精品解析：2026年山东省济南市平阴县初中数学九年级二模试题

2026年九年级学业水平考试 数学模拟试题三 温馨提示：1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若，则内的数字是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案. 【详解】解：∵， ∴则内的数字是， 故选：A 2. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答． 【详解】解：它的左视图是． 故选：A． 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， 故选：B． 4. 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不合题意； B.不是轴对称图形，不合题意； C.不是轴对称图形，不合题意； D.是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法分别进行各选项的判断即可． 本题考查整式的运算，涉及同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项及同底数幂的乘法法则． 【详解】A.根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，即，计算正确． B.根据积的乘方法则，，且负号的平方为正，故．选项B中结果为，符号和指数均错误，计算错误． C.合并同类项时，系数相减，即，选项C中结果为常数2，未保留项，计算错误． D.根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即，选项D中指数错误，计算错误． 故选：A． 6. 将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 7. 如图，直线，，．若．则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 8. 在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 1 2 共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种， ∴； 故选：B． 9. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则等于（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可知平分，再根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，同时求出，最后根据求出答案． 【详解】解：过点A作，交于点D， 根据作图过程可知，平分， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得． ， ∴． 10. 已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可． 【详解】解：体重增加记作，那么体重减少应记作； 故答案为：． 12. 在英文单词“”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：英文单词“”中共有6个字母，字母“a”有3个， ∴字母“a”被选中的概率是， 故答案为：． 13. 如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正五边形的每个内角的大小和四边形的内角和解题． 【详解】解：由题意知， ， ， ∴ ， ∵四边形的内角和为， 正五边形的每个内角为， ∴ ， ， 即 ． 14. 一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则慢车的速度为____，快车的速度为____． 【答案】 ①. 60 ②. 80 【解析】 【分析】观察函数图象，得到快车和慢车的路程和时间，计算即可求解． 【详解】解：由图可知，A地和B地的距离为，慢车的时间为，当快车到达B地时，两车相距，即此时慢车的路程为， 慢车的速度为：； 快车的时间为：， 快车的速度为：． 15. 如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 17. 解不等式组： 并写出它的所有整数解 【答案】；整数解为 【解析】 【详解】解：由①得，， 由②得， ， 去括号得 ， 移项合并得 ， 系数化为1得 ， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解为 18. 如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是平行四边形边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 （2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 20. 如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，． （1）求证：是的切线． （2）若， ，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的证明、直径所对的圆周角等于90度、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）如图：连接，利用证明 得到即可证明是的切线； （2）如图：连接，先说明，即．再根据圆周角定理可得；设，，由勾股定理可得，即．解答，进而得到、；由全等三角形的性质可得，进而得到；则，然后求得即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接， 在与中， ， ∴． ∴， ∴为的切线． 【小问2详解】 解：如图：连接． ∵，， ∴． ∴．． ∵为直径， ∴，． 设，，， ∴． ∴，，． ∵， ∴． ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 21. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模具设计水平调查报告 【调查主题】 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平． 【调查目的】 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 【调查对象】 某校学生模具设计成绩． 【调查方式】 抽样调查． 【数据收集与表示】 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成四组（A：，B：，C：，D：）． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 【数据分析与应用】 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，在扇形图中，C组对应圆心角的度数为________． （2）请补全频数分布直方图． （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）50；83.5； （2）见解析 （3）720人 【解析】 【分析】（1）先通过组的频数和扇形图占比求出总抽取人数；再确定各组频数，找到中位数对应的位置，计算其平均数，最后根据组频数占比求对应圆心角； （2）通过总人数减去其他组频数，得到B组频数，补全直方图； （3）先计算样本中成绩不低于分的比例，再用该比例估计全校对应人数． 【小问1详解】 解：总抽取人数：由扇形图知组占，组频数为， 故总人数名； 中位数：组人、组人，前个数据是组，第 、个数据在组，第个是，第个是，中位数分； C组圆心角：C组频数 ，占比，圆心角． 【小问2详解】 解：B组频数为 补全频数分布直方图如图： 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720． 【点睛】本题考查统计图表的综合应用，掌握频数与扇形图占比的换算、中位数的确定、圆心角的计算，以及用样本比例估计总体数量是解题的关键． 22. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】（1）应选用A种食品3份，B种食品2份 （2）应选用A种食品2份，B种食品4份 【解析】 【分析】（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）设应选用A种食品m份，则选用B种食品份，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，设每份午餐的能量为，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，结合一次函数的性质求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设应选用A种食品x份，B种食品y份， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3份，B种食品2份； 【小问2详解】 解：设应选用A种食品m份，则选用B种食品份， 根据题意得：， 解得：， 设每份午餐的能量为， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选用A种食品2份，B种食品4份． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数y的图象的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求反比例函数表达式； （2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点E的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴ ， 解得：或， ∴点E的坐标为或． 24. 如图，O是坐标原点，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为抛物线上第一象限内一点，连接，与直线交于点E，若，求点D的坐标； （3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若P又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点N，连接、，．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，请直接写出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2 【解析】 【分析】(1)理解题意，分别把代入，进行计算，即可得抛物线的表达式； (2)先得，再证明，运用，得，设点E的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出直线的表达式为，直线的表达式为，整理得点，因为点D为抛物线上第一象限内一点，得，解得，即可作答； (3)先求出，再整理得平移后的抛物线的表达式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，平移后的抛物线的表达式为，求出，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，分别把代入得 ，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由(1)得抛物线的表达式为，， 令，则， ∴， ∴， 如图1，分别过点E，D 作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点E的纵坐标为 ，则点 D 的纵坐标为， 设直线的表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的表达式为 ， 把代入，得， ∴， ∴， 设 直线的表达式为， 把分别代入，得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入，得 ， ∴，即点， ∵点D为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得 ， ∴，， 此时的， 故，符合题意； 当时，， 此时， 当 时，， 此时， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：存在，过程如下： 由(1)得，整理，得， ∵F为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，P又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点 N， 如图2，连接， 过点P作， ∴平移后的抛物线的表达式为， 把代入，得， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，则， ∴， 令， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，∴， ∴或， ∴(舍去)或， ∴， ∴平移后的抛物线的表达式为， 令，则， ∴，即， ∴，则， ∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2． 【点睛】能得到抛物线的表达式为，根据题意正确做出辅助线，证得， 得到，能求得直线、的表达式，得出点，进而得到，整理得 ，，；能根据平移后的抛物线的表达式为，得出，即， 能根据， 得到， 进而得出平移后的抛物线的表达式为是本题解题的关键． 25. 特例研究：在正方形中，，相交于点． （1）如图1，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ，的值为 ； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上，求的值； 类比探究： （3）如图3，在菱形中，，是的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）的值与无关，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合勾股定理，表示出，再根据旋转的性质即可得解； （2）利用正方形的性质结合勾股定理，表示出，由旋转的性质可得，进而证明 ，由相似三角形的性质即可得解； （3）由旋转的性质，可得 ，由菱形的性质，可得，再利用垂直平分线的性质得到，从而借助等边对等角求出，再借助外角性质求出 ，可证明，过点作于，利用勾股定理和角的直角三角形的性质表示出，即可利用相似三角形的性质求出的值． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，，， ， 可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到， 旋转角的度数为，； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，，， ， 将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到， ， ， ， ， ，即 ， ， ； 【小问3详解】 解：的值与无关，理由如下： 由旋转的性质，可得 ， 由菱形的性质，可得 ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， 的值与无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平考试 数学模拟试题三 温馨提示：1．本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分， 考试时间120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题． 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若，则内的数字是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 2. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为，用科学记数法将数据表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. 3 D. 6. 将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，，．若．则等于（　　） A. B. C. D. 8. 在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则等于（） A. B. C. D. 10. 已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 或 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案． 11. 为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作_______． 12. 在英文单词“”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是______． 13. 如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 14. 一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则慢车的速度为____，快车的速度为____． 15. 如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16. 计算： 17. 解不等式组： 并写出它的所有整数解 18. 如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 19. 【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 20. 如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，． （1）求证：是的切线． （2）若， ，求的长． 21. 为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模具设计水平调查报告 【调查主题】 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平． 【调查目的】 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 【调查对象】 某校学生模具设计成绩． 【调查方式】 抽样调查． 【数据收集与表示】 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成四组（A：，B：，C：，D：）． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 【数据分析与应用】 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了________名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，在扇形图中，C组对应圆心角的度数为________． （2）请补全频数分布直方图． （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数． 22. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数y的图象的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求反比例函数表达式； （2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，请直接写出点E的坐标． 24. 如图，O是坐标原点，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为抛物线上第一象限内一点，连接，与直线交于点E，若，求点D的坐标； （3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若P又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点N，连接、，．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，请直接写出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 25. 特例研究：在正方形中，，相交于点． （1）如图1，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ，的值为 ； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上，求的值； 类比探究： （3）如图3，在菱形中，，是的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $