 又， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， ， 解得或（舍）， 故的最小值是8． 16. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）分别求甲队以胜利的概率； （Ⅱ）若比赛结果为或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分．求乙队得分的分布列及数学期望． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【详解】解法一 （Ⅰ）设甲胜局次分别为负局次分别为 （Ⅱ）根据题意乙队得分分别为 所以乙队得分的分布列为 解法二（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立， 故， ， 所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是，，； （Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以 由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得 , , , 故的分布列为 0 1 2 3 所以． 【考点定位】本题考查了独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和期望，要注意对不同事件的合理表述，便于书写过程．服从于二项分布，可用概率公式进行运算，也可以采用罗列方式进行 ，是对运算能力的常规考查. 17. 某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. （1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； （2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）利用全概率公式来求得正确答案. 【小问1详解】 的可能取值为0,1,2， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 其数学期望为. 【小问2详解】 用表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 用表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 两两互斥，， 由(1)知， 由全概率公式得， ， 所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是的概率为. 18. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为， 所以，. 又 解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：设 由题意可设直线的方程为：， 联立消去得， 当，所以，即或时 . 所以 点到直线的距离 所以， 设，则， ， 当且仅当，即， 解得时取等号， 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义结合直线垂直可得，运算求解即可； （2）整理可得，分和两种情况，根据导数的符号判断原函数单调性； （3）根据（2）中单调性可知，进而可得，利用单调性解不等式即可得结果. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得：，解得. 【小问2详解】 因为的定义域为，且， （i）若，则，可知在单调递减； （ii）若，令，解得， 当时，；当时，； 可知在单调递减，在单调递增； 综上所述：当时，函数的单调递减区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 由（2）可知：当时，函数在上为减函数， 则至多有一个零点，不合题意，所以， 此时函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当，，当，， 若函数两个零点，则 ， 令 ，，可知在上单调递增，且， 则不等式的解集为，所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州中学2025-2026学年高二年级第二学期期中考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知数列的前项和，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数为，满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 8 4. 已知双曲线：的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为1，则最小值为（ ） 0 A. 1 B. C. 2 D. 4 6. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（ ） A. 1200 B. 1560 C. 2640 D. 4800 7. 已知函数，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 10. 有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到绿球”，事件表示“摸到红球”，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（ ） A. B. 中存在连续三项成等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________． 13. 四个人排成一排，当相邻时，必须在的右边，那么不同的排法共有________种． 14. 已知定义在上的函数满足，且，是的导数，则使得不等式成立的x的范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公比大于1的等比数列，，是函数的两个零点． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求n的最小值． 16. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）分别求甲队以胜利的概率； （Ⅱ）若比赛结果为或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分．求乙队得分的分布列及数学期望． 17. 某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. （1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； （2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 18. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $